Imagine un robinet qui remplit une baignoire : si on double le débit, le temps de remplissage est divisé par deux. Si on triple le débit, le temps est divisé par trois. Cette relation — où le produit de deux quantités reste constant — est précisément ce que capture la fonction inverse. Définie par \( f(x) = \dfrac{1}{x} \), elle associe à tout réel non nul son inverse multiplicatif, c’est-à-dire le nombre par lequel il faut le multiplier pour obtenir 1.
Présente dans les programmes de lycée dès la classe de Seconde, la fonction inverse est l’une des fonctions de référence fondamentales — c’est-à-dire une fonction simple qui sert de modèle pour analyser des fonctions plus complexes. Sa courbe caractéristique, appelée hyperbole, apparaît en physique (loi de Boyle-Mariotte, loi d’Ohm), en économie (élasticité de la demande) et en géométrie. Maîtriser ses propriétés, ses variations et sa représentation graphique, c’est se donner un outil puissant pour toute la suite du parcours mathématique.
Dans ce cours, nous allons construire pas à pas une compréhension solide et intuitive de la fonction inverse : de sa définition rigoureuse jusqu’à la preuve de sa dérivée, en passant par les asymptotes, la parité et les techniques de résolution d’équations et d’inéquations.
Définition de la fonction inverse
Avant d’énoncer la définition formelle, rappelons ce que signifie l’inverse d’un nombre : l’inverse de \( x \) est le réel \( \dfrac{1}{x} \) tel que \( x \times \dfrac{1}{x} = 1 \). On comprend immédiatement pourquoi \( x = 0 \) pose problème : diviser par zéro n’a aucun sens en mathématiques, et aucun réel multiplié par zéro ne peut donner 1.
Définition formelle
On appelle fonction inverse la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R}^* \) (l’ensemble de tous les réels non nuls) par :
La notation \( \mathbb{R}^* \) désigne l’ensemble \( ]-\infty\,;\,0[\;\cup\;]0\,;\,+\infty[ \), c’est-à-dire tous les réels à l’exception de \( 0 \). On dit que \( 0 \) est une valeur interdite.
On rencontre aussi la notation \( f(x) = x^{-1} \), qui est strictement équivalente.
Erreur fréquente : L’inverse d’un nombre \( x \) est \( \dfrac{1}{x} \), et non son opposé \( -x \). Par exemple, l’inverse de \( 4 \) est \( \dfrac{1}{4} = 0{,}25 \), et non \( -4 \). Ces deux notions — inverse et opposé — sont fondamentalement différentes.
Pour se repérer intuitivement : l’image de \( 2 \) est \( \dfrac{1}{2} \), l’image de \( 5 \) est \( \dfrac{1}{5} = 0{,}2 \), l’image de \( -3 \) est \( -\dfrac{1}{3} \approx -0{,}333\ldots \). Plus \( x \) est grand (en valeur absolue), plus \( f(x) \) est petit — et vice versa.
Ensemble de définition et valeur interdite
La définition posée, une question s’impose naturellement : pour quelles valeurs de \( x \) la fonction inverse est-elle bien définie, et que se passe-t-il au voisinage de \( x = 0 \) ?
L’ensemble de définition de \( f \) est \( \mathbb{R}^* = \mathbb{R} \setminus \{0\} \), c’est-à-dire tous les réels sauf zéro. Ce choix n’est pas arbitraire : il correspond exactement aux valeurs pour lesquelles le calcul \( \dfrac{1}{x} \) est mathématiquement licite.
Au voisinage de \( 0 \), la fonction ne se contente pas d’être « grande » — elle diverge, c’est-à-dire que ses valeurs s’échappent vers l’infini. Plus précisément :
Cela se comprend sans calcul : si \( x = 0{,}001 \), alors \( \dfrac{1}{0{,}001} = 1000 \). Si \( x = 0{,}0001 \), alors \( \dfrac{1}{x} = 10\,000 \). On « s’approche » de zéro par valeurs positives, et les images grandissent sans limite. Du côté négatif, le raisonnement est symétrique.
Aux extrémités, le comportement est inverse (sans mauvais jeu de mots) : la fonction s’approche de zéro, mais ne l’atteint jamais.
Ces quatre limites sont le cœur de la compréhension graphique de la fonction inverse. Elles expliquent directement l’existence des deux asymptotes que nous étudierons dans la section suivante. Pour approfondir l’étude des limites en général, vous pouvez consulter notre cours sur les limites de fonctions et leur calcul.
Propriétés clés de la fonction inverse
Les limites calculées ci-dessus permettent déjà de dresser un portrait précis de la fonction. Voici ses propriétés fondamentales, chacune avec sa justification.
Propriété 1 : Tableau de variations
La fonction inverse est strictement décroissante sur \( ]-\infty\,;\,0[ \) et strictement décroissante sur \( ]0\,;\,+\infty[ \).
(La barre verticale sous \( 0 \) indique que la fonction n’est pas définie en ce point.)
⚠️ Erreur fréquente : La fonction inverse n’est pas décroissante sur \( \mathbb{R}^* \) tout entier. Contre-exemple : on a bien \( -1 < 2 \), mais \( f(-1) = -1 < \dfrac{1}{2} = f(2) \). L'ordre n’est pas inversé quand on compare un réel négatif à un réel positif. La décroissance ne vaut que sur chacun des deux intervalles séparément.
Propriété 2 : Parité : la fonction inverse est impaire
Une fonction \( f \) est dite impaire si, pour tout \( x \) de son ensemble de définition, on a \( f(-x) = -f(x) \). Géométriquement, cela signifie que sa courbe est symétrique par rapport à l’origine \( O \) du repère.
Vérification : pour tout \( x \in \mathbb{R}^* \),
Conséquence pratique : si on connaît les variations sur \( ]0\,;\,+\infty[ \), on en déduit immédiatement celles sur \( ]-\infty\,;\,0[ \) par symétrie.
Propriété 3 : La fonction inverse est une involution
Appliquer deux fois de suite la fonction inverse revient à ne rien faire : \( f(f(x)) = \dfrac{1}{1/x} = x \). On dit que \( f \) est sa propre bijection réciproque — une involution. C’est une propriété rare et remarquable.
Propriété 4 : Signe de la fonction inverse
Pour tout \( x \in \mathbb{R}^* \), \( f(x) = \dfrac{1}{x} \) et \( x \) sont toujours du même signe : si \( x > 0 \), alors \( f(x) > 0 \) ; si \( x < 0 \), alors \( f(x) < 0 \).
Propriété 5 : Comparaison de deux inverses
Si \( 0 < a < b \), alors \( \dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b} \) (l’inégalité s’inverse). De même, si \( a < b < 0 \), alors \( \dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b} \). Attention : cette règle ne s’applique que lorsque \( a \) et \( b \) sont strictement du même signe.
Comprendre la fonction inverse sans formule
Les propriétés listées ci-dessus méritent d’être incarnées dans des situations concrètes avant d’être manipulées algébriquement.
Vitesse et temps de trajet. Si tu roules à \( v \) km/h sur un trajet de 100 km, le temps que tu mettras est \( t = \dfrac{100}{v} \), qui est exactement proportionnel à \( \dfrac{1}{v} \). Doubler la vitesse divise le temps par deux. Tripler la vitesse divise le temps par trois. C’est la décroissance de la fonction inverse en action.
Résistance électrique. En physique, la loi d’Ohm donne \( U = R \times I \), d’où \( I = \dfrac{U}{R} \). À tension fixée, l’intensité du courant est inversement proportionnelle à la résistance. Plus la résistance est grande, plus le courant est faible — et cela suit exactement une loi en \( \dfrac{1}{R} \).
Pourquoi la courbe ne croise-t-elle jamais les axes ? Parce que \( \dfrac{1}{x} = 0 \) n’a pas de solution : aucun réel \( x \) ne vérifie cette équation. Et parce que \( x = 0 \) est interdit. La courbe est « prisonnière » entre les deux axes, qu’elle approche indéfiniment sans jamais les atteindre.
Astuce : Pour retrouver rapidement le sens de variation, il suffit de tester deux valeurs du même signe. Sur \( ]0\,;\,+\infty[ \) : \( f(1) = 1 \) et \( f(2) = 0{,}5 \). Comme \( 1 < 2 \) et \( f(1) > f(2) \), la fonction est bien décroissante sur cet intervalle.
Représentation graphique : l’hyperbole et ses asymptotes
Passons maintenant à la dimension visuelle, qui est souvent la clé pour vraiment s’approprier le comportement d’une fonction.
La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole, plus précisément une hyperbole équilatère (aussi appelée hyperbole rectangulaire). Ce terme désigne une hyperbole dont les asymptotes sont perpendiculaires entre elles.
Une asymptote est une droite que la courbe approche indéfiniment sans jamais la toucher. La courbe de \( f(x) = \dfrac{1}{x} \) en possède deux :
- Asymptote verticale d’équation \( x = 0 \) (l’axe des ordonnées) : lorsque \( x \) s’approche de \( 0 \), la courbe « part vers l’infini ».
- Asymptote horizontale d’équation \( y = 0 \) (l’axe des abscisses) : lorsque \( x \) devient très grand en valeur absolue, la courbe se rapproche de l’axe des abscisses.
La courbe se compose de deux branches distinctes, séparées par l’asymptote verticale :
- Une branche dans le premier et quatrième cadrant pour les \( x > 0 \), descendant de \( +\infty \) vers \( 0^+ \).
- Une branche dans le troisième cadrant pour les \( x < 0 \), descendant de \( 0^- \) vers \( -\infty \).
La symétrie centrale par rapport à l’origine \( O \) (conséquence de la parité impaire) se voit clairement : les deux branches sont le « miroir » l’une de l’autre via une rotation de 180° autour de \( O \). L’hyperbole possède également deux axes de symétrie obliques : les droites d’équations \( y = x \) et \( y = -x \).
| \( x \) | \( -4 \) | \( -2 \) | \( -1 \) | \( -\frac{1}{2} \) | \( \frac{1}{2} \) | \( 1 \) | \( 2 \) | \( 4 \) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( f(x) = \dfrac{1}{x} \) | \( -\dfrac{1}{4} \) | \( -\dfrac{1}{2} \) | \( -1 \) | \( -2 \) | \( 2 \) | \( 1 \) | \( \dfrac{1}{2} \) | \( \dfrac{1}{4} \) |
Preuve de la décroissance sur \( ]0\,;\,+\infty[ \)
La représentation graphique est convaincante, mais en mathématiques, voir ne suffit pas : il faut démontrer. Voici la preuve rigoureuse de la décroissance de \( f \) sur \( ]0\,;\,+\infty[ \), accessible dès la Seconde.
Objectif : Montrer que pour tous réels \( a \) et \( b \) tels que \( 0 < a < b \), on a bien \( f(a) > f(b) \), c’est-à-dire \( \dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b} \).
-
Calculer la différence \( f(a) – f(b) \). On pose :\[ f(a) – f(b) = \frac{1}{a} – \frac{1}{b} = \frac{b – a}{ab}. \]
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Analyser le signe de cette différence. On étudie séparément le numérateur et le dénominateur :
- Numérateur : \( b – a \). Puisque \( a < b \), on a \( b - a > 0 \).
- Dénominateur : \( ab \). Puisque \( a > 0 \) et \( b > 0 \), on a \( ab > 0 \).
-
Conclure. Le numérateur et le dénominateur sont tous les deux strictement positifs, donc :\[ \frac{b – a}{ab} > 0 \implies f(a) – f(b) > 0 \implies f(a) > f(b). \]
Pour tout \( a, b \in ]0\,;\,+\infty[ \) vérifiant \( a < b \), on obtient \( f(a) > f(b) \). La fonction inverse est donc strictement décroissante sur \( ]0\,;\,+\infty[ \). \(\blacksquare\)
Preuve sur \( ]-\infty\,;\,0[ \) : Elle est strictement analogue, en remplaçant les inégalités. Alternativement, puisque \( f \) est impaire, on déduit la décroissance sur \( ]-\infty\,;\,0[ \) directement par symétrie.
Dérivée de la fonction inverse : formule et preuve
La preuve de décroissance par la différence est élégante au lycée, mais à partir de la Première, on dispose d’un outil encore plus puissant : le calcul différentiel. La dérivée de la fonction inverse est un résultat fondamental que l’on retrouve dans toutes les études de fonctions rationnelles et dans le calcul intégral.
Théorème : Dérivée de la fonction inverse
La fonction \( f(x) = \dfrac{1}{x} \) est dérivable sur \( \mathbb{R}^* \) et sa dérivée est :
Preuve par la définition de la dérivée :
On calcule le taux d’accroissement de \( f \) en un point \( x \in \mathbb{R}^* \) :
En faisant tendre \( h \) vers \( 0 \) :
Interprétation : Puisque \( x^2 > 0 \) pour tout \( x \neq 0 \), on a \( f'(x) = -\dfrac{1}{x^2} < 0 \) sur tout l'ensemble de définition. Une dérivée négative confirme la décroissance stricte sur chacun des deux intervalles. Pour un rappel complet des règles de dérivation, consultez notre cours sur la dérivation des fonctions de référence.
Généralisation : La formule \( (u^n)’ = n\,u^{n-1} \) avec \( n = -1 \) donne \( (x^{-1})’ = -x^{-2} = -\dfrac{1}{x^2} \), ce qui est cohérent.
Enfin, une primitive (antidérivée) de la fonction inverse est la fonction logarithme népérien \( \ln \) :
Ce résultat, fondamental en analyse, sera étudié en Terminale et en classes préparatoires. Pour aller plus loin dans cette direction, notre cours sur l’intégrale et le logarithme népérien propose une exploration complète.
Résoudre des équations et inéquations avec la fonction inverse
La maîtrise des propriétés de la fonction inverse permet maintenant de résoudre efficacement équations et inéquations du type \( \dfrac{1}{x} = k \) ou \( \dfrac{1}{x} \leq k \).
Résoudre l’équation \( \dfrac{1}{x} = k \) avec \( k \neq 0 \)
On multiplie les deux membres par \( x \) (autorisé si \( x \neq 0 \)) : \( 1 = kx \), d’où \( x = \dfrac{1}{k} \). La solution est unique.
Exemple : Résoudre \( \dfrac{1}{x} = 4 \).
Résoudre l’inéquation \( \dfrac{1}{x} > k \)
Ici, on ne peut pas simplement multiplier par \( x \) sans précaution, car le signe de \( x \) est inconnu. La méthode la plus sûre est de ramener l’inéquation à une étude de signe.
Exemple : Résoudre \( \dfrac{1}{x} > 2 \).
On étudie le signe de \( \dfrac{1-2x}{x} \) : le numérateur \( 1 – 2x \) s’annule en \( x = \dfrac{1}{2} \), et le dénominateur \( x \) s’annule en \( x = 0 \). Le tableau de signes donne :
| \( x \) | \( -\infty \) | \( 0 \) | \( \dfrac{1}{2} \) | \( +\infty \) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( 1 – 2x \) | \( + \) | \( + \) | \( + \) | \( 0 \) | \( – \) | ||
| \( x \) | \( – \) | \( 0 \) | \( + \) | \( + \) | \( + \) | ||
| \( \dfrac{1-2x}{x} \) | \( – \) | \( \| \) | \( + \) | \( 0 \) | \( – \) |
La fraction est strictement positive sur \( ]0\,;\,\dfrac{1}{2}[ \). L’ensemble solution est donc \( S = \left]0\,;\,\dfrac{1}{2}\right[ \).
Conclusion : Ce qu’il faut retenir sur la fonction inverse
La fonction inverse \( f(x) = \dfrac{1}{x} \) est bien plus qu’une simple formule à mémoriser. C’est un modèle mathématique qui capture des phénomènes réels omniprésents — de la vitesse au courant électrique — et dont les propriétés, une fois comprises en profondeur, ouvrent la porte à des outils analytiques bien plus puissants.
Ce qu’il faut absolument maîtriser :
- L’ensemble de définition est \( \mathbb{R}^* \) : \( 0 \) est une valeur interdite.
- La fonction est strictement décroissante sur chacun des deux intervalles \( ]-\infty\,;\,0[ \) et \( ]0\,;\,+\infty[ \) — mais pas sur leur réunion.
- La courbe est une hyperbole équilatère avec deux asymptotes : \( x = 0 \) (verticale) et \( y = 0 \) (horizontale).
- La fonction est impaire : \( f(-x) = -f(x) \), donc sa courbe est symétrique par rapport à \( O \).
- Sa dérivée est \( f'(x) = -\dfrac{1}{x^2} < 0 \), ce qui confirme la décroissance.
- Sa primitive est \( \ln|x| + C \).
Si tu veux consolider ce que tu viens d’apprendre, entraîne-toi avec des exercices variés sur notre plateforme. Tu peux également approfondir avec notre cours sur les fonctions de référence en Seconde, qui place la fonction inverse dans son contexte aux côtés des fonctions carré et racine carrée.