Fonctions affines 3ème : 12 exercices corrigés

Ces exercices corrigés sur les fonctions affines en 3ème relient la formule f(x)=ax+bf(x)=ax+b à une droite. Le cours sur les fonctions affines donne les méthodes pour retrouver aa et bb.

Lorsque b=0b=0, on retrouve les fonctions linéaires. Les corrections distinguent donc soigneusement variation constante et proportionnalité.

Lire les paramètres d’une formule

Le coefficient aa décrit la variation de l'image ; le nombre bb est l'image de zéro.

Exercice 1 : Coefficient et origine

Facile

Pour chaque fonction, donner aa et bb : f(x)=4x−7f(x)=4x-7, g(x)=−x+3g(x)=-x+3, h(x)=5h(x)=5.

  1. Lire les paramètres de ff.
  2. Lire ceux de gg.
  3. Écrire hh sous la forme ax+bax+b.
  4. Classer les fonctions croissantes, décroissantes ou constantes.
Indication

Une fonction constante a un coefficient directeur nul.

Voir le corrigé
  1. Pour ff, a=4a=4 et b=−7b=-7.
  2. Pour gg, a=−1a=-1 et b=3b=3.
  3. h(x)=0x+5h(x)=0x+5.
  4. ff est croissante, gg décroissante et hh constante.

Exercice 2 : Images et antécédent

Moyen

On considère u(x)=−2,5x+6u(x)=-2{,}5x+6.

  1. Calculer u(4)u(4).
  2. Calculer u(−2)u(-2).
  3. Trouver l'antécédent de 11.
  4. Trouver l'antécédent de 66.
  5. Interpréter u(0)u(0).
Indication

Pour un antécédent, résolvez l'équation u(x)=yu(x)=y.

Voir le corrigé
  1. u(4)=−4u(4)=-4.
  2. u(−2)=11u(-2)=11.
  3. −2,5x+6=1-2{,}5x+6=1 donne x=2x=2.
  4. L'antécédent de 66 est 00.
  5. u(0)=6u(0)=6 est l'ordonnée à l'origine.

Exercice 3 : Formule à normaliser

Moyen

Réécrire sous forme affine v(x)=3(2−x)+4x−5v(x)=3(2-x)+4x-5.

  1. Développer.
  2. Réduire.
  3. Lire le coefficient directeur.
  4. Calculer l'image de zéro.
Indication

Développez avant de regrouper les termes en xx.

Voir le corrigé
  1. v(x)=6−3x+4x−5v(x)=6-3x+4x-5.
  2. v(x)=x+1v(x)=x+1.
  3. Le coefficient directeur vaut 11.
  4. v(0)=1v(0)=1, ce qui confirme l'ordonnée à l'origine.

Déterminer une fonction affine

Un point donne une équation ; deux points d'abscisses différentes déterminent une droite unique.

Exercice 4 : Coefficient et un point

Facile

Une fonction affine a pour coefficient directeur 33 et sa droite passe par A(2;11)A(2;11).

  1. Écrire f(x)=3x+bf(x)=3x+b.
  2. Déterminer bb.
  3. Donner la formule.
  4. Vérifier le point AA.
Indication

Remplacez xx par 22 et f(x)f(x) par 1111.

Voir le corrigé
  1. f(x)=3x+bf(x)=3x+b.
  2. 11=6+b11=6+b, donc b=5b=5.
  3. f(x)=3x+5f(x)=3x+5.
  4. f(2)=11f(2)=11, le point appartient bien à la droite.

Exercice 5 : Deux points

Moyen

La droite d'une fonction affine passe par A(−1;5)A(-1;5) et B(3;−3)B(3;-3).

  1. Calculer le coefficient directeur.
  2. Déterminer l'ordonnée à l'origine.
  3. Écrire la formule.
  4. Calculer l'image de 1010.
  5. Contrôler les deux points.
Indication

a=(yB−yA)/(xB−xA)a=(y_B-y_A)/(x_B-x_A).

Voir le corrigé
  1. a=(−3−5)/(3−(−1))=−8/4=−2a=(-3-5)/(3-(-1))=-8/4=-2.
  2. Avec AA, 5=2+b5=2+b, donc b=3b=3.
  3. f(x)=−2x+3f(x)=-2x+3.
  4. f(10)=−17f(10)=-17.
  5. f(−1)=5f(-1)=5 et f(3)=−3f(3)=-3, donc les deux données sont respectées.

Exercice 6 : Tableau avec une erreur

Difficile

Un tableau annonce une fonction affine pour les points (0;4),(2;7),(5;12),(8;16)(0;4),(2;7),(5;12),(8;16).

  1. Calculer les taux de variation successifs.
  2. Détecter la donnée incohérente.
  3. Proposer sa correction si les trois premiers points corrects définissent la fonction.
  4. Donner la formule.
  5. Expliquer pourquoi des écarts constants d'abscisse ne sont pas obligatoires.
Indication

Comparez les pentes entre plusieurs couples de points.

Voir le corrigé
  1. Entre les trois premiers points, les taux valent 3/23/2 puis 5/35/3, donc ils ne coïncident déjà pas.
  2. Les données ne définissent pas une unique fonction affine ; on ne peut pas isoler une seule erreur sans hypothèse supplémentaire.
  3. Si l'on suppose les deux premiers points corrects, la pente vaut 1,51{,}5, alors les ordonnées attendues seraient 11,511{,}5 pour x=5x=5 et 1616 pour x=8x=8.
  4. La formule serait f(x)=1,5x+4f(x)=1{,}5x+4.
  5. Le taux compare les variations, donc les pas d'abscisse peuvent différer si le quotient reste constant.

Tracer et interpréter une droite

Deux points suffisent pour tracer ; les intersections avec les axes donnent des informations immédiates.

Exercice 7 : Deux points bien choisis

Facile

Construire la droite de f(x)=−0,5x+3f(x)=-0{,}5x+3.

  1. Donner le point d'ordonnée à l'origine.
  2. Choisir une seconde abscisse donnant une ordonnée entière.
  3. Donner le second point.
  4. Décrire le sens de variation.
Indication

Choisissez par exemple une abscisse paire.

Voir le corrigé
  1. Le premier point est A(0;3)A(0;3).
  2. On peut choisir x=4x=4.
  3. f(4)=1f(4)=1, donc B(4;1)B(4;1).
  4. La droite est décroissante car le coefficient −0,5-0{,}5 est négatif.

Exercice 8 : Intersection avec les axes

Moyen

On étudie la droite de g(x)=2x−6g(x)=2x-6.

  1. Trouver l'intersection avec l'axe des ordonnées.
  2. Résoudre g(x)=0g(x)=0.
  3. Donner l'intersection avec l'axe des abscisses.
  4. Tracer mentalement l'orientation.
  5. Vérifier les deux points.
Indication

Sur l'axe des abscisses, l'ordonnée vaut zéro.

Voir le corrigé
  1. Pour x=0x=0, le point est A(0;−6)A(0;-6).
  2. 2x−6=02x-6=0 donne x=3x=3.
  3. Le second point est B(3;0)B(3;0).
  4. La droite monte de gauche à droite car 2>02\gt 0.
  5. Les deux points satisfont la formule.

Exercice 9 : Lecture graphique approchée

Moyen

Une droite passe visuellement par A(0;2)A(0;2) et près de B(5;5,5)B(5;5{,}5).

  1. Estimer le coefficient directeur.
  2. Proposer une formule affine.
  3. Estimer l'image de 88.
  4. Préciser pourquoi les résultats sont approchés.
Indication

La pente estimée vaut variation verticale divisée par variation horizontale.

Voir le corrigé
  1. a≈(5,5−2)/5=0,7a\approx(5{,}5-2)/5=0{,}7.
  2. Une formule plausible est f(x)≈0,7x+2f(x)\approx0{,}7x+2.
  3. f(8)≈7,6f(8)\approx7{,}6.
  4. Le point BB est lu sur un dessin et non fourni exactement ; ses coordonnées et la pente héritent de cette incertitude.

Comparer des modèles affines

Un coût fixe donne l'ordonnée à l'origine ; le prix par unité donne le coefficient directeur.

Exercice 10 : Location de vélos

Moyen

Le loueur A facture 66 euros puis 33 euros par heure. Le loueur B facture 4,54{,}5 euros par heure sans forfait.

  1. Écrire les deux fonctions de coût.
  2. Calculer les prix pour 22 h.
  3. Résoudre l'égalité des coûts.
  4. Interpréter la solution.
Indication

Le forfait fixe apparaît même pour une durée nulle.

Voir le corrigé
  1. A(t)=3t+6A(t)=3t+6 et B(t)=4,5tB(t)=4{,}5t.
  2. A(2)=12A(2)=12 et B(2)=9B(2)=9.
  3. 3t+6=4,5t3t+6=4{,}5t donne t=4t=4.
  4. Pour 44 h, les deux coûts valent 1818 euros.

Exercice 11 : Température et altitude

Difficile

Une modélisation donne T(h)=18−6,5hT(h)=18-6{,}5h, où hh est l'altitude en kilomètres.

  1. Interpréter 1818.
  2. Interpréter −6,5-6{,}5.
  3. Calculer la température à 2,42{,}4 km.
  4. Trouver l'altitude où T=0T=0.
  5. Discuter une limite du modèle.
Indication

Le coefficient exprime une variation par kilomètre.

Voir le corrigé
  1. 1818 degrés est la température modélisée à l'altitude zéro.
  2. La température baisse de 6,56{,}5 degrés par kilomètre.
  3. T(2,4)=18−15,6=2,4T(2{,}4)=18-15{,}6=2{,}4 degrés.
  4. 18−6,5h=018-6{,}5h=0 donne h≈2,77h\approx2{,}77 km.
  5. Cette évolution linéaire n'est qu'une approximation sur une plage d'altitude limitée.

Exercice 12 : Point d’équilibre

Difficile

Une entreprise estime ses recettes par R(x)=14xR(x)=14x et ses coûts par C(x)=8x+720C(x)=8x+720, pour xx objets.

  1. Identifier la fonction linéaire et la fonction affine.
  2. Résoudre R(x)=C(x)R(x)=C(x).
  3. Interpréter le résultat et déterminer le bénéfice pour 150150 objets.
Indication

Le bénéfice est R−CR-C.

Voir le corrigé
  1. RR est linéaire ; CC est affine à cause du coût fixe 720720.
  2. 14x=8x+72014x=8x+720 donne x=120x=120.
  3. À 120120 objets, recette et coût sont égaux. Pour 150150, le bénéfice vaut 2100−1920=1802100-1920=180 euros et devient positif au-delà de 120120 objets.
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