Fractions et nombres rationnels 4ème : 11 exercices corrigés

Ces exercices corrigés sur les fractions en 4ème développent des réflexes de simplification sans sacrifier le sens du quotient. Le cours sur les fractions et les nombres rationnels rappelle les règles de signe et les méthodes de calcul.

Les exercices font varier calcul mental, justification, comparaison et modélisation. Les règles de signe prolongent celles du calcul sur les nombres relatifs, notamment lorsqu’un quotient contient plusieurs facteurs négatifs.

Simplifier et reconnaître un nombre rationnel

Une fraction est simplifiée en divisant son numérateur et son dénominateur par un même diviseur non nul.

Exercice 1 : Réductions raisonnées

Facile

Rendre irréductibles 4263\frac{42}{63}, −5472\frac{-54}{72}, 105−140\frac{105}{-140} et 12144\frac{121}{44}.

  1. Simplifier les quatre fractions.
  2. Écrire chaque signe moins devant la fraction.
  3. Donner le diviseur commun principal utilisé.
Indication

Cherchez le plus grand diviseur commun ou décomposez les deux termes en facteurs simples.

Voir le corrigé
  1. 4263=23\frac{42}{63}=\frac23, −5472=−34\frac{-54}{72}=-\frac34, 105−140=−34\frac{105}{-140}=-\frac34 et 12144=114\frac{121}{44}=\frac{11}{4}.
  2. Les deux fractions négatives s'écrivent avec un signe moins placé devant.
  3. Les divisions principales sont respectivement par 2121, 1818, 3535 et 1111.

Exercice 2 : Écritures équivalentes

Facile

Compléter 79=□45\frac{7}{9}=\frac{\square}{45}, −614=−3□\frac{-6}{14}=\frac{-3}{\square} et 15−25=□5\frac{15}{-25}=\frac{\square}{5}.

  1. Trouver les trois nombres et justifier chaque réponse avec le même multiplicateur au numérateur et au dénominateur.
Indication

Repérez le facteur qui transforme un dénominateur en l'autre.

Voir le corrigé

On obtient 79=3545\frac{7}{9}=\frac{35}{45}, −614=−37\frac{-6}{14}=\frac{-3}{7} et 15−25=−35\frac{15}{-25}=\frac{-3}{5}. Les facteurs utilisés sont 55, 12\frac12 et 15\frac15. Dans chaque cas, numérateur et dénominateur subissent la même transformation.

Exercice 3 : Une fausse simplification

Moyen

Luc affirme que 18+618=1+61=7\frac{18+6}{18}=\frac{1+6}{1}=7, car il a simplifié les 1818.

  1. Expliquer pourquoi sa simplification est interdite.
  2. Calculer la valeur exacte.
  3. Donner une transformation valide de la fraction.
Indication

On simplifie des facteurs d'un produit, jamais des termes séparés par une addition.

Voir le corrigé
  1. Les 1818 ne sont pas des facteurs communs au numérateur entier et au dénominateur.
  2. 18+618=2418=43\frac{18+6}{18}=\frac{24}{18}=\frac43.
  3. On peut factoriser le numérateur : 6(3+1)6×3=43\frac{6(3+1)}{6\times3}=\frac43. Le facteur commun 66 peut alors être simplifié.

Multiplier et diviser des fractions

Avant un produit, les simplifications croisées limitent les calculs ; diviser revient à multiplier par l'inverse.

Exercice 4 : Produits avec simplification

Facile

Calculer A=1415×2521A=\frac{14}{15}\times\frac{25}{21} et B=−1835×1427B=-\frac{18}{35}\times\frac{14}{27}.

  1. Simplifier avant de multiplier.
  2. Donner les résultats irréductibles.
  3. Vérifier le signe de BB.
  4. Comparer la taille de AA à 11.
Indication

Dans AA, simplifiez 1414 avec 2121 et 2525 avec 1515.

Voir le corrigé
  1. A=23×53=109A=\frac{2}{3}\times\frac{5}{3}=\frac{10}{9}.
  2. B=−25×23=−415B=-\frac{2}{5}\times\frac{2}{3}=-\frac{4}{15}.
  3. Un seul facteur est négatif, donc B<0B\lt 0.
  4. 109>1\frac{10}{9}\gt 1, ce qui est cohérent car le produit simplifié vaut 23×53\frac23\times\frac53.

Exercice 5 : Quotients de rationnels

Moyen

Calculer C=512÷2518C=\frac{5}{12}\div\frac{25}{18}, D=−79÷14−3D=-\frac{7}{9}\div\frac{14}{-3} et E=4÷−103E=4\div\frac{-10}{3}.

  1. Remplacer chaque division par un produit.
  2. Calculer CC.
  3. Calculer DD.
  4. Calculer EE.
  5. Rendre les trois résultats irréductibles.
Indication

Conservez le premier nombre et multipliez par l'inverse du second. Deux signes négatifs donnent un résultat positif.

Voir le corrigé
  1. C=512×1825C=\frac{5}{12}\times\frac{18}{25}, D=−79×−314D=-\frac79\times\frac{-3}{14}, E=4×3−10E=4\times\frac3{-10}.
  2. C=310C=\frac{3}{10}.
  3. D=16D=\frac16.
  4. E=−65E=-\frac65.
  5. Ces trois fractions sont irréductibles.

Exercice 6 : Trouver le nombre manquant

Moyen

Déterminer xx dans 38×x=920\frac{3}{8}\times x=\frac{9}{20} et y÷−56=715y\div\frac{-5}{6}=\frac{7}{15}.

  1. Calculer xx.
  2. Calculer yy.
  3. Vérifier les deux égalités par substitution.
Indication

Pour isoler le facteur inconnu, divisez par le facteur connu. Pour la seconde égalité, multipliez le quotient par le diviseur.

Voir le corrigé
  1. x=920÷38=920×83=65x=\frac{9}{20}\div\frac38=\frac{9}{20}\times\frac83=\frac65.
  2. y=715×−56=−718y=\frac7{15}\times\frac{-5}{6}=-\frac7{18}.
  3. 38×65=920\frac38\times\frac65=\frac9{20} et −718÷−56=−718×−65=715-\frac7{18}\div-\frac56=-\frac7{18}\times-\frac65=\frac7{15}.

Comparer et enchaîner des calculs

Un dénominateur commun, un produit en croix ou une estimation peuvent servir selon les nombres en présence.

Exercice 7 : Comparer sans décimales

Moyen

Comparer 712\frac7{12} et 58\frac5{8}, puis −1115-\frac{11}{15} et −34-\frac34.

  1. Comparer la première paire.
  2. Comparer la seconde paire.
  3. Expliquer l'effet du signe moins dans la seconde comparaison.
Indication

Utilisez 2424 pour la première paire et 6060 pour la seconde.

Voir le corrigé
  1. 712=1424<1524=58\frac7{12}=\frac{14}{24}\lt \frac{15}{24}=\frac58.
  2. −1115=−4460>−4560=−34-\frac{11}{15}=-\frac{44}{60}\gt -\frac{45}{60}=-\frac34.
  3. Parmi deux nombres négatifs, celui dont la distance à zéro est la plus petite est le plus grand.

Exercice 8 : Expression à plusieurs étages

Difficile

Calculer F=(34−56)÷(−712)F=\left(\frac34-\frac56\right)\div\left(-\frac7{12}\right).

  1. Calculer la différence entre parenthèses.
  2. Transformer la division.
  3. Donner le résultat irréductible.
  4. Contrôler son signe.
Indication

Réduisez d'abord au même dénominateur : 9/12−10/129/12-10/12.

Voir le corrigé
  1. 34−56=−112\frac34-\frac56=-\frac1{12}.
  2. F=−112×−127F=-\frac1{12}\times-\frac{12}{7}.
  3. Donc F=17F=\frac17.
  4. Le quotient de deux nombres négatifs est positif, ce qui confirme le signe.

Résoudre des problèmes avec des fractions

La fraction doit toujours être reliée à une quantité de référence clairement identifiée.

Exercice 9 : Réservoir en deux étapes

Moyen

Un réservoir est rempli aux 35\frac35. On ajoute ensuite une quantité égale au 14\frac14 de sa capacité totale.

  1. Quelle fraction du réservoir est alors remplie ?
  2. Le réservoir déborde-t-il ?
Indication

Les deux fractions portent sur la même capacité totale, donc elles s'additionnent.

Voir le corrigé

35+14=1220+520=1720\frac35+\frac14=\frac{12}{20}+\frac5{20}=\frac{17}{20}. Le réservoir est rempli aux 1720\frac{17}{20}, soit 85%85\%. Comme 1720<1\frac{17}{20}\lt 1, il ne déborde pas.

Exercice 10 : Partage d’une recette

Moyen

Une recette pour 66 personnes exige 34\frac34 kg de farine. On prépare 53\frac53 fois cette recette.

  1. Pour combien de personnes cuisine-t-on ?
  2. Calculer la masse de farine.
  3. Exprimer cette masse en grammes.
Indication

Multiplier une recette par 53\frac53 multiplie toutes ses quantités et le nombre de portions par le même facteur.

Voir le corrigé
  1. 6×53=106\times\frac53=10 personnes.
  2. 34×53=54\frac34\times\frac53=\frac54 kg.
  3. 54\frac54 kg vaut 1,251{,}25 kg, donc 1 2501\,250 g.

Exercice 11 : Trajet fractionné

Difficile

Le matin, Inès parcourt 27\frac27 d'un itinéraire. L'après-midi, elle parcourt les 35\frac35 de la distance restante. Il reste alors 1212 km.

  1. Exprimer la fraction restante après le matin.
  2. Exprimer la fraction parcourue l'après-midi par rapport au trajet total.
  3. Déterminer la fraction finale restante.
  4. Calculer la longueur totale de l'itinéraire.
  5. Vérifier en calculant les distances des deux étapes.
Indication

Après le matin, il reste 1−271-\frac27. L'après-midi retire 35\frac35 de ce reste, donc il en reste 25\frac25.

Voir le corrigé
  1. Il reste 57\frac57.
  2. L'après-midi représente 35×57=37\frac35\times\frac57=\frac37 du total.
  3. La part restante vaut 57−37=27\frac57-\frac37=\frac27, ou 25×57=27\frac25\times\frac57=\frac27.
  4. Si 27\frac27 vaut 1212 km, le total vaut 12×72=4212\times\frac72=42 km.
  5. Le matin : 1212 km ; l'après-midi : 37×42=18\frac37\times42=18 km ; il reste 42−12−18=1242-12-18=12 km.
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