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Quatrième

Série d’exercices

Pythagore 4e : exercices corrigés PDF

Quatrième Théorème de Pythagore

Le cours de Pythagore rappelle quand utiliser le théorème, sa réciproque ou sa contraposée. Cette fiche de 4e propose neuf exercices originaux avec des figures, des calculs exacts et des démonstrations, puis leurs corrigés dans le même PDF. Des exercices corrigés complémentaires permettent ensuite de varier les situations.

Sommaire
  1. 1.Calculer dans un triangle rectangle
    1. 1.1.Lire les aires des carrés
    2. 1.2.Un côté décimal à retrouver
  2. 2.Décider avant d’affirmer
    1. 2.1.Un croquis presque droit
    2. 2.2.Un angle à démontrer
  3. 3.Relier plusieurs informations
    1. 3.1.Deux angles droits, deux étapes
    2. 3.2.Même hypoténuse, autres côtés
    3. 3.3.D’abord un triangle
  4. 4.Précision et contrôle
    1. 4.1.Une mesure n’est pas une preuve
    2. 4.2.Un patron d’aire connue
  5. 5.Corrigés détaillés

    Calculer dans un triangle rectangle

    Triangle ABC rectangle en A, avec une aire de 25 cm² sur AB et de 81 cm² sur AC.
    Schéma de l’exercice 1 : aires des carrés sur les côtés de l’angle droit.

    Exercice 1Lire les aires des carrés

    Corrigé

    ABC est rectangle en A. Le carré sur AB a une aire de 25 cm² et celui sur AC une aire de 81 cm². Utiliser le schéma ci-dessus.

    1. Donner les longueurs AB et AC.

    2. Quelle est l’aire du carré construit sur BC ? Justifier.

    3. Donner BC exactement, puis l’encadrer entre deux entiers consécutifs.

    Exercice 2Un côté décimal à retrouver

    Corrigé

    RST est rectangle en S, avec RT = 7,3 cm et RS = 4,8 cm.

    1. Quel côté est l’hypoténuse ? Écrire l’égalité adaptée.

    2. Calculer ST sans arrondir.

    3. Vérifier que les trois longueurs obtenues sont cohérentes.

    Décider avant d’affirmer

    Exercice 3Un croquis presque droit

    Corrigé

    Un croquis fait paraître droit un angle d’un triangle de côtés 6, 9 et 11 cm. Aucun angle droit n’est indiqué.

    1. Ces trois longueurs permettent-elles de construire un triangle ?

    2. Comparer le carré du plus grand côté à la somme des deux autres carrés.

    3. Conclure sur la présence d’un angle droit, en nommant le raisonnement.

    Exercice 4Un angle à démontrer

    Corrigé

    Dans PQR, PQ = 29 cm, PR = 20 cm et QR = 21 cm. On ne sait rien des angles.

    1. Établir l’égalité numérique qui convient.

    2. Déduire en quel sommet se trouve l’angle droit et citer le théorème utilisé.

    3. Calculer l’aire de PQR.

    Relier plusieurs informations

    Triangle ABC rectangle en B : AB vaut 4 cm et BC 5 cm. Triangle ACD rectangle en C : CD vaut 2 cm.
    Schéma de l’exercice 5 : deux triangles rectangles reliés par AC.

    Exercice 5Deux angles droits, deux étapes

    Corrigé

    ABC est rectangle en B avec AB = 4 cm et BC = 5 cm. ACD est rectangle en C avec CD = 2 cm. Le schéma ci-dessus indique les deux angles droits.

    1. Calculer AC2AC^2, puis donner AC exactement.

    2. En déduire AD2AD^2 et la longueur exacte AD.

    3. Sans arrondir, prouver que AD est plus petite que 7 cm.

    Exercice 6Même hypoténuse, autres côtés

    Corrigé

    Deux triangles rectangles ont pour côtés de l’angle droit 2 et 9 cm pour le premier, 6 et 7 cm pour le second.

    1. Calculer le carré de chaque hypoténuse. Que remarque-t-on ?

    2. Comparer les périmètres sans calculer de racine décimale.

    3. Deux triangles rectangles de même hypoténuse sont-ils forcément identiques ?

    Exercice 7D’abord un triangle

    Corrigé

    On propose deux lots de segments : 2, 4, 7 cm et 5, 8, 10 cm.

    1. Quel lot ne peut même pas former un triangle ? Expliquer.

    2. Pour l’autre lot, comparer les carrés appropriés.

    3. Peut-on conclure que ce second triangle est rectangle ? Justifier.

    Précision et contrôle

    Exercice 8Une mesure n’est pas une preuve

    Corrigé

    Un triangle est mesuré au centimètre près : ses côtés sont annoncés comme 3, 4 et 5 cm, sans valeurs exactes.

    1. Si les trois longueurs étaient exactement 3, 4 et 5 cm, que pourrait-on prouver ?

    2. Peut-on tirer cette conclusion des seules mesures arrondies ?

    3. Vérifier que 3,1 ; 4,1 ; 5,1 cm donnent les mêmes arrondis, forment un triangle, mais ne vérifient pas l’égalité de Pythagore.

    Exercice 9Un patron d’aire connue

    Corrigé

    Un patron a la forme d’un triangle rectangle d’aire 42 cm². Un côté de l’angle droit mesure 7 cm.

    1. Retrouver l’autre côté de l’angle droit à partir de l’aire.

    2. Calculer exactement la longueur de l’hypoténuse.

    3. Sans calculatrice, entre quels entiers consécutifs se situe-t-elle ?

    Corrigés détaillés

    Corrigé 1Lire les aires des carrés

    Revoir l’exercice

    1. Une longueur est positive : AB=25=5 cm,AC=81=9 cmAB=\sqrt{25}=5\,\mathrm{cm},\quad AC=\sqrt{81}=9\,\mathrm{cm}.

    2. ABC est rectangle en A : BC2=25+81=106BC^2=25+81=106. L’aire du carré sur BC vaut donc 106 cm².

    3. On obtient BC=106BC=\sqrt{106} cm. Comme 100 est inférieur à 106 et 106 inférieur à 121, BC est entre 10 et 11 cm.

    Corrigé 2Un côté décimal à retrouver

    Revoir l’exercice

    1. RT est opposé à l’angle droit S : RT2=RS2+ST2RT^2=RS^2+ST^2.

    2. On trouve ST2=7,32−4,82=30,25ST^2=7{,}3^2-4{,}8^2=30{,}25, donc ST vaut 5,5 cm.

    3. 7,3 est plus grand que 4,8 et 5,5 : l’hypoténuse est bien le plus grand côté.

    Corrigé 3Un croquis presque droit

    Revoir l’exercice

    1. La somme des deux petites longueurs vaut 6+9=15>116+9=15>11 ; le triangle peut être construit.

    2. Le carré du plus grand côté vaut 121, contre 117 pour les deux autres : 112=121≠62+92=11711^2=121\ne 6^2+9^2=117.

    3. Par la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle n’est pas rectangle. L’apparence du croquis n’est pas une preuve.

    Corrigé 4Un angle à démontrer

    Revoir l’exercice

    1. La comparaison exacte est PQ2=292=841=202+212=PR2+QR2PQ^2=29^2=841=20^2+21^2=PR^2+QR^2.

    2. PQ est le plus grand côté. Par la réciproque du théorème de Pythagore, PQR est rectangle en R.

    3. L’aire vaut 20×212=210\frac{20\times21}{2}=210 cm².

    Corrigé 5Deux angles droits, deux étapes

    Revoir l’exercice

    1. Dans ABC rectangle en B, AC2=42+52=41,AC=41AC^2=4^2+5^2=41,\quad AC=\sqrt{41} cm.

    2. Dans ACD rectangle en C, AD2=41+22=45,AD=35AD^2=41+2^2=45,\quad AD=3\sqrt5 cm.

    3. Comme les longueurs sont positives, AD2=45<49=72⇒AD<7AD^2=45<49=7^2\Rightarrow AD<7 sans approximation.

    Corrigé 6Même hypoténuse, autres côtés

    Revoir l’exercice

    1. Chaque hypoténuse mesure la racine de 85, car 22+92=62+72=852^2+9^2=6^2+7^2=85.

    2. Les périmètres valent 11+85et13+8511+\sqrt{85}\quad\text{et}\quad13+\sqrt{85} cm ; le second dépasse le premier de 2 cm.

    3. Non : une même hypoténuse n’impose pas les deux autres côtés. Ces deux triangles en donnent un contre-exemple.

    Corrigé 7D’abord un triangle

    Revoir l’exercice

    1. Le premier lot ne forme aucun triangle, car 2+4=6<72+4=6<7.

    2. Pour le second, 5 + 8 dépasse 10, mais 102=100≠52+82=8910^2=100\ne5^2+8^2=89.

    3. Par la contraposée du théorème de Pythagore, le second triangle n’est pas rectangle.

    Corrigé 8Une mesure n’est pas une preuve

    Revoir l’exercice

    1. Pour des longueurs exactes, 32+42=25=523^2+4^2=25=5^2 : la réciproque prouverait que le triangle est rectangle.

    2. Non : des arrondis ne donnent pas nécessairement des égalités exactes.

    3. 3,1 ; 4,1 ; 5,1 s’arrondissent à 3 ; 4 ; 5. Comme 3,1 + 4,1 dépasse 5,1, ils forment un triangle. Pourtant 3,12+4,12=26,42≠26,01=5,123{,}1^2+4{,}1^2=26{,}42\ne26{,}01=5{,}1^2 : il n’est pas rectangle.

    Corrigé 9Un patron d’aire connue

    Revoir l’exercice

    1. Si x est l’autre côté de l’angle droit, 7x2=42\frac{7x}{2}=42 ; donc x = 12 cm.

    2. Le théorème donne h2=72+122=193,h=193h^2=7^2+12^2=193,\quad h=\sqrt{193} cm.

    3. On a 132=169<193<196=14213^2=169<193<196=14^2 ; l’hypoténuse mesure donc entre 13 et 14 cm.

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