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3e

Série d’exercices

Arithmétique 3e : exercices corrigés PDF

3e Arithmétique : nombres premiers et fractions irréductibles

Cette fiche travaille la décision et la justification en arithmétique de 3e : divisibilité, nombres premiers, facteurs et fractions irréductibles. Le cours d’arithmétique reprend les définitions utiles.

Sommaire
  1. 1.Décider et justifier
    1. 1.1.Des critères qui ne disent pas la même chose
    2. 1.2.Une mauvaise règle pour les nombres premiers
    3. 1.3.Prouver ou réfuter
    4. 1.4.La ligne oubliée d’une décomposition
  2. 2.Choisir les facteurs utiles
    1. 2.1.Le plus petit facteur à ajouter
    2. 2.2.Deux conditions simultanées
  3. 3.Fractions équivalentes, fraction irréductible
    1. 3.1.Simplifier, puis reconstruire
    2. 3.2.Une simplification juste, une conclusion fausse
    3. 3.3.Choisir un numérateur
    4. 3.4.Un dénominateur possible, un autre impossible
  4. 4.Choisir une méthode dans une situation
    1. 4.1.Une collection, deux présentations
  5. 5.Corrigés détaillés

    Décider et justifier

    Exercice 1Des critères qui ne disent pas la même chose

    Corrigé

    On considère A = 2 364 et B = 2 187.

    1. Pour chacun, indiquer s’il est divisible par 2, 3, 4, 5, 9 et 10.

    2. Justifier spécialement les réponses pour 4 et pour 9.

    3. B est divisible par 9. Peut-on en conclure qu’il est divisible par 1818 ?

    Exercice 2Une mauvaise règle pour les nombres premiers

    Corrigé

    Un élève affirme : « Un entier impair qui n’est multiple ni de 3 ni de 5 est premier. »

    1. Donner un contre-exemple et nommer un de ses diviseurs autres que 1 et lui-même.

    2. Pour décider si 8989 est premier, quels diviseurs premiers suffit-il de tester ? Justifier la limite des tests.

    3. Effectuer ces tests et conclure pour 89.

    4. Expliquer séparément pourquoi 1 n’est pas premier et pourquoi 2 l’est.

    Exercice 3Prouver ou réfuter

    Corrigé

    Dans chaque phrase, n désigne un entier positif. Dire si la conclusion est toujours vraie ; fournir une justification ou un contre-exemple.

    1. Si 3 et 4 divisent n, alors 1212 divise n.

    2. Si 2 et 4 divisent n, alors 8 divise n.

    3. Si 6 et 15 divisent n, alors 30 divise n.

    Exercice 4La ligne oubliée d’une décomposition

    Corrigé

    Une copie annonce 630 = 2 × 3 × 5 × 7.

    1. Vérifier le produit écrit dans la copie ; identifier le facteur qui manque.

    2. Écrire la décomposition exacte de 630630 en facteurs premiers.

    3. Sans poser de division, décider si 42, 90 et 100 divisent 630.

    Choisir les facteurs utiles

    Exercice 5Le plus petit facteur à ajouter

    Corrigé

    On cherche le plus petit entier positif k tel que 36k soit divisible à la fois par 40 et par 27.

    1. Décomposer 36, 40 et 27 en facteurs premiers.

    2. Déterminer kk et expliquer pourquoi aucune valeur positive plus petite ne convient.

    3. Calculer 36k et contrôler les deux divisibilités.

    4. Pourquoi k = 15 ne suffit-il pas ?

    Exercice 6Deux conditions simultanées

    Corrigé

    On cherche les entiers strictement compris entre 100 et 150 qui sont divisibles à la fois par 12 et par 18.

    1. À l’aide des facteurs premiers, déterminer le plus petit entier positif divisible par 12 et par 18.

    2. En déduire tous les entiers demandés, sans tester chaque entier de l’intervalle.

    3. Quel est le premier entier supérieur à 150 qui vérifie encore les deux conditions ?

    Fractions équivalentes, fraction irréductible

    Exercice 7Simplifier, puis reconstruire

    Corrigé

    On part de la fraction 324/450.

    1. Rendre 324450\frac{324}{450} irréductible en montrant les facteurs simplifiés.

    2. Écrire une fraction égale à la précédente dont le dénominateur est 100.

    3. Un élève veut encore simplifier par 3 parce que le nouveau numérateur est divisible par 3. Quelle condition a-t-il oubliée ?

    Exercice 8Une simplification juste, une conclusion fausse

    Corrigé

    Sur sa copie, Lina écrit 84/126 = 12/18 et ajoute : « La fraction est maintenant irréductible. »

    1. Expliquer pourquoi la première égalité est exacte.

    2. Identifier l’erreur de conclusion et donner l’écriture irréductible.

    3. Contrôler par produits en croix que la fraction initiale et la fraction finale sont égales.

    Exercice 9Choisir un numérateur

    Corrigé

    Parmi 16, 21, 24, 26 et 28, sélectionner les valeurs de a pour lesquelles a/35 est irréductible.

    1. Décomposer 35 en facteurs premiers.

    2. Tester chacune des cinq valeurs de a et justifier le choix pour a35\frac{a}{35}.

    3. Donner une condition simple sur un entier positif a qui garantit que a/35 soit irréductible.

    Exercice 10Un dénominateur possible, un autre impossible

    Corrigé

    Une fraction égale à 5/7 doit avoir un numérateur entier positif.

    1. Quel est son numérateur si son dénominateur vaut 8484 ? Vérifier.

    2. Peut-elle avoir 90 pour dénominateur ? Justifier sans arrondir.

    3. Trouver le plus petit dénominateur strictement supérieur à 90 qui convient, puis le numérateur correspondant.

    Choisir une méthode dans une situation

    Exercice 11Une collection, deux présentations

    Corrigé

    Une galerie choisit entre 130 et 190 œuvres. Le diaporama montre 18 œuvres par écran et le catalogue 24 œuvres par double-page. Aucune place ne doit rester vide ; les deux supports présentent les mêmes œuvres.

    1. Exprimer les deux conditions de divisibilité sur le nombre d’œuvres.

    2. Trouver le nombre d’œuvres possible dans l’intervalle imposé.

    3. Combien faut-il d’écrans et de doubles-pages ?

    4. On propose plutôt 180 œuvres. Dire précisément quelle contrainte échoue.

    Corrigés détaillés

    Corrigé 1Des critères qui ne disent pas la même chose

    Revoir l’exercice

    1. 2 364 est divisible par 2, 3 et 4, mais pas par 5, 9 ni 10. 2 187 est divisible par 3 et 9, mais pas par 2, 4, 5 ni 10.

    2. Les deux derniers chiffres sont 64 et 87 : 64 est multiple de 4, 87 ne l’est pas. Les sommes des chiffres sont 15 et 18 : seule la seconde est multiple de 9.

    3. Non. 18=2×918=2\times9 ; il faudrait aussi que B soit pair, or 2 187 est impair.

    Corrigé 2Une mauvaise règle pour les nombres premiers

    Revoir l’exercice

    1. 49=7×749=7\times7 est impair et n’est multiple ni de 3 ni de 5, mais il possède le diviseur 7 : la règle est fausse.

    2. Comme 89<10\sqrt{89}<10, on ne teste que 2, 3, 5 et 7. Tout entier composé a un diviseur premier au plus égal à sa racine carrée.

    3. 89 est impair, la somme de ses chiffres vaut 17, il ne se termine pas par 0 ou 5 et il se situe entre 84 = 7 × 12 et 91 = 7 × 13. Donc 89 est premier.

    4. 1 n’a qu’un diviseur positif ; 2 en a exactement deux, 1 et 2. Seul 2 est premier.

    Corrigé 3Prouver ou réfuter

    Revoir l’exercice

    1. Vrai : 3 et 4 sont premiers entre eux. Leurs facteurs réunis sont 3 et 2², donc 12=22×312=2^2\times3 divise n.

    2. Faux : n = 4 est divisible par 2 et 4, mais pas par 8. La première condition n’ajoute pas de facteur à la seconde.

    3. Vrai : 6 impose les facteurs 2 et 3 ; 15 impose aussi 5. Donc 30=2×3×530=2\times3\times5 divise n.

    Corrigé 4La ligne oubliée d’une décomposition

    Revoir l’exercice

    1. 2×3×5×7=2102\times3\times5\times7=210 : il manque un second facteur 3.

    2. La décomposition exacte est 630=2×32×5×7630=2\times3^2\times5\times7 ; tous les facteurs affichés sont premiers.

    3. 42 = 2 × 3 × 7 et 90 = 2 × 3² × 5 divisent 630. Mais 100 = 2² × 5² ne le divise pas : 630 n’a qu’un facteur 2 et un facteur 5.

    Corrigé 5Le plus petit facteur à ajouter

    Revoir l’exercice

    1. 36=22×32,40=23×5,27=3336=2^2\times3^2,\quad40=2^3\times5,\quad27=3^3.

    2. Il manque à 36 un facteur 2, un facteur 3 et un facteur 5. Leur produit k=2×3×5=30k=2\times3\times5=30 est le plus petit choix positif.

    3. 36k = 1 080 ; on vérifie 1 080 ÷ 40 = 27 et 1 080 ÷ 27 = 40.

    4. 36 × 15 = 540 est multiple de 27, mais 540 ÷ 40 = 13,5 n’est pas entier : le facteur 2 manque pour 40.

    Corrigé 6Deux conditions simultanées

    Revoir l’exercice

    1. 12 = 2² × 3 et 18 = 2 × 3². Le plus petit multiple commun est 22×32=362^2\times3^2=36.

    2. Les multiples de 36 strictement compris entre 100 et 150 sont 108 et 144.

    3. Le suivant est 180 = 5 × 36, premier entier supérieur à 150 qui satisfait les deux conditions.

    Corrigé 7Simplifier, puis reconstruire

    Revoir l’exercice

    1. 324 = 2² × 3⁴ et 450 = 2 × 3² × 5². On simplifie par 18 : 324450=1825\frac{324}{450}=\frac{18}{25}. Comme 18 et 25 n’ont pas de facteur premier commun, la fraction est irréductible.

    2. 100 = 4 × 25 ; on multiplie numérateur et dénominateur par 4 : 72100\frac{72}{100}.

    3. Simplifier par 3 exige que les deux termes soient divisibles par 3. Or 25 ne l’est pas.

    Corrigé 8Une simplification juste, une conclusion fausse

    Revoir l’exercice

    1. 84 ÷ 7 = 12 et 126 ÷ 7 = 18 : la division des deux termes par 7 conserve la valeur de la fraction.

    2. 12 et 18 sont encore divisibles par 6 : 1218=23\frac{12}{18}=\frac23. Les entiers 2 et 3 sont premiers entre eux.

    3. 84 × 3 = 252 et 126 × 2 = 252 : les produits en croix vérifient 84/126 = 2/3.

    Corrigé 9Choisir un numérateur

    Revoir l’exercice

    1. 35=5×735=5\times7.

    2. 16, 24 et 26 ne sont multiples ni de 5 ni de 7 : leurs fractions sont irréductibles. 21 = 3 × 7 et 28 = 4 × 7 partagent 7 avec 35.

    3. Pour a strictement positif, a/35 est irréductible exactement lorsque a n’est divisible ni par 5 ni par 7.

    Corrigé 10Un dénominateur possible, un autre impossible

    Revoir l’exercice

    1. 84 = 12 × 7, donc le numérateur est 12 × 5 = 60 ; 6084=57\frac{60}{84}=\frac57.

    2. Il faudrait 7a = 450 ; 450 n’est pas divisible par 7. Aucun numérateur entier ne convient pour le dénominateur 90.

    3. Le premier multiple de 7 strictement supérieur à 90 est 91 = 13 × 7 ; le numérateur vaut 13 × 5 = 65.

    Corrigé 11Une collection, deux présentations

    Revoir l’exercice

    1. Le nombre N d’œuvres doit être divisible par 18 et par 24.

    2. 18 = 2 × 3² et 24 = 2³ × 3 ; le plus petit multiple commun vaut 23×32=722^3\times3^2=72. Entre 130 et 190, seul 144 = 2 × 72 convient.

    3. 144 ÷ 18 = 8 écrans et 144 ÷ 24 = 6 doubles-pages.

    4. 180 ÷ 18 = 10, mais 180 ÷ 24 = 7,5 : la contrainte du catalogue échoue.

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