Notation scientifique 4ème : 11 exercices corrigés

Ces exercices corrigés sur la notation scientifique en 4ème couvrent écriture décimale, puissance de 10, ordre de grandeur et opérations. Le cours sur les puissances de 10 et la notation scientifique explique comment déplacer la virgule sans deviner le signe de l'exposant.

Les calculs réutilisent les règles sur les puissances et imposent un contrôle final : le coefficient scientifique doit rester supérieur ou égal à 11 et strictement inférieur à 1010.

Passer d’une écriture à l’autre

Le signe de l'exposant indique le sens du déplacement de la virgule, tandis que sa valeur indique le nombre de rangs.

Exercice 1 : Décimaux vers écriture scientifique

Facile

Écrire en notation scientifique 45 70045\,700, 0,00620{,}0062, 813,5813{,}5 et 0,000000910{,}00000091.

  1. Convertir les quatre nombres et vérifier que chaque coefficient appartient à [1;10[[1;10[.
Indication

Placez la virgule après le premier chiffre non nul, puis comptez les déplacements.

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On obtient 4,57×1044{,}57\times10^4, 6,2×10−36{,}2\times10^{-3}, 8,135×1028{,}135\times10^2 et 9,1×10−79{,}1\times10^{-7}. Les coefficients 4,574{,}57, 6,26{,}2, 8,1358{,}135 et 9,19{,}1 sont bien compris entre 11 et 1010.

Exercice 2 : Retour à l’écriture décimale

Facile

Donner l'écriture décimale de 7,04×1057{,}04\times10^5, 3,8×10−43{,}8\times10^{-4}, 1,002×1031{,}002\times10^3 et 9×10−19\times10^{-1}.

  1. Convertir chaque nombre.
  2. Classer les quatre résultats dans l'ordre croissant.
  3. Identifier ceux qui sont inférieurs à 11.
Indication

Un exposant positif déplace la virgule vers la droite ; un exposant négatif la déplace vers la gauche.

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  1. Les nombres sont 704 000704\,000, 0,000380{,}00038, 1 0021\,002 et 0,90{,}9.
  2. 0,00038<0,9<1 002<704 0000{,}00038\lt 0{,}9\lt 1\,002\lt 704\,000.
  3. Les deux écritures ayant un exposant négatif sont ici inférieures à 11.

Exercice 3 : Corriger une notation non scientifique

Moyen

Normaliser 0,42×1070{,}42\times10^7, 38,1×10−538{,}1\times10^{-5} et 125×102125\times10^2.

  1. Écrire les trois nombres en notation scientifique.
  2. Expliquer comment l'exposant compense le déplacement de la virgule.
Indication

Quand le coefficient est multiplié par 1010, la puissance doit être divisée par 1010, et inversement.

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0,42×107=4,2×1060{,}42\times10^7=4{,}2\times10^6, 38,1×10−5=3,81×10−438{,}1\times10^{-5}=3{,}81\times10^{-4} et 125×102=1,25×104125\times10^2=1{,}25\times10^4. La valeur reste constante car chaque déplacement de la virgule est compensé par une variation opposée de l'exposant.

Calculer avec des puissances de 10

On regroupe séparément les coefficients et les puissances, puis on normalise le coefficient obtenu.

Exercice 4 : Produits scientifiques

Facile

Calculer A=(3×104)(2×105)A=(3\times10^4)(2\times10^5) et B=(4,5×10−3)(2×107)B=(4{,}5\times10^{-3})(2\times10^7).

  1. Calculer AA.
  2. Calculer BB.
  3. Donner chaque résultat en notation scientifique.
Indication

Multipliez les coefficients et additionnez les exposants.

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  1. A=6×109A=6\times10^9.
  2. B=9×104B=9\times10^4.
  3. Les coefficients 66 et 99 sont déjà normalisés, donc ces écritures sont scientifiques.

Exercice 5 : Quotients à normaliser

Moyen

Calculer C=8,4×1092×103C=\frac{8{,}4\times10^9}{2\times10^3} et D=3×10−46×102D=\frac{3\times10^{-4}}{6\times10^2}.

  1. Séparer coefficients et puissances.
  2. Calculer CC.
  3. Calculer DD.
  4. Normaliser si nécessaire.
Indication

Dans un quotient, soustrayez les exposants. Le coefficient 0,50{,}5 doit ensuite devenir 5×10−15\times10^{-1}.

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  1. C=(8,4/2)×109−3C=(8{,}4/2)\times10^{9-3} et D=(3/6)×10−4−2D=(3/6)\times10^{-4-2}.
  2. C=4,2×106C=4{,}2\times10^6.
  3. D=0,5×10−6D=0{,}5\times10^{-6}.
  4. La notation scientifique de DD est 5×10−75\times10^{-7}.

Exercice 6 : Sommes avec exposants différents

Difficile

Calculer E=2,7×106+4,5×105E=2{,}7\times10^6+4{,}5\times10^5 et F=8,2×10−3−6×10−4F=8{,}2\times10^{-3}-6\times10^{-4}.

  1. Mettre les termes de EE à la même puissance de 10.
  2. Calculer EE.
  3. Mettre les termes de FF à la même puissance.
  4. Calculer FF.
  5. Contrôler les deux ordres de grandeur.
Indication

On ne peut additionner directement les coefficients que si les puissances de 10 sont identiques.

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  1. 4,5×105=0,45×1064{,}5\times10^5=0{,}45\times10^6.
  2. E=3,15×106E=3{,}15\times10^6.
  3. 6×10−4=0,6×10−36\times10^{-4}=0{,}6\times10^{-3}.
  4. F=7,6×10−3F=7{,}6\times10^{-3}.
  5. Le premier résultat reste de l'ordre du million ; le second reste proche du centième, ce qui confirme les exposants.

Encadrer et estimer un ordre de grandeur

L'ordre de grandeur aide à comparer des quantités et à détecter un exposant incohérent.

Exercice 7 : Entre deux puissances consécutives

Moyen

Encadrer 38 50038\,500, 0,00470{,}0047 et 6,2×1086{,}2\times10^8 entre deux puissances de 1010 consécutives.

  1. Encadrer les trois nombres.
  2. Donner leur notation scientifique.
  3. Associer à chacun la puissance de 10 la plus proche.
Indication

Repérez d'abord le rang du premier chiffre non nul.

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  1. 104<38 500<10510^4\lt 38\,500\lt 10^5, 10−3<0,0047<10−210^{-3}\lt 0{,}0047\lt 10^{-2}, et 108<6,2×108<10910^8\lt 6{,}2\times10^8\lt 10^9.
  2. Les écritures sont 3,85×1043{,}85\times10^4, 4,7×10−34{,}7\times10^{-3} et 6,2×1086{,}2\times10^8.
  3. Les puissances les plus proches sont respectivement 10410^4, 10−210^{-2} et 10910^9.

Exercice 8 : Détecter un exposant impossible

Moyen

Une calculatrice affiche pour 4,8×106×3,1×10−24{,}8\times10^6\times3{,}1\times10^{-2} le résultat 1,488×10−71{,}488\times10^{-7}.

  1. Sans calcul exact, expliquer pourquoi l'exposant est impossible.
  2. Calculer le résultat correct.
  3. Identifier une erreur de saisie plausible.
Indication

Le produit de 10610^6 et 10−210^{-2} est 10410^4, pas une très petite puissance.

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  1. Le résultat doit être proche de 5×3×1045\times3\times10^4, donc de 1,5×1051{,}5\times10^5, et non de 10−710^{-7}.
  2. 4,8×3,1=14,884{,}8\times3{,}1=14{,}88, donc le résultat est 14,88×104=1,488×10514{,}88\times10^4=1{,}488\times10^5.
  3. Une soustraction ou un signe négatif mal saisi dans l'exposant peut expliquer l'affichage erroné.

Utiliser la notation scientifique dans un problème

Les unités et l'interprétation finale restent indispensables, même lorsque les nombres sont très grands ou très petits.

Exercice 9 : Distance parcourue par la lumière

Moyen

La lumière parcourt environ 3×1053\times10^5 km par seconde. Une minute compte 6060 secondes.

  1. Exprimer 6060 comme 6×1016\times10^1.
  2. Calculer la distance parcourue en une minute.
  3. Donner le résultat en notation scientifique et en écriture décimale.
Indication

Multipliez vitesse par durée, puis normalisez le coefficient.

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  1. 60=6×10160=6\times10^1.
  2. (3×105)(6×101)=18×106(3\times10^5)(6\times10^1)=18\times10^6 km.
  3. La distance vaut 1,8×1071{,}8\times10^7 km, soit 18 000 00018\,000\,000 km.

Exercice 10 : Mémoire d’un capteur

Difficile

Un capteur enregistre 2,4×1032{,}4\times10^3 octets par seconde pendant 3,6×1033{,}6\times10^3 secondes. Sa mémoire disponible vaut 1,0×1071{,}0\times10^7 octets.

  1. Calculer le volume enregistré.
  2. Normaliser le résultat.
  3. Décider si la mémoire suffit.
  4. Calculer la mémoire restante.
  5. Donner un pourcentage approximatif d'occupation.
Indication

Comparez les deux quantités après les avoir écrites avec la même puissance de 1010.

Voir le corrigé
  1. Le volume vaut (2,4×103)(3,6×103)=8,64×106(2{,}4\times10^3)(3{,}6\times10^3)=8{,}64\times10^6 octets.
  2. Le coefficient est déjà normalisé.
  3. 8,64×106<1,0×1078{,}64\times10^6\lt 1{,}0\times10^7, donc la mémoire suffit.
  4. Il reste 10×106−8,64×106=1,36×10610\times10^6-8{,}64\times10^6=1{,}36\times10^6 octets.
  5. L'occupation est environ 86,4%86{,}4\%.

Exercice 11 : Taille d’une bactérie

Difficile

Une bactérie mesure 2,5×10−62{,}5\times10^{-6} m. On aligne 4×1054\times10^5 bactéries sans espace.

  1. Calculer la longueur totale en mètres.
  2. Exprimer cette longueur en centimètres.
  3. Comparer le résultat à 11 m.
  4. Expliquer pourquoi les exposants s'annulent presque.
Indication

Dans le produit, additionnez −6-6 et 55, puis normalisez le coefficient.

Voir le corrigé
  1. (2,5×10−6)(4×105)=10×10−1=1(2{,}5\times10^{-6})(4\times10^5)=10\times10^{-1}=1 m.
  2. Un mètre vaut 100100 cm.
  3. La longueur est exactement égale à 11 m dans ce modèle.
  4. Les exposants donnent 10−110^{-1}, mais le produit des coefficients vaut 1010, soit 10110^1, ce qui conduit à 100=110^0=1.
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