Formes bilinéaires Exercices Corrigés : 13 exercices

Solution de la question 1 :

Soient $x = (x_1, x_2)$, $x' = (x_1', x_2')$, $y = (y_1, y_2)$ dans $\mathbb{R}^2$ et $\lambda \in \mathbb{R}$. On vérifie la linéarité en la première variable :

$$\varphi_1(x + \lambda x', y) = (x_1 + \lambda x_1') y_1 - 2(x_1 + \lambda x_1') y_2 + (x_2 + \lambda x_2') y_2$$ $$= \varphi_1(x, y) + \lambda \varphi_1(x', y).$$

La symétrie en les deux variables est identique par le même calcul. $\varphi_1$ est donc bilinéaire.

Solution de la question 2 :

Prenons $\lambda = 2$, $x = (1, 0)$, $y = (1, 0)$. Alors :

$$\varphi_2(\lambda x, y) = (2)^2 \cdot 1 = 4,$$ $$\lambda \, \varphi_2(x, y) = 2 \cdot (1 \cdot 1) = 2.$$

Comme $4 \neq 2$, la condition $\varphi_2(\lambda x, y) = \lambda \varphi_2(x, y)$ est violée. $\varphi_2$ n'est donc pas bilinéaire.

Solution de la question 3 :

On calcule $\varphi_1(y, x) = y_1 x_1 - 2y_1 x_2 + y_2 x_2$. Comme $-2y_1 x_2 \neq -2x_1 y_2$ en général, $\varphi_1$ n'est ni symétrique ni antisymétrique.

Solution de la question 1 :

La linéarité en chaque variable provient de la linéarité de l'évaluation et de la dérivation. La symétrie est immédiate : $\varphi(P, Q) = P'(0)Q(0) + P(0)Q'(0) = \varphi(Q, P)$.

Solution de la question 2 :

On pose $e_1 = 1$, $e_2 = X$, $e_3 = X^2$. Les évaluations utiles sont :

$$e_1(0) = 1,\ e_1'(0) = 0;\quad e_2(0) = 0,\ e_2'(0) = 1;\quad e_3(0) = 0,\ e_3'(0) = 0.$$

On obtient le tableau de valeurs :

La matrice de $\varphi$ dans $\mathcal{B}$ est donc :

$$M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$ Solution de la question 3 :

$\det(M) = 0$, donc $\varphi$ est dégénérée. Son noyau contient au moins $X^2$, puisque $\varphi(X^2, P) = 0$ pour tout $P \in E$.

Solution de la question 1 :

La bilinéarité découle de la linéarité de la transposée, du produit matriciel et de la trace. Pour la symétrie :

$$\varphi(B, A) = \mathrm{tr}({}^t\!B\,A) = \mathrm{tr}({}^t({}^t\!A\,B)) = \mathrm{tr}({}^t\!A\,B) = \varphi(A,B).$$ Solution de la question 2 :

En notant que $\varphi(E_{ij}, E_{kl}) = \mathrm{tr}(E_{ji} E_{kl})$ et que $E_{ji} E_{kl} = \delta_{jk} E_{il}$, on obtient $\varphi(E_{ij}, E_{kl}) = \delta_{jk}\delta_{il}$. La matrice de $\varphi$ dans la base canonique est l'identité $I_4$.

Solution de la question 3 :

Pour $A = (a_{ij})$, on a :

$$\varphi(A, A) = \mathrm{tr}({}^t\!A\,A) = \sum_{i,j} a_{ij}^2 \geq 0,$$

et cette somme est nulle si et seulement si tous les $a_{ij} = 0$, c'est-à-dire $A = 0$. Donc $\varphi$ est définie positive : c'est bien un produit scalaire.

Solution de la question 1 : $$M = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$ Solution de la question 2 :

La matrice est bloc-diagonale. On développe :

$$\det(M) = 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = 1 \cdot (6 - 1) = 5 \neq 0.$$

Comme le déterminant est non nul, $\varphi$ est non dégénérée.

Solution de la question 3 :

Le système $Mx = 0$ s'écrit :

$$\begin{cases} 2x_1 - x_2 = 0 \\ -x_1 + 3x_2 = 0 \\ x_3 = 0. \end{cases}$$

La première équation donne $x_2 = 2x_1$, et la seconde $-x_1 + 6x_1 = 5x_1 = 0$, donc $x_1 = 0$, $x_2 = 0$, $x_3 = 0$. Le noyau est réduit au vecteur nul : $\ker(\varphi) = \{0\}$.

Solution de la question 1 : $$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}.$$ Solution de la question 2 : $${}^t\!P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad {}^t\!P \, A = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix},$$ $$A' = {}^t\!P \, A \, P = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}.$$ Solution de la question 3 :

On calcule directement : $\varphi(f_1, f_1) = \varphi(e_1+e_2, e_1+e_2) = 3+1+1+2 = 7$ ; $\varphi(f_1, f_2) = \varphi(e_1+e_2, e_1-e_2) = 3-1+1-2 = 1$ ; $\varphi(f_2, f_2) = 3-1-1+2 = 3$. On retrouve bien $A' = \begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$.

Solution de la question 1 :

En appliquant la formule de polarisation :

$$\varphi(x, y) = x_1 y_1 + 2(x_1 y_2 + x_2 y_1) + 3(x_1 y_3 + x_3 y_1) + 4 x_2 y_2 + 8(x_2 y_3 + x_3 y_2) + 9 x_3 y_3.$$ Solution de la question 2 :

La matrice de $\varphi$ est :

$$M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 8 \\ 3 & 8 & 9 \end{pmatrix}.$$

On vérifie que $M$ est bien symétrique.

Solution de la question 1 :

$q(x) = \ell_1(x)\ell_2(x)$ est bien une forme quadratique (polynôme homogène de degré 2 en les composantes de $x$). Sa forme bilinéaire symétrique associée est :

$$\varphi(x, y) = \frac{1}{2}\bigl[\ell_1(x)\ell_2(y) + \ell_1(y)\ell_2(x)\bigr].$$ Solution de la question 2 :

Le noyau de $\varphi$ est $\ker(\ell_1) \cap \ker(\ell_2)$. Comme $\ell_1$ et $\ell_2$ sont non nulles, chaque noyau est de dimension $n-1$. Comme elles sont non proportionnelles, leur intersection est de dimension $n-2$, donc :

$$\mathrm{rang}(q) = n - (n-2) = 2.$$ Solution de la question 3 :

Soit $x_0 \notin \ker(\ell_1) \cup \ker(\ell_2)$ avec $\ell_1(x_0)\ell_2(x_0) > 0$ et $x_1$ avec $\ell_1(x_1)\ell_2(x_1) < 0$ (cela est possible car $\ell_1, \ell_2$ sont non proportionnelles). On a $q(x_0) > 0$ et $q(x_1) < 0$, donc la signature de $q$ est $(1, 1)$.

Solution de la question 1 :

On groupe les termes en $x$ :

$$q = (x^2 + 4xy + 2xz) + 5y^2 + z^2 + 6yz.$$

On reconnaît un début de carré en $x$ :

$$q = (x + 2y + z)^2 - (2y + z)^2 + 5y^2 + z^2 + 6yz.$$

On développe le reste : $-(4y^2 + 4yz + z^2) + 5y^2 + z^2 + 6yz = y^2 + 2yz$. On complète le carré en $y$ :

$$y^2 + 2yz = (y + z)^2 - z^2.$$

La décomposition finale est donc :

$$q = (x + 2y + z)^2 + (y + z)^2 - z^2.$$ Solution de la question 2 :

On a trois formes linéaires indépendantes $(x+2y+z)$, $(y+z)$, $z$, avec coefficients $+1$, $+1$, $-1$. Le rang de $q$ est $3$ et sa signature est $(2, 1)$.

Solution de la question 3 :

La forme n'est ni définie positive (le terme $-z^2$ peut valoir $-1$) ni définie négative. Elle est indéfinie.

Solution de la question 1 :

Le terme $x^2$ est absent, donc on ne peut pas compléter le carré directement en $x$. On utilise la substitution $x = u + v$, $y = u - v$ pour faire apparaître un terme en $u^2$ via $xy = u^2 - v^2$.

Solution de la question 2 :

Avec $x = u+v$, $y = u-v$, $z = z$ :

$$q = 2(u^2 - v^2) + 3(u+v)z - (u-v)z = 2u^2 - 2v^2 + 3uz + 3vz - uz + vz.$$ $$q = 2u^2 + u(2z) - 2v^2 + v(4z) = 2\Bigl(u + \tfrac{z}{2}\Bigr)^2 - \tfrac{z^2}{2} - 2\Bigl(v - z\Bigr)^2 + 2z^2.$$ $$q = 2\Bigl(u + \tfrac{z}{2}\Bigr)^2 - 2(v - z)^2 + \tfrac{3z^2}{2}.$$

On obtient la décomposition en trois carrés de formes linéaires indépendantes.

Solution de la question 3 :

Les trois coefficients sont $+2$, $-2$, $+\tfrac{3}{2}$, tous non nuls. Le rang de $q$ est $3$ et sa signature est $(2, 1)$.

Solution de la question 1 : $$\Delta_1 = 2 > 0.$$ $$\Delta_2 = \det\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = 6 - 1 = 5 > 0.$$

Pour $\Delta_3$, on développe par la troisième colonne :

$$\Delta_3 = 4 \cdot \Delta_2 - 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 4 \cdot 5 - 1 \cdot 2 = 20 - 2 = 18 > 0.$$ Solution de la question 2 :

Tous les mineurs principaux dominants sont strictement positifs : $\Delta_1 = 2 > 0$, $\Delta_2 = 5 > 0$, $\Delta_3 = 18 > 0$. Par le critère de Sylvester, $q$ est définie positive.

Solution de la question 3 :

Le critère de Sylvester s'applique aux formes bilinéaires symétriques représentées par une matrice symétrique réelle. Il est applicable ici car $M$ est symétrique. La signature de $q$ est donc $(3, 0)$.

Solution de la question 1 :

On développe $\det(M_a)$ par la première ligne :

$$\det(M_a) = 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 1 & a \\ a & 1 \end{pmatrix} - a \cdot \det\begin{pmatrix} a & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = (1 - a^2) - a(a) = 1 - a^2 - a^2 = 1 - 2a^2.$$ Solution de la question 2 :

Les sous-déterminants principaux sont :

$$\Delta_1 = 1 > 0 \text{ (toujours)}, \quad \Delta_2 = 1 - a^2, \quad \Delta_3 = 1 - 2a^2.$$

Définie positive : On a besoin de $\Delta_2 > 0$ et $\Delta_3 > 0$, soit $|a| < 1$ et $|a| < \frac{1}{\sqrt{2}}$. La condition la plus restrictive est $|a| < \frac{1}{\sqrt{2}}$, soit $a \in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Indéfinie : pour les autres valeurs de $a$ (la forme ne peut pas être définie négative car $\Delta_1 = 1 > 0$).

Solution de la question 3 :

Pour $a = 1$ :

$$q_1(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz.$$ $$= (x + y)^2 + 2yz.$$

Puis $2yz = 2 \cdot \frac{1}{2}\bigl[(y+z)^2 - y^2 - z^2\bigr]$, d'où en complétant :

$$q_1 = (x + y)^2 + (y+z)^2 - y^2 - z^2.$$

On a trois formes linéaires avec coefficients $+1, +1, -1, -1$… mais elles ne sont que 4 pour une dimension 3, donc la décomposition minimale donne rang 3 et signature $(2, 1)$. (On vérifie : $\det(M_1) = 1 - 2 = -1 < 0$, cohérent avec une forme indéfinie de rang 3.)

Solution de la question 1 :

La bilinéarité et la symétrie sont immédiates depuis l'expression : $\varphi(x,y) = x_1 y_2 + x_2 y_1 - 3x_2 y_2$ est linéaire en $x$ et en $y$ séparément, et $\varphi(y, x) = y_1 x_2 + y_2 x_1 - 3y_2 x_2 = \varphi(x,y)$. ✓

Solution de la question 2 :

Un vecteur $x = (x_1, x_2)$ est dans $D^{\perp}$ si $\varphi(x, (1,1)) = 0$ :

$$\varphi\bigl((x_1, x_2), (1,1)\bigr) = x_1 \cdot 1 + x_2 \cdot 1 - 3x_2 \cdot 1 = x_1 - 2x_2 = 0.$$

Donc $D^{\perp} = \{(x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 : x_1 = 2x_2\} = \mathbb{R} \cdot (2, 1)$.

Solution de la question 3 :

On vérifie si $(1,1) \in D^{\perp}$, c'est-à-dire si $\varphi((1,1),(1,1)) = 0$ : $\varphi(v,v) = 1 + 1 - 3 = -1 \neq 0$. Donc $v \notin D^{\perp}$, et comme $\dim D = \dim D^{\perp} = 1$ avec $D \neq D^{\perp}$, on a bien $\mathbb{R}^2 = D \oplus D^{\perp}$.

Solution de la question 1 :

La bilinéarité et la symétrie découlent de la linéarité de l'intégrale. Pour la définie positivité : $\langle P, P \rangle = \int_{-1}^1 P(t)^2 \mathrm{d}t \geq 0$, et si cette intégrale est nulle, alors $P(t)^2 = 0$ p.p., donc $P = 0$. C'est bien un produit scalaire.

Solution de la question 2 :

On calcule les intégrales pertinentes ($\int_{-1}^1 t^k \mathrm{d}t = 0$ pour $k$ impair) :

$$\langle 1, 1 \rangle = 2,\quad \langle 1, X \rangle = 0,\quad \langle 1, X^2 \rangle = \tfrac{2}{3},$$ $$\langle X, X \rangle = \tfrac{2}{3},\quad \langle X, X^2 \rangle = 0,\quad \langle X^2, X^2 \rangle = \tfrac{2}{5}.$$

La matrice du produit scalaire dans la base canonique est :

$$G = \begin{pmatrix} 2 & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & \frac{2}{3} & 0 \\ \frac{2}{3} & 0 & \frac{2}{5} \end{pmatrix}.$$ Solution de la question 3 :

On applique Gram-Schmidt à $(1, X, X^2)$ :

Étape 1 : $e_1 = 1$.

Étape 2 : $\tilde{e}_2 = X - \frac{\langle X, e_1 \rangle}{\langle e_1, e_1 \rangle} e_1 = X - \frac{0}{2} = X$. Donc $e_2 = X$.

Étape 3 :

$$\tilde{e}_3 = X^2 - \frac{\langle X^2, e_1 \rangle}{\langle e_1, e_1 \rangle} e_1 - \frac{\langle X^2, e_2 \rangle}{\langle e_2, e_2 \rangle} e_2 = X^2 - \frac{\frac{2}{3}}{2} \cdot 1 - \frac{0}{\frac{2}{3}} \cdot X = X^2 - \frac{1}{3}.$$

Une base orthogonale de $(E, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ est donc $\bigl(1,\ X,\ X^2 - \tfrac{1}{3}\bigr)$, qui correspond (à normalisation près) aux polynômes de Legendre d'ordre 0, 1 et 2.