Probabilités 3ème : événements, contraires et expériences à deux épreuves

Expérience aléatoire, issue et événement

Lors du lancer d'un dé équilibré, l'univers est $\{1;2;3;4;5;6\}$. L'événement $A$ « obtenir un multiple de 3 » contient les issues 3 et 6. Il ne faut pas confondre l'événement avec sa probabilité.

Calculer une probabilité en situation d’équiprobabilité

Une probabilité est comprise entre 0 et 1. L'écriture en pourcentage est possible, ici environ 33,3 %. Si le dé est truqué, compter les faces ne suffit plus : l'équiprobabilité doit être justifiée.

Utiliser l’événement contraire

Le contraire est particulièrement utile pour « au moins un ». La probabilité d'obtenir au moins une réussite peut être calculée en retirant à 1 la probabilité de n'obtenir aucune réussite.

Erreur fréquente : le contraire de « obtenir 6 » n'est pas « obtenir 1 ». Il contient toutes les autres issues 1, 2, 3, 4 et 5.

Réunir des événements incompatibles

Avec un dé, $A$ « obtenir un multiple de 3 » et $B$ « obtenir 1 » sont incompatibles. Leur réunion contient 1, 3 et 6, donc sa probabilité vaut $1/3+1/6=1/2$.

Si deux événements partagent des issues, les additionner compterait ces issues deux fois. Au niveau 3ème, on peut alors revenir à la liste complète des issues favorables pour éviter une formule mal maîtrisée.

Organiser une expérience à deux épreuves

Une urne fournit une première couleur parmi R, B et V, puis une seconde parmi R et B, avec remise et équiprobabilité à chaque étape. Les issues sont des couples ordonnés : $(R;B)$ n'est pas la même issue que $(B;R)$.

Le tableau contient $3\times2=6$ couples équiprobables. L'événement « les deux couleurs sont identiques » contient $(R;R)$ et $(B;B)$, donc sa probabilité vaut $2/6=1/3$.

Calculer au moins une réussite par le contraire

On lance deux fois une pièce équilibrée. Chercher la probabilité d'obtenir au moins une fois pile est plus court par l'événement contraire : n'obtenir aucun pile signifie obtenir face deux fois.

La liste $(P;P),(P;F),(F;P),(F;F)$ confirme trois issues favorables sur quatre. Écrire explicitement l'ordre évite d'oublier que pile puis face et face puis pile sont distincts.

Relier fréquence observée et probabilité théorique

Sur un petit nombre d'essais, une fréquence peut s'éloigner de la probabilité théorique. Lorsque le nombre de répétitions augmente, la fréquence tend à se stabiliser autour de cette probabilité. Une simulation aide à observer ce phénomène sans constituer une preuve de la valeur exacte.

Avant de calculer, la procédure est stable : définir l'univers, nommer l'événement, vérifier l'équiprobabilité, choisir un dénombrement ou un contraire, puis contrôler que le résultat appartient à $[0;1]$.

Le cours sur les probabilités en 4ème rappelle le vocabulaire initial. Les probabilités conditionnelles appartiennent à une étude ultérieure et ne sont pas nécessaires pour les expériences simples de 3ème.

Construire une simulation et lire ses limites

Pour simuler un dé équilibré, un programme choisit au hasard un entier de 1 à 6, incrémente un compteur si le résultat est pair et répète l'expérience. La fréquence des nombres pairs est le compteur divisé par le nombre total d'essais.

Avec 20 essais, obtenir une fréquence de 0,60 n'invalide pas la probabilité théorique 0,50. Avec 10 000 essais, on attend généralement une fréquence plus proche de 0,50, sans exiger une égalité parfaite.

Une simulation vérifie un comportement global et aide à estimer une probabilité difficile, mais une preuve exacte repose sur le modèle et le dénombrement des issues.

Événement certain et somme des probabilités

Dans une expérience, les issues élémentaires incompatibles couvrent l'univers. La somme de leurs probabilités vaut 1. Si un sac contient trois couleurs dont les probabilités sont 0,25, 0,40 et $p$, alors $p=1-0,25-0,40=0,35$.

Ce contrôle permet de compléter une loi de probabilité simple. Une probabilité négative ou une somme supérieure à 1 révèle une donnée ou un calcul impossible.

Probabilités 3ème : l’essentiel à retenir

Une probabilité porte sur un événement, c'est-à-dire un ensemble d'issues. L'équiprobabilité autorise un quotient de dénombrements, le contraire transforme un calcul de type « au moins un », et un tableau à double entrée organise les expériences à deux épreuves sans omission.

Cette approche suit précisément les repères annuels de progression de mathématiques pour le cycle 4 actuellement appliqués en 3ème, sans imposer un formalisme plus avancé que nécessaire.