Les multiples et diviseurs en 5ème servent à organiser des objets en groupes égaux, simplifier des fractions et reconnaître rapidement si une division tombe juste. Dire que \(7\) divise \(84\) signifie qu’il existe un entier qui, multiplié par \(7\), donne exactement \(84\).
Ce cours relie trois idées souvent apprises séparément : la multiplication, la division euclidienne et les critères de divisibilité. On apprendra aussi à dresser une liste complète de diviseurs sans oubli et à distinguer un nombre premier d’un nombre composé.
La même relation vue dans deux sens
Multiple et diviseur
Pour deux entiers \(a\) et \(b\), avec \(b\neq0\), on dit que \(a\) est un multiple de \(b\) lorsqu’il existe un entier \(k\) tel que \(a=b\times k\). On dit alors aussi que \(b\) est un diviseur de \(a\).
Cette égalité permet quatre lectures correctes : \(84\) est un multiple de \(7\), \(84\) est un multiple de \(12\), \(7\) divise \(84\) et \(12\) divise \(84\). Les mots changent selon le nombre que l’on regarde, mais la multiplication sous-jacente est la même.
Erreur fréquente : « \(3\) est divisible par \(12\) » est faux. C’est \(12\) qui est divisible par \(3\), car \(12=3\times4\).
Vérifier une divisibilité avec le reste
Lorsqu’on ne voit pas immédiatement une multiplication, on utilise la division euclidienne. Un entier \(b\) divise \(a\) exactement lorsque la division de \(a\) par \(b\) a un reste nul.
Le reste \(0\) prouve que \(12\) est un diviseur de \(156\). Pour \(158\), on obtient \(158=12\times13+2\) : le reste \(2\) montre que \(12\) ne divise pas \(158\).
La décomposition des entiers et la valeur de leurs chiffres, revues avec les nombres entiers et décimaux en 6ème, aident à lire un grand nombre sans erreur. Ici, le reste d’une division sert surtout de test logique.
Critères de divisibilité : observer les chiffres utiles
| Divisible par | Critère | Exemple |
|---|---|---|
| \(2\) | Le chiffre des unités est \(0,2,4,6\) ou \(8\). | \(1\,438\) |
| \(3\) | La somme des chiffres est un multiple de \(3\). | \(741\), car \(7+4+1=12\) |
| \(5\) | Le chiffre des unités est \(0\) ou \(5\). | \(2\,315\) |
| \(9\) | La somme des chiffres est un multiple de \(9\). | \(6\,327\), car \(18\) l’est |
| \(10\) | Le chiffre des unités est \(0\). | \(4\,120\) |
Un critère ne donne pas le quotient ; il répond rapidement à la question « la division aura-t-elle un reste nul ? ». Pour \(4\,572\), le dernier chiffre prouve la divisibilité par \(2\), et la somme \(4+5+7+2=18\) prouve la divisibilité par \(3\) et par \(9\).
On peut combiner les critères. Un nombre divisible à la fois par \(2\) et par \(3\) est divisible par \(6\). Un nombre divisible par \(2\) et par \(5\) est divisible par \(10\), ce qui impose d’ailleurs un chiffre des unités égal à \(0\).
Pourquoi la somme des chiffres fonctionne pour 3 et 9
Le critère n’est pas une recette magique. Prenons \(472\). On peut décomposer ce nombre selon la valeur de ses chiffres :
La première parenthèse est divisible par \(3\) et par \(9\). Le reste de \(472\) dépend donc du reste de la somme \(4+7+2=13\). Comme \(13\) n’est divisible ni par \(3\) ni par \(9\), \(472\) ne l’est pas non plus.
Cette justification reste accessible sans congruences : \(99\) et \(9\) sont des multiples de \(3\) et de \(9\), donc ils ne changent pas la réponse au test de divisibilité.
Trouver tous les diviseurs sans en oublier
Pour dresser la liste des diviseurs de \(60\), on cherche des paires de facteurs dans l’ordre. On commence par \(1\times60\), puis on teste \(2,3,4,\ldots\). Dès que les facteurs commencent à se croiser, la liste est complète.
| Petit facteur | Facteur associé | Produit |
|---|---|---|
| \(1\) | \(60\) | \(1\times60\) |
| \(2\) | \(30\) | \(2\times30\) |
| \(3\) | \(20\) | \(3\times20\) |
| \(4\) | \(15\) | \(4\times15\) |
| \(5\) | \(12\) | \(5\times12\) |
| \(6\) | \(10\) | \(6\times10\) |
Les diviseurs positifs de \(60\) sont donc \(1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\). Les ranger dans l’ordre croissant permet de vérifier la symétrie des paires et de repérer un oubli.
Nombres premiers et nombres composés
Nombre premier
Un nombre premier est un entier strictement supérieur à \(1\) qui possède exactement deux diviseurs positifs : \(1\) et lui-même.
Ainsi \(2,3,5,7,11\) sont premiers. Le nombre \(1\) n’est pas premier, car il n’a qu’un seul diviseur. Le nombre \(15\) n’est pas premier, car \(15=3\times5\) : il possède au moins quatre diviseurs, \(1,3,5,15\).
Tester jusqu’à la racine carrée, sans formule avancée
Si un nombre composé admet une paire de facteurs, au moins l’un des deux facteurs est inférieur ou égal à sa racine carrée. Pour tester \(97\), il suffit donc d’essayer les nombres premiers \(2,3,5,7\), tous inférieurs à \(10\).
En 5ème, ce raisonnement sert surtout à limiter les essais. Il n’est pas nécessaire de diviser par tous les entiers plus petits que le nombre étudié.
Choisir le bon outil dans un problème
Une question de rangement en paquets égaux appelle des diviseurs. Une répétition régulière, comme un bus toutes les \(12\) minutes et un autre toutes les \(18\) minutes, appelle des multiples communs. Un critère de divisibilité sert à filtrer rapidement les possibilités.
Par exemple, \(84\) élèves doivent former des équipes toutes de même taille, avec au moins \(4\) et au plus \(10\) élèves. Parmi les diviseurs de \(84\), les tailles possibles dans cet intervalle sont \(4,6\) et \(7\). Le contexte élimine les autres diviseurs.
Astuce : traduire d’abord les mots de l’énoncé : « paquets égaux sans reste » signifie diviseur ; « revient en même temps » signifie multiple commun.
Ces notions facilitent ensuite la simplification et la comparaison des fractions, car rechercher un facteur commun revient précisément à chercher un diviseur partagé.
Étude complète d’un entier : le cas de 180
Le nombre \(180\) permet de croiser plusieurs outils. Son chiffre des unités prouve qu’il est divisible par \(2\), \(5\) et \(10\). La somme de ses chiffres vaut \(1+8+0=9\), donc il est aussi divisible par \(3\) et \(9\).
Pour chercher tous ses diviseurs, on construit des paires : \(1\times180\), \(2\times90\), \(3\times60\), \(4\times45\), \(5\times36\), \(6\times30\), \(9\times20\), \(10\times18\), \(12\times15\). Aucun entier de \(13\) à \(14\) ne divise \(180\), puis les paires commenceraient à se répéter.
Cette liste peut résoudre plusieurs problèmes : tailles possibles de paquets, dimensions entières d’un rectangle d’aire \(180\), ou facteurs utilisables pour simplifier une fraction de numérateur \(180\). L’étude d’un entier n’est donc pas une fin isolée.
Démontrer qu’une liste de diviseurs est complète
Une liste n’est complète que si chaque paire de facteurs a été examinée. Pour \(72\), on teste les entiers dans l’ordre : \(1,2,3,4,5,6,7,8\). On obtient les paires \((1;72)\), \((2;36)\), \((3;24)\), \((4;18)\), \((6;12)\) et \((8;9)\).
Après \(8\), le facteur suivant \(9\) est déjà le partenaire de \(8\). Continuer donnerait les mêmes paires en sens inverse. Le contrôle final consiste à ordonner les diviseurs et à multiplier le premier par le dernier, le deuxième par l’avant-dernier, etc. Chaque produit doit redonner \(72\).
Cette méthode apporte une justification de complétude, contrairement à une liste obtenue au hasard ou à la calculatrice.
Multiples et diviseurs 5ème : l’essentiel à retenir
Maîtriser les multiples et diviseurs en 5ème, c’est savoir passer d’une égalité de multiplication à une divisibilité, vérifier le reste, utiliser les critères et organiser une recherche par paires. Les critères accélèrent le test ; la division euclidienne apporte la preuve.
Le programme officiel de mathématiques du cycle 4 donne à ces raisonnements une place centrale dans le calcul sur les entiers et la résolution de problèmes.