Puissances 4ème : 10 exercices corrigés

Ces exercices corrigés sur les puissances en 4ème apprennent à lire une base et un exposant, à choisir la bonne règle et à conserver les parenthèses utiles. Le cours sur les puissances et les exposants sert de référence pour chaque méthode.

La série réemploie les priorités et les signes étudiés dans le calcul sur les nombres relatifs, tout en distinguant clairement valeur exacte et écriture simplifiée.

Lire et calculer une puissance

L'exposant indique le nombre de facteurs égaux à la base ; il ne multiplie pas la base.

Exercice 1 : De l’écriture au produit

Facile

On considère 252^5, (−3)4(-3)^4, −34-3^4 et (12)3\left(\frac12\right)^3.

  1. Écrire chaque puissance comme un produit.
  2. Calculer les quatre valeurs.
  3. Comparer (−3)4(-3)^4 et −34-3^4.
Indication

Les parenthèses déterminent si le signe moins appartient à la base.

Voir le corrigé
  1. 25=2×2×2×2×22^5=2\times2\times2\times2\times2, (−3)4=(−3)×(−3)×(−3)×(−3)(-3)^4=(-3)\times(-3)\times(-3)\times(-3), −34=−(3×3×3×3)-3^4=-(3\times3\times3\times3), et (12)3=12×12×12\left(\frac12\right)^3=\frac12\times\frac12\times\frac12.
  2. Les valeurs sont 3232, 8181, −81-81 et 18\frac18.
  3. La première base est −3-3 ; dans la seconde, le signe moins reste extérieur à la puissance.

Exercice 2 : Exposant nul et exposant un

Facile

Calculer 717^1, (−12)0(-12)^0, 120261^{2026}, (−1)15(-1)^{15} et (−1)16(-1)^{16}.

  1. Donner les cinq valeurs.
  2. Formuler la règle de l'exposant nul.
  3. Expliquer l'alternance des puissances de −1-1.
Indication

Toute base non nulle élevée à la puissance zéro vaut 11.

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  1. Les valeurs sont 77, 11, 11, −1-1 et 11.
  2. Pour tout nombre a≠0a\neq0, a0=1a^0=1.
  3. Un nombre pair de facteurs −1-1 donne 11, tandis qu'un nombre impair en laisse un signe négatif.

Appliquer les règles sur une même base

On additionne les exposants dans un produit, on les soustrait dans un quotient et on les multiplie pour une puissance de puissance.

Exercice 3 : Produits de même base

Facile

Simplifier A=53×57A=5^3\times5^7, B=(−2)4×(−2)3B=(-2)^4\times(-2)^3 et C=x6×x2C=x^6\times x^2.

  1. Écrire chaque expression sous la forme d'une seule puissance, puis préciser le signe de BB.
Indication

La base doit être exactement la même avant d'additionner les exposants.

Voir le corrigé

A=510A=5^{10}, B=(−2)7B=(-2)^7 et C=x8C=x^8. L'exposant 77 est impair et la base vaut −2-2, donc BB est négatif. Il ne faut pas multiplier les exposants dans un produit.

Exercice 4 : Quotients et simplification

Moyen

Simplifier D=3934D=\frac{3^9}{3^4}, E=(−5)6(−5)2E=\frac{(-5)^6}{(-5)^2} et F=a7a7F=\frac{a^7}{a^7} avec a≠0a\neq0.

  1. Donner une puissance pour DD.
  2. Donner une puissance puis le signe de EE.
  3. Simplifier FF.
  4. Justifier la condition aeq0a eq0.
Indication

Dans un quotient de puissances de même base non nulle, soustrayez l'exposant du dénominateur.

Voir le corrigé
  1. D=39−4=35D=3^{9-4}=3^5.
  2. E=(−5)6−2=(−5)4>0E=(-5)^{6-2}=(-5)^4\gt 0.
  3. F=a7−7=a0=1F=a^{7-7}=a^0=1.
  4. La condition exclut une division par zéro dans l'expression initiale.

Exercice 5 : Puissance d’une puissance

Moyen

Réduire G=(23)4G=(2^3)^4, H=[(−3)2]5H=[(-3)^2]^5 et K=(y4)3×y2K=(y^4)^3\times y^2.

  1. Simplifier GG et HH.
  2. Simplifier KK.
  3. Expliquer pourquoi (23)4eq27(2^3)^4 eq2^7.
Indication

Une puissance de puissance représente quatre groupes de trois facteurs 22, soit douze facteurs.

Voir le corrigé
  1. G=212G=2^{12} et H=(−3)10=310H=(-3)^{10}=3^{10}.
  2. K=y12×y2=y14K=y^{12}\times y^2=y^{14}.
  3. Dans (23)4(2^3)^4, le produit 232^3 est répété quatre fois ; les exposants se multiplient, ils ne s'additionnent pas.

Respecter les priorités et détecter les fausses règles

Une puissance est calculée avant les produits et les sommes, sauf si des parenthèses modifient la structure.

Exercice 6 : Priorités avec exposants

Moyen

Calculer L=3+24×5L=3+2^4\times5, M=(3+2)4÷25M=(3+2)^4\div25 et N=−24+(−2)3N=-2^4+(-2)^3.

  1. Calculer LL.
  2. Calculer MM.
  3. Calculer NN.
  4. Indiquer les deux bases utilisées dans NN.
Indication

Dans NN, le premier signe moins est extérieur ; le second appartient à la base parenthésée.

Voir le corrigé
  1. L=3+16×5=83L=3+16\times5=83.
  2. M=54÷25=625÷25=25M=5^4\div25=625\div25=25.
  3. N=−16−8=−24N=-16-8=-24.
  4. Les bases des puissances sont 22 puis −2-2.

Exercice 7 : Trois affirmations à auditer

Difficile

On lit : 23+24=272^3+2^4=2^7, 65÷62=636^5\div6^2=6^3 et (42)3=45(4^2)^3=4^5.

  1. Décider quelles affirmations sont vraies.
  2. Corriger chaque affirmation fausse.
  3. Donner un contre-exemple numérique à la fausse règle sur la somme.
  4. Énoncer les conditions de la règle du quotient.
Indication

Les règles d'exposants concernent produits, quotients et puissances de puissances, jamais une somme ordinaire.

Voir le corrigé
  1. Seule 65÷62=636^5\div6^2=6^3 est vraie.
  2. 23+24=8+16=242^3+2^4=8+16=24, et (42)3=46(4^2)^3=4^6.
  3. 24≠27=12824\neq2^7=128, donc l'addition des exposants dans une somme est invalide.
  4. Il faut la même base non nulle ; on soustrait alors les exposants.

Exercice 8 : Choisir l’écriture la plus efficace

Moyen

Calculer mentalement P=8429P=\frac{8^4}{2^9}.

  1. Réécrire 88 comme une puissance de 22.
  2. Simplifier PP.
  3. Calculer sa valeur.
  4. Vérifier par une autre décomposition.
Indication

8=238=2^3, donc 84=(23)48^4=(2^3)^4.

Voir le corrigé
  1. 84=2128^4=2^{12}.
  2. P=212−9=23P=2^{12-9}=2^3.
  3. Donc P=8P=8.
  4. On peut aussi écrire 84/29=(29×23)/29=238^4/2^9=(2^9\times2^3)/2^9=2^3.

Modéliser une répétition

Les puissances condensent une multiplication répétée et permettent de comparer rapidement des croissances.

Exercice 9 : Épaisseur d’une feuille pliée

Moyen

Une feuille mesure 0,10{,}1 mm d'épaisseur. À chaque pliage théorique, son épaisseur double.

  1. Exprimer l'épaisseur après 88 pliages.
  2. Calculer cette épaisseur en millimètres.
  3. La comparer à 22 cm.
Indication

Après nn pliages, le facteur multiplicatif est 2n2^n. Convertissez ensuite les millimètres en centimètres.

Voir le corrigé
  1. L'épaisseur vaut 0,1×280{,}1\times2^8 mm.
  2. 28=2562^8=256, donc elle vaut 25,625{,}6 mm.
  3. Cela représente 2,562{,}56 cm, donc plus de 22 cm.

Exercice 10 : Cases d’un damier

Difficile

Sur la première case d'un damier on place 11 grain, puis on double la quantité à chaque nouvelle case.

  1. Écrire la quantité placée sur la dixième case.
  2. Calculer cette quantité.
  3. Exprimer la quantité de la douzième case à partir de celle de la dixième.
  4. Expliquer pourquoi la somme des dix premières cases n'est pas 10910^9.
  5. Calculer cette somme à l'aide de 1+2+4+⋯+29=210−11+2+4+\cdots+2^9=2^{10}-1.
Indication

La première case correspond à 202^0, la dixième à 292^9.

Voir le corrigé
  1. La dixième case contient 292^9 grains.
  2. 29=5122^9=512.
  3. La douzième contient 211=29×222^{11}=2^9\times2^2, soit quatre fois la dixième.
  4. Les quantités ne sont pas toutes égales à 10910^9 ; elles forment des puissances successives de 22.
  5. La somme vaut 210−1=10232^{10}-1=1023 grains.
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