Carrés, cubes et puissances 5ème : cours clair

Les carrés, cubes et puissances en 5ème donnent une écriture courte à une multiplication répétée. $5^2$ ne signifie pas $5\times2$ : il signifie que le nombre $5$ apparaît deux fois comme facteur. Cette différence de lecture est au cœur du chapitre.

Le carré se relie naturellement à une aire et le cube à un volume. Nous construirons ces images avant d'utiliser la notation générale, puis nous verrons comment calculer, comparer et intégrer une puissance dans une expression numérique.

Table des Matières

Du produit répété à l’écriture en puissance

Puissance d’exposant entier positif

Pour un nombre $a$ et un entier positif $n$ , l'écriture $a^n$ désigne le produit de $n$ facteurs tous égaux à $a$ . Le nombre $a$ est la base ; $n$ est l'exposant.

3^4=3\times3\times3\times3=81 \qquad\text{et}\qquad 10^3=10\times10\times10=1\,000.

L'exposant compte les facteurs ; il n'est pas un facteur supplémentaire. La lecture « trois puissance quatre » rappelle que $4$ décrit le nombre de répétitions de $3$ .

Erreur fréquente : $3^4\neq3\times4$ . Le premier calcul vaut $81$ , tandis que le second vaut $12$ .

Pourquoi parle-t-on de carré et de cube ?

Carré et cube d'un nombre — Les noms « carré » et « cube » viennent directement des mesures géométriques correspondantes.

Un carré de côté $a$ contient $a\times a=a^2$ unités d'aire lorsque $a$ est un entier. On lit $a^2$ « $a$ au carré ». Un cube de côté $a$ contient $a\times a\times a=a^3$ unités de volume ; on lit $a^3$ « $a$ au cube ».

\mathcal A_{\text{carré}}=a^2 \qquad\text{et}\qquad V_{\text{cube}}=a^3.

Le sens géométrique explique aussi les unités : le carré d'une longueur en centimètres s'exprime en $\text{cm}^2$ , le cube d'une longueur en centimètres en $\text{cm}^3$ .

Calculer les carrés usuels

Nombre $n$	$n^2$	Produit
$1$	$1$	$1\times1$
$2$	$4$	$2\times2$
$3$	$9$	$3\times3$
$4$	$16$	$4\times4$
$5$	$25$	$5\times5$
$10$	$100$	$10\times10$

Connaître les carrés de $1$ à $10$ accélère les calculs et aide à reconnaître une aire. Cependant, il faut pouvoir reconstruire la valeur par multiplication plutôt que mémoriser sans sens.

Pour $12^2$ , on peut calculer $12\times12=144$ . Pour $0,5^2$ , on obtient $0,5\times0,5=0,25$ : le carré d'un nombre entre $0$ et $1$ est plus petit que ce nombre.

Calculer et interpréter les cubes

Les premiers cubes sont $1^3=1$ , $2^3=8$ , $3^3=27$ , $4^3=64$ et $5^3=125$ . Ils apparaissent dans l'empilement de petits cubes et les conversions de volume.

V=2{,}5^3=2{,}5\times2{,}5\times2{,}5=15{,}625\ \text{cm}^3.

Le résultat n'est pas $7,5$ : l'exposant $3$ indique trois facteurs, pas une multiplication par $3$ . Le contexte volumique fournit ici un contrôle d'unité.

Parenthèses et signe d’une base

Les parenthèses indiquent exactement ce qui est élevé à la puissance. Pour une base négative, elles sont indispensables afin d'éviter une lecture ambiguë.

(-3)^2=(-3)\times(-3)=9, \qquad (-3)^3=(-3)\times(-3)\times(-3)=-27.

Un nombre pair de facteurs négatifs donne un produit positif ; un nombre impair en laisse un non apparié, donc un produit négatif. À ce niveau, cette observation sert à comprendre les carrés et cubes de bases simples.

L'écriture $-3^2$ est normalement l'opposé de $3^2$ , donc $-9$ , car la puissance porte sur $3$ avant le signe moins. Pour élever $-3$ au carré, il faut écrire $(-3)^2$ .

Puissances de dix et écriture des grands nombres

Puissance de dix

Pour un exposant entier positif $n$ , $10^n$ s'écrit avec $1$ suivi de $n$ zéros.

Puissance	Valeur	Lecture
$10^1$	$10$	dix
$10^2$	$100$	cent
$10^3$	$1\,000$	mille
$10^6$	$1\,000\,000$	un million

Cette notation rend lisibles les ordres de grandeur. Dire qu'une distance vaut environ $10^3$ mètres signifie qu'elle est de l'ordre du kilomètre. La notation scientifique complète sera étudiée plus tard ; ici, l'objectif est de comprendre la répétition des facteurs $10$ .

Insérer une puissance dans un calcul numérique

Une puissance se calcule avant les multiplications, divisions, additions et soustractions, sauf si une parenthèse impose d'abord un autre calcul.

\begin{aligned} 5+2^3\times3 &=5+8\times3\\ &=5+24\\ &=29. \end{aligned}

Les règles générales sont celles du cours sur le calcul numérique et les priorités opératoires en 5ème. La puissance ajoute simplement un niveau prioritaire avant le produit.

Erreur fréquente : dans $(2+3)^2$ , la parenthèse est calculée avant le carré : $5^2=25$ . Ce n'est pas $2+3^2=11$ .

Comparer des puissances simples par le sens

Avec une même base supérieure à $1$ , répéter davantage le facteur donne une valeur plus grande : $2^4\gt 2^3$ . Avec le même exposant positif, comparer les bases positives suffit : $7^2\gt 5^2$ .

Mais les comparaisons mixtes demandent un calcul : $3^4=81$ et $4^3=64$ , donc $3^4\gt 4^3$ malgré la base plus petite. Une puissance ne se compare pas en regardant seulement l'exposant ou seulement la base.

Le lien entre $a^2$ , aire et conversions sera réinvesti dans les formules de périmètres et aires étudiées en 6ème.

Distinguer valeur, aire et volume dans un même exemple

Le nombre $6$ peut jouer plusieurs rôles. $6^2=36$ est un calcul sans unité. Si $6$ cm est le côté d'un carré, $36\,\text{cm}^2$ est une aire. Si $6$ cm est le côté d'un cube, $6^3=216\,\text{cm}^3$ est un volume.

Donnée	Calcul	Résultat interprété
Nombre $6$	$6^2$	$36$
Carré de côté $6$ cm	$6^2$	$36\,\text{cm}^2$
Cube de côté $6$ cm	$6^3$	$216\,\text{cm}^3$

L'exposant du nombre et l'exposant de l'unité n'ont pas exactement le même rôle typographique, mais ils racontent la même dimension : deux facteurs de longueur pour une aire, trois pour un volume.

Calcul mental de quelques carrés

Pour calculer $15^2$ , on peut utiliser $15\times15=225$ . Une autre méthode décompose $15=10+5$ et prépare la distributivité : $(10+5)\times15=150+75=225$ .

Le carré d'un nombre terminé par $0$ se calcule en élevant la partie non nulle au carré puis en tenant compte des facteurs $10$ . Ainsi $30^2=(3\times10)^2=9\times100=900$ .

30^2=900, \qquad 0{,}3^2=0{,}09.

Ces deux résultats montrent que « ajouter deux zéros » n'est pas une règle universelle : elle dépend de la position de la virgule et de l'écriture du nombre comme produit.

Carrés, cubes et puissances 5ème : l’essentiel à retenir

Les carrés, cubes et puissances en 5ème condensent une multiplication répétée : la base est le facteur et l'exposant en compte les répétitions. Le carré décrit une aire, le cube un volume, et les parenthèses précisent si un signe appartient à la base.

Cette introduction, désormais explicitée par le programme officiel de mathématiques du cycle 4, prépare les puissances plus générales sans anticiper inutilement les règles des niveaux suivants.