Une équation en 3ème affirme que deux expressions sont égales pour certaines valeurs de l'inconnue. Résoudre consiste à déterminer toutes ces valeurs, puis à vérifier qu'elles rendent bien l'égalité vraie.
La méthode la plus sûre repose sur l'image d'une balance : toute opération effectuée sur un membre doit être effectuée sur l'autre. Cette idée reste valable avec des parenthèses, des fractions et une inconnue présente des deux côtés.
Équation, inconnue, membre et solution
Solution d’une équation
Une solution est une valeur de l'inconnue qui rend égaux le membre de gauche et le membre de droite. Résoudre l'équation revient à trouver l'ensemble de toutes ses solutions.
Dans , est l'inconnue, le membre de gauche et 20 le membre de droite. La valeur 5 est solution car .
Isoler l’inconnue par opérations équivalentes
Équations équivalentes
Ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres conserve les solutions. Multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul conserve aussi les solutions.
Chaque ligne répond à une question : quel terme gêne d'abord l'isolement de ? Ici, on ajoute 7, puis on divise par 5. Dire « le moins 7 passe et devient plus 7 » masque cette logique et favorise les erreurs.
Gérer une inconnue dans les deux membres
Pour , on regroupe les termes en dans un même membre et les constantes dans l'autre. Le choix du côté est libre, mais éviter un coefficient négatif peut simplifier la suite.
Astuce : soustraire le plus petit coefficient de aux deux membres conduit souvent à un coefficient positif.
Équations avec parenthèses : développer puis réduire
Les parenthèses ne s'effacent pas. On utilise d'abord le calcul littéral, puis on réduit chaque membre avant d'isoler l'inconnue.
Erreur fréquente : le signe placé devant une parenthèse s'applique à tous ses termes. Dans , on obtient .
Éliminer des dénominateurs sans changer les solutions
Dans une équation avec fractions numériques, on peut multiplier les deux membres par un multiple commun des dénominateurs. Cela transforme l'équation en une forme entière plus lisible.
Le facteur 6 multiplie chaque terme des deux membres. Il ne faut pas multiplier seulement les numérateurs visibles ou oublier le terme 5.
Mettre un problème en équation
Le périmètre d'un rectangle vaut 54 cm et sa longueur dépasse sa largeur de 5 cm. On choisit pour la largeur ; la longueur vaut alors . La relation sur le périmètre donne .
La largeur mesure 11 cm et la longueur 16 cm. Le contrôle vérifie à la fois l'équation et le contexte. Une solution numérique sans unité ni interprétation ne termine pas le problème.
| Étape | Question à poser |
|---|---|
| Choix | Que représente l'inconnue ? |
| Traduction | Quelle expression décrit chaque quantité ? |
| Relation | Quelle égalité relie les données ? |
| Retour | La solution respecte-t-elle le contexte ? |
Vérifier et reconnaître les cas particuliers
Pour vérifier dans , on calcule séparément les deux membres : 38 et 38. La vérification ne consiste pas à relire les transformations, mais à remplacer dans l'équation initiale.
Une réduction peut conduire à : toutes les valeurs conviennent. Elle peut aussi conduire à : aucune valeur ne convient. Ces cas ne sont ni des blocages ni des erreurs ; ils décrivent l'ensemble des solutions.
La série d'équations et d'inéquations corrigées aide à distinguer ces configurations par la pratique.
Une équation peut modéliser une égalité de tarifs
Un abonnement A coûte 18 € puis 4 € par séance. Un abonnement B coûte 8 € puis 6 € par séance. Pour quel nombre de séances les prix sont-ils égaux ? Avec séances, les coûts sont et .
Pour 5 séances, chaque offre coûte 38 €. Tester 4 séances donne 34 € pour A et 32 € pour B ; tester 6 donne 42 € pour A et 44 € pour B. Le point d'égalité sépare donc deux zones de comparaison, même si la question initiale ne demandait qu'une valeur.
Le choix de comme nombre entier rappelle qu'une solution algébrique doit être compatible avec la nature de la grandeur.
Équation et géométrie : respecter les conditions d’existence
Un triangle isocèle a deux côtés de longueur et une base de 10 cm. Son périmètre vaut 34 cm. L'équation donne , donc les côtés égaux mesurent 12 cm.
Les longueurs sont positives et , donc le triangle existe. Une équation peut donner une valeur algébrique correcte mais incompatible avec une longueur négative ou une inégalité triangulaire ; le retour au contexte reste obligatoire.
Une phrase finale doit préciser ce que vaut , puis traduire cette valeur en dimensions réelles. Cette distinction évite de répondre « 10 cm » alors que est seulement un paramètre et que les côtés mesurent .
Équations du premier degré 3ème : l’essentiel à retenir
Résoudre une équation revient à conserver l'équilibre tout en isolant l'inconnue. On développe et réduit avant de regrouper les termes, on peut éliminer les dénominateurs par un facteur commun et on vérifie toujours dans l'égalité initiale. Dans un problème, le choix et l'interprétation de l'inconnue comptent autant que le calcul.
Cette méthode respecte les repères annuels de progression de mathématiques pour le cycle 4 et fournit une base solide pour les équations-produit et les fonctions.