Fonctions affines 3ème : coefficient directeur et ordonnée à l’origine

Définition et rôle des coefficients a et b

Si $b=0$, la fonction affine devient la fonction linéaire $f(x)=ax$. Si $a=0$, la fonction est constante : toutes ses images valent $b$.

Calculer une image et résoudre f de x égale k

Pour $f(x)=-3x+7$, l'image de 4 vaut $-5$. Chercher l'antécédent de 16 revient à résoudre une équation du premier degré.

Lorsque $a\neq0$, chaque valeur possède un unique antécédent. Lorsque $a=0$, soit aucune entrée, soit toutes les entrées conviennent selon la valeur cherchée.

Lire l’ordonnée à l’origine

Dans une tarification $P(x)=2,8x+6$, le nombre 6 représente le coût fixe lorsque la quantité variable vaut zéro. Il porte donc la même unité que le prix, tandis que 2,8 s'exprime en euros par unité de $x$.

Erreur fréquente : l'ordonnée à l'origine n'est pas l'endroit où la droite coupe l'axe horizontal. Sur l'axe horizontal, l'ordonnée vaut zéro.

Comprendre et calculer le coefficient directeur

Entre A et B, l'abscisse augmente de 4 et l'ordonnée de 8 : l'image gagne donc 2 unités pour une unité d'abscisse. Inverser seulement l'un des deux ordres donnerait un signe faux.

Déterminer la formule à partir de deux points

Après avoir trouvé $a=2$, on utilise l'un des points pour calculer $b$. Avec $A(2;5)$, l'égalité $5=2\times2+b$ donne $b=1$. La fonction est $f(x)=2x+1$.

Le second point sert de vérification indépendante. Une formule qui ne reproduit pas les deux coordonnées contient une erreur de pente ou de terme constant.

Astuce : calculer d'abord a avec les différences, puis b avec un point. Chercher les deux inconnues en même temps rend la démarche plus lourde.

Tracer une fonction affine avec deux points

Le point $B(0;b)$ est immédiatement connu. Pour trouver un second point, on peut calculer une image ou utiliser la pente. Si $a=\frac32$, avancer de 2 en abscisse fait monter de 3 en ordonnée.

Une fois deux points placés avec précision, on trace la droite et on la prolonge. Une lecture graphique ultérieure sera approchée, tandis que la formule conserve les valeurs exactes.

Sens de variation et comparaison de deux offres

Si $a\gt 0$, la fonction affine est croissante ; si $a\lt 0$, elle est décroissante ; si $a=0$, elle est constante. Le terme $b$ déplace la droite verticalement mais ne change pas son sens.

Deux offres coûtent $A(x)=4x+12$ et $B(x)=6x+2$. Leur point d'égalité vérifie $4x+12=6x+2$, donc $x=5$. Pour moins de 5 unités, B est moins chère ; au-delà, A devient moins chère.

La résolution mobilise les équations du premier degré, tandis que le graphique permet de voir l'intersection et les zones de comparaison.

Trouver le zéro d’une fonction affine

Le zéro d'une fonction est l'antécédent de 0. Pour $f(x)=3x-12$, on résout $3x-12=0$, d'où $x=4$. Graphiquement, la droite coupe l'axe des abscisses au point $(4;0)$.

Cette valeur sert à étudier le signe de l'expression : si le coefficient directeur est positif, la droite est sous l'axe avant le zéro et au-dessus après. Si le coefficient est négatif, l'ordre s'inverse.

Dans un contexte, le zéro peut représenter une rupture d'équilibre, une température nulle ou un bénéfice qui devient positif. Il faut interpréter l'abscisse et vérifier qu'elle appartient au domaine utile.

Tester l’alignement de trois points

Trois points appartiennent à une même droite affine si les coefficients directeurs calculés entre deux couples successifs sont égaux. Avec $A(1;3)$, $B(4;9)$ et $C(7;15)$, les deux pentes valent $6/3=2$. Les points sont alignés.

Une lecture graphique peut suggérer l'alignement, mais le calcul des variations fournit une preuve exacte.

Passer d’un tableau de différences à la formule

Dans un tableau, si $x$ augmente de 2 et $f(x)$ de 6 à chaque pas, le coefficient directeur vaut $6/2=3$. Avec une colonne $x=1$, $f(x)=5$, on obtient $5=3\times1+b$, donc $b=2$.

La formule est $f(x)=3x+2$. Des différences constantes indiquent une fonction affine lorsque les abscisses progressent régulièrement ; leur quotient fournit la pente.

Fonctions affines 3ème : l’essentiel à retenir

Une fonction affine associe une variation régulière $a$ et une valeur initiale $b$. L'ordonnée à l'origine se lit pour $x=0$, le coefficient directeur se calcule par le quotient des variations et deux points déterminent entièrement la droite.

Ces méthodes correspondent aux repères annuels de progression de mathématiques pour le cycle 4 et relient algèbre, graphiques et problèmes de comparaison.