L’arithmétique en 3ème étudie les nombres entiers à travers leurs diviseurs. Elle permet de répondre à des questions très concrètes : peut-on former des groupes identiques sans reste, comment simplifier exactement une fraction, ou comment reconnaître qu’un nombre ne se construit qu’avec 1 et lui-même ?
Le fil directeur de ce cours est la décomposition en facteurs premiers. Elle donne une écriture lisible de la structure d’un entier et transforme plusieurs recherches apparemment différentes en un même travail de sélection des facteurs.
Diviseur, multiple et divisibilité : parler avec précision
Diviseur d’un entier
Pour deux entiers \(a\) et \(b\), avec \(b\neq0\), on dit que \(b\) divise \(a\) lorsqu’il existe un entier \(k\) tel que \(a=b\times k\). On note alors \(b\mid a\). Le nombre \(a\) est un multiple de \(b\).
Ainsi, \(7\mid84\) car \(84=7\times12\). En revanche, 7 ne divise pas 86 : la division euclidienne donne \(86=7\times12+2\), avec un reste non nul. Les mots « diviseur » et « multiple » décrivent la même relation dans deux sens différents.
| Affirmation | Lecture | Vérification |
|---|---|---|
| \(9\mid117\) | 9 divise 117 | \(117=9\times13\) |
| \(45\) est multiple de 5 | 5 est diviseur de 45 | \(45=5\times9\) |
| \(8\nmid50\) | 8 ne divise pas 50 | \(50=8\times6+2\) |
Critères de divisibilité utiles en 3ème
Un critère évite de poser une division. Un entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est pair, par 5 s’il se termine par 0 ou 5, et par 10 s’il se termine par 0. Pour 3 et 9, on additionne les chiffres : 5 742 est divisible par 3 car \(5+7+4+2=18\), et 18 est un multiple de 3.
Divisibilité par 4
Un entier est divisible par 4 lorsque le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4. Ainsi, 31 716 est divisible par 4 car 16 l’est. Les chiffres placés avant les deux derniers forment un multiple de 100, donc déjà un multiple de 4.
Erreur fréquente : additionner les chiffres ne teste pas la divisibilité par 4. Cette somme sert pour 3 et 9, pas pour toutes les valeurs.
Reconnaître un nombre premier sans tester au hasard
Nombre premier
Un nombre premier est un entier positif qui possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. Le nombre 1 n’est donc pas premier, car il ne possède qu’un seul diviseur positif.
Pour décider si 97 est premier, il n’est pas nécessaire de tester tous les entiers jusqu’à 96. Si 97 avait un diviseur autre que 1 et lui-même, l’un des deux facteurs serait inférieur ou égal à \(\sqrt{97}\), donc inférieur à 10. On teste seulement les nombres premiers 2, 3, 5 et 7. Aucun ne divise 97 : le nombre est premier.
Cette méthode est plus solide qu’une impression visuelle. Un entier impair qui ne se termine pas par 5 peut encore être composé, comme \(91=7\times13\).
Astuce : commencer par 2, 3 et 5 élimine rapidement la plupart des candidats avant de tester 7, 11 ou 13.
Décomposer un entier en facteurs premiers
On divise successivement par le plus petit nombre premier possible. Pour 180, on obtient \(180=2\times90=2\times2\times45=2^2\times3^2\times5\). L’ordre peut changer, mais la décomposition finale est unique à l’ordre des facteurs près.
Décomposition en facteurs premiers
Tout entier supérieur ou égal à 2 s’écrit comme un produit de nombres premiers. Cette écriture est unique, à l’ordre des facteurs près.
Rendre une fraction irréductible avec les facteurs communs
Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n’ont aucun diviseur commun autre que 1. Décomposons 180 et 84. Les facteurs communs sont \(2^2\times3=12\). On simplifie donc les deux termes par 12.
Le résultat est irréductible puisque \(15=3\times5\) et \(7\) n’ont aucun facteur premier commun. Cette lecture prolonge le travail sur les fractions rationnelles en donnant une méthode exacte pour éliminer tous les facteurs communs.
Erreur fréquente : simplifier une somme terme à terme est faux : dans \(\frac{6+9}{6}\), le 6 du numérateur n’est pas un facteur de toute la somme.
Résoudre un problème de groupes ou de pavage
Une association possède 84 bouteilles d’eau et 126 barres de céréales. Elle veut préparer le plus grand nombre de lots identiques en utilisant tout. La décomposition donne \(84=2^2\times3\times7\) et \(126=2\times3^2\times7\). Le plus grand produit de facteurs communs est \(2\times3\times7=42\).
On peut former 42 lots, chacun contenant \(84\div42=2\) bouteilles et \(126\div42=3\) barres. Le mot « plus grand » est essentiel : trouver seulement un diviseur commun, comme 7, produirait des lots identiques mais pas en nombre maximal.
Dans un problème de pavage, la logique est la même. La plus grande longueur de carreau carré qui pave exactement un rectangle correspond au plus grand diviseur commun de ses dimensions entières.
Choisir la bonne méthode et contrôler la réponse
Avant de calculer, identifier la question évite de faire une longue décomposition inutile. Pour un simple test de divisibilité, un critère suffit. Pour prouver qu’un nombre est premier, on teste les nombres premiers jusqu’à sa racine carrée. Pour simplifier une fraction ou maximiser des groupes identiques, la décomposition en facteurs premiers rend les facteurs communs visibles.
- Écrire les décompositions avec des exposants.
- Ne retenir que les facteurs présents dans les deux nombres, avec le plus petit exposant.
- Revenir au contexte et vérifier l’absence de reste.
Le cours d’arithmétique dans les entiers permet ensuite d’approfondir ces relations avec le PGCD et d’autres propriétés.
Arithmétique 3ème : l’essentiel à retenir
En arithmétique, un entier se comprend par ses facteurs. Les critères testent rapidement une divisibilité, les nombres premiers servent de briques élémentaires et leur décomposition révèle les facteurs communs. Cette même lecture permet de rendre une fraction irréductible et de résoudre des problèmes de partage maximal.
Le chapitre suit les repères annuels de progression de mathématiques pour le cycle 4 actuellement appliqués en 3ème et prépare les raisonnements arithmétiques du brevet.