Probabilités 3ème : 12 exercices corrigés

Ces exercices corrigés de probabilités en 3ème font passer du comptage d'issues aux arbres de deux épreuves. Le cours sur les événements et les expériences composées explique quand multiplier ou additionner.

La lecture des fréquences observées prolonge le travail de statistiques. Une fréquence expérimentale fournit une estimation, mais elle ne remplace pas le calcul théorique lorsque le modèle est connu.

Décrire l’univers et calculer une probabilité

Dans une expérience équiprobable, la probabilité d'un événement est le nombre d'issues favorables divisé par le nombre total d'issues.

Exercice 1 : Dé à douze faces

Facile

Un dé équilibré possède des faces numérotées de 11 à 1212. On note AA l'événement « obtenir un multiple de 33 » et BB l'événement « obtenir un nombre premier ».

  1. Écrire l'univers.
  2. Lister les issues de AA et calculer P(A)P(A).
  3. Lister les issues de BB et calculer P(B)P(B).
  4. Décrire A∩BA\cap B.
Indication

Parmi 11 à 1212, le nombre 11 n'est pas premier.

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  1. Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}.
  2. A={3,6,9,12}A=\{3,6,9,12\}, donc P(A)=4/12=1/3P(A)=4/12=1/3.
  3. B={2,3,5,7,11}B=\{2,3,5,7,11\}, donc P(B)=5/12P(B)=5/12.
  4. A∩B={3}A\cap B=\{3\}.

Exercice 2 : Événement contraire

Facile

Dans une urne, la probabilité de tirer une bille rouge est 0,370{,}37.

  1. Calculer la probabilité de ne pas tirer rouge.
  2. Sur 500500 tirages avec remise, donner un effectif attendu de tirages non rouges.
Indication

Un événement et son contraire ont une somme de probabilités égale à 11.

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  1. P(R‾)=1−0,37=0,63P(\overline R)=1-0{,}37=0{,}63.
  2. On attend environ 500×0,63=315500\times0{,}63=315 tirages non rouges.

Exercice 3 : Roulette non équiprobable

Moyen

Une roulette possède quatre secteurs : rouge 120120 degrés, bleu 9090 degrés, vert 6060 degrés et jaune le reste. La flèche est supposée uniforme sur le disque.

  1. Calculer l'angle du secteur jaune.
  2. Déterminer les quatre probabilités.
  3. Expliquer pourquoi compter quatre couleurs et répondre 1/41/4 est incorrect.
Indication

Ici, la probabilité est proportionnelle à l'angle du secteur.

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  1. L'angle jaune vaut 360−120−90−60=90360-120-90-60=90 degrés.
  2. Les probabilités rouge, bleu, vert et jaune sont 1/31/3, 1/41/4, 1/61/6 et 1/41/4.
  3. Les quatre secteurs n'ont pas tous la même aire, donc les couleurs ne sont pas équiprobables.

Organiser une expérience à deux étapes

Un tableau ou un arbre empêche d'oublier une issue. Avec remise, les probabilités restent identiques ; sans remise, la composition change au second tirage.

Exercice 4 : Deux lancers d’une pièce

Facile

On lance deux fois une pièce équilibrée et on note PP pour pile, FF pour face.

  1. Lister les quatre issues ordonnées.
  2. Calculer la probabilité d'obtenir exactement une fois pile.
  3. Calculer la probabilité d'obtenir au moins une fois pile.
Indication

Les résultats PFPF et FPFP sont deux issues différentes.

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  1. Les issues sont PP,PF,FP,FFPP,PF,FP,FF.
  2. Exactement une fois pile correspond à PFPF ou FPFP, donc la probabilité vaut 2/4=1/22/4=1/2.
  3. Au moins une fois pile correspond à trois issues, donc 3/43/4.

Exercice 5 : Deux tirages avec remise

Moyen

Un sac contient 33 jetons blancs et 22 noirs. On tire un jeton, on le remet, puis on tire de nouveau.

  1. Construire les probabilités des branches d'un arbre.
  2. Calculer la probabilité de tirer deux jetons blancs.
  3. Calculer la probabilité d'obtenir deux couleurs différentes.
Indication

La remise maintient P(B)=3/5P(B)=3/5 et P(N)=2/5P(N)=2/5 au second tirage.

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  1. À chaque niveau, les branches blanc et noir portent 3/53/5 et 2/52/5.
  2. P(BB)=35×35=925P(BB)=\dfrac35\times\dfrac35=\dfrac9{25}.
  3. P(BN ou NB)=35×25+25×35=1225P(BN\text{ ou }NB)=\dfrac35\times\dfrac25+\dfrac25\times\dfrac35=\dfrac{12}{25}.

Exercice 6 : Deux tirages sans remise

Difficile

Une boîte contient 44 cartes marquées A et 33 cartes marquées B. On tire deux cartes sans remise.

  1. Donner les probabilités du premier tirage.
  2. Compléter les probabilités du second tirage après A, puis après B.
  3. Calculer la probabilité d'obtenir deux lettres identiques.
  4. Calculer la probabilité d'obtenir A puis B.
Indication

Après le premier tirage, il ne reste que 66 cartes et l'effectif de la lettre tirée diminue de 11.

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  1. P(A)=4/7P(A)=4/7 et P(B)=3/7P(B)=3/7.
  2. Après A : 3/63/6 et 3/63/6. Après B : 4/64/6 et 2/62/6.
  3. P(AA ou BB)=47×36+37×26=37P(AA\text{ ou }BB)=\dfrac47\times\dfrac36+\dfrac37\times\dfrac26=\dfrac37.
  4. P(A puis B)=47×36=27P(A\text{ puis }B)=\dfrac47\times\dfrac36=\dfrac27.

Relier fréquence expérimentale et probabilité

Une simulation produit une fréquence qui fluctue. Lorsque le nombre d'essais augmente, elle tend généralement à se rapprocher de la probabilité théorique.

Exercice 7 : Comparer trois séries de lancers

Moyen

Un dé donne un six 33 fois sur 2020 lancers, 1919 fois sur 100100, puis 164164 fois sur 1 0001\,000.

  1. Calculer les trois fréquences.
  2. Comparer chacune à 1/6≈0,1671/6\approx0{,}167.
  3. Dire quelle série fournit l'estimation la plus proche, sans affirmer qu'elle sera toujours la meilleure.
Indication

Convertissez les effectifs en quotients décimaux avant de comparer.

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  1. Les fréquences sont 0,150{,}15, 0,190{,}19 et 0,1640{,}164.
  2. Les écarts à 0,1670{,}167 valent environ 0,0170{,}017, 0,0230{,}023 et 0,0030{,}003.
  3. La série de 1 0001\,000 lancers est ici la plus proche. Une autre simulation pourrait toutefois donner des écarts différents.

Exercice 8 : Estimer la composition d’un sac

Moyen

Lors de 400400 tirages avec remise, une bille bleue apparaît 146146 fois. Le sac contient 2020 billes.

  1. Calculer la fréquence observée du bleu.
  2. Estimer le nombre de billes bleues dans le sac.
  3. Expliquer pourquoi le résultat est une estimation.
Indication

Multipliez la fréquence par l'effectif total du sac, puis choisissez un nombre entier plausible.

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  1. La fréquence vaut 146/400=0,365146/400=0{,}365.
  2. 20×0,365=7,320\times0{,}365=7{,}3, donc on estime environ 77 billes bleues.
  3. La fréquence dépend du hasard et n'est pas nécessairement égale exactement à la proportion du sac.

Exercice 9 : Déboguer une simulation Scratch

Difficile

Un script répète 100100 fois : choisir un entier aléatoire entre 11 et 66 ; si le résultat vaut 66, mettre le compteur à 11, sinon ne rien faire.

  1. Expliquer pourquoi le compteur final ne donne pas le nombre de six.
  2. Indiquer l'instruction correcte à placer dans le bloc conditionnel.
  3. Préciser l'initialisation nécessaire avant la boucle.
  4. Donner l'ordre de grandeur attendu du compteur final.
Indication

Mettre à 11 efface le cumul précédent ; il faut ajouter une unité.

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  1. Chaque nouveau six remplace le compteur par 11, au lieu de conserver les succès précédents.
  2. Il faut utiliser « ajouter 11 à compteur ».
  3. Avant la boucle, le compteur doit être mis à 00.
  4. On attend environ 100/6≈17100/6\approx17 succès, avec des fluctuations.

Décider si un jeu est équitable

Pour comparer des gains, on associe chaque issue à sa probabilité. Un jeu n'est pas équitable si l'un des joueurs possède un avantage moyen.

Exercice 10 : Somme de deux dés

Moyen

On lance deux dés équilibrés. Lina gagne si la somme vaut 77, Hugo gagne si elle vaut 1010 ou 1111. Sinon, personne ne gagne.

  1. Compter les couples donnant une somme de 77.
  2. Compter ceux donnant 1010 ou 1111.
  3. Comparer les probabilités de victoire.
Indication

Les 3636 couples ordonnés sont équiprobables.

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  1. La somme 77 possède 66 couples, donc P(L)=6/36=1/6P(L)=6/36=1/6.
  2. La somme 1010 possède 33 couples et 1111 en possède 22, donc P(H)=5/36P(H)=5/36.
  3. Lina a une probabilité légèrement supérieure : les règles ne donnent pas le même avantage.

Exercice 11 : Gain moyen d’une loterie

Difficile

Un ticket coûte 22 euros. Parmi 100100 tickets, 11 rapporte 5050 euros, 44 rapportent 1010 euros, et les autres ne rapportent rien. Les montants indiqués sont les sommes reçues, avant déduction du prix.

  1. Calculer la somme totale versée aux joueurs.
  2. Calculer le gain reçu moyen par ticket.
  3. Déduire le bilan moyen après paiement du ticket.
  4. Conclure du point de vue du joueur.
Indication

Répartissez la somme totale des lots sur 100100 tickets, puis retirez le prix d'achat.

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  1. La somme versée vaut 1×50+4×10=901\times50+4\times10=90 euros.
  2. La somme reçue moyenne est 90/100=0,9090/100=0{,}90 euro.
  3. Le bilan moyen est 0,90−2=−1,100{,}90-2=-1{,}10 euro par ticket.
  4. À long terme, le joueur perd en moyenne 1,101{,}10 euro par ticket : le jeu ne lui est pas favorable.

Exercice 12 : Modifier une règle pour équilibrer le jeu

Difficile

Un sac contient 22 jetons verts et 33 orange. Un joueur paie 11 euro, gagne aa euros s'il tire vert et ne reçoit rien sinon.

  1. Calculer la probabilité de tirer vert.
  2. Exprimer la somme reçue moyenne en fonction de aa.
  3. Déterminer aa pour que le bilan moyen après paiement soit nul.
  4. Vérifier la valeur obtenue.
Indication

Un jeu équitable rembourse en moyenne le prix de participation.

Voir le corrigé
  1. P(V)=2/5P(V)=2/5.
  2. La somme reçue moyenne vaut 25a\dfrac25a.
  3. On impose 25a=1\dfrac25a=1, donc a=52=2,50a=\dfrac52=2{,}50 euros.
  4. 25×2,50=1\dfrac25\times2{,}50=1 euro, exactement le prix du jeu.
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