Calcul littéral : développer, factoriser, exercices corrigés

Les exercices de calcul littéral corrigés présentés sur cette page couvrent l'ensemble du programme du collège, de la 5ème à la 3ème. Vous y trouverez des entraînements progressifs sur les notions fondamentales : substitution et évaluation numérique d'une expression algébrique, réduction et simplification de termes semblables, distributivité simple et double, développement d'expressions littérales, factorisation par facteur commun, et maîtrise des identités remarquables. Chaque exercice est accompagné d'une indication méthodologique et d'un corrigé détaillé étape par étape, afin de comprendre les erreurs fréquentes et de progresser efficacement vers le brevet des collèges.

Lire et écrire une expression littérale : substitution et évaluation numérique (5ème)

Avant de développer ou de factoriser, il faut savoir ce que représente une expression littérale et comment en calculer la valeur en remplaçant la variable par un nombre. Ces exercices de niveau 5ème introduisent les conventions d'écriture algébrique et la technique de substitution, compétence socle de tout le calcul littéral.

Exercice 1 : Calculer la valeur d’une expression littérale simple

Facile

On considère les deux expressions littérales suivantes : A=3x+7 A = 3x + 7 et B=2x2−5 B = 2x^2 - 5 .

  1. Calculer la valeur de A A pour x=4 x = 4 , puis pour x=−2 x = -2 .
  2. Calculer la valeur de B B pour x=3 x = 3 , puis pour x=0 x = 0 .
Indication

Remplace la lettre x x par la valeur numérique indiquée. Écris d'abord l'expression avec le nombre à la place de la lettre, en conservant tous les signes opératoires, puis calcule en respectant les priorités (les puissances avant les multiplications, les multiplications avant les additions).

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Solution de la question 1 :

Pour x=4 x = 4 :

A=3×4+7=12+7=19 A = 3 \times 4 + 7 = 12 + 7 = 19

Pour x=−2 x = -2 :

A=3×(−2)+7=−6+7=1 A = 3 \times (-2) + 7 = -6 + 7 = 1 Solution de la question 2 :

Pour x=3 x = 3 :

B=2×32−5=2×9−5=18−5=13 B = 2 \times 3^2 - 5 = 2 \times 9 - 5 = 18 - 5 = 13

Pour x=0 x = 0 :

B=2×02−5=0−5=−5 B = 2 \times 0^2 - 5 = 0 - 5 = -5

Exercice 2 : Traduire un programme de calcul en expression littérale

Facile

Un programme de calcul est décrit ainsi :

  1. Choisir un nombre.
  2. Le multiplier par 3.
  3. Ajouter 8 au résultat.
  4. Soustraire le nombre de départ.

On note n n le nombre choisi au départ.

  1. Exprimer le résultat du programme en fonction de n n .
  2. Calculer le résultat obtenu pour n=5 n = 5 , puis pour n=−3 n = -3 .
  3. Un élève affirme que le résultat est toujours un nombre pair. Vérifier cette affirmation pour n=1 n = 1 , n=4 n = 4 et n=7 n = 7 , puis conclure.
Indication

Traduis chaque étape du programme à l'aide de la variable n n . Construis l'expression pas à pas : après l'étape 2, tu as 3n 3n ; après l'étape 3, tu as 3n+8 3n + 8 . Continue ainsi jusqu'à l'étape 4. Pour la question 3, observe si l'expression finale peut s'écrire comme un multiple de 2.

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Solution de la question 1 :

Étape par étape :

Eˊtape 2 : 3n \text{Étape 2 : } 3n Eˊtape 3 : 3n+8 \text{Étape 3 : } 3n + 8 Eˊtape 4 : 3n+8−n=2n+8 \text{Étape 4 : } 3n + 8 - n = 2n + 8

Le résultat du programme est 2n+8 2n + 8 .

Solution de la question 2 :

Pour n=5 n = 5 :

2×5+8=10+8=18 2 \times 5 + 8 = 10 + 8 = 18

Pour n=−3 n = -3 :

2×(−3)+8=−6+8=2 2 \times (-3) + 8 = -6 + 8 = 2 Solution de la question 3 :

Pour n=1 n = 1 : 2+8=10 2 + 8 = 10 (pair). Pour n=4 n = 4 : 8+8=16 8 + 8 = 16 (pair). Pour n=7 n = 7 : 14+8=22 14 + 8 = 22 (pair).

En effet, 2n+8=2(n+4) 2n + 8 = 2(n + 4) , qui est bien un multiple de 2 quel que soit n n entier. Le résultat est toujours pair.

Exercice 3 : Exprimer le périmètre et l’aire d’une figure en fonction d’une variable

Moyen

Un rectangle a une longueur égale à (2x+5) (2x + 5) cm et une largeur égale à x x cm, où x x est un nombre positif.

  1. Exprimer le périmètre P P du rectangle en fonction de x x . Simplifier l'expression obtenue.
  2. Exprimer l'aire A A du rectangle en fonction de x x .
  3. Calculer le périmètre et l'aire pour x=3 x = 3 cm. Donner les unités.
Indication

Rappelle-toi que le périmètre d'un rectangle se calcule avec P=2×(longueur+largeur) P = 2 \times (\text{longueur} + \text{largeur}) . Remplace longueur et largeur par leurs expressions en x x , puis développe et réduis. Pour l'aire, multiplie simplement longueur par largeur sans développer si l'on ne t'y demande pas explicitement.

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Solution de la question 1 : P=2×((2x+5)+x)=2×(3x+5)=6x+10 P = 2 \times \big( (2x + 5) + x \big) = 2 \times (3x + 5) = 6x + 10

Le périmètre vaut (6x+10) (6x + 10) cm.

Solution de la question 2 : A=(2x+5)×x=2x2+5x A = (2x + 5) \times x = 2x^2 + 5x

L'aire vaut (2x2+5x) (2x^2 + 5x) cm².

Solution de la question 3 :

Pour x=3 x = 3 :

P=6×3+10=18+10=28 cm P = 6 \times 3 + 10 = 18 + 10 = 28 \text{ cm} A=2×9+5×3=18+15=33 cm2 A = 2 \times 9 + 5 \times 3 = 18 + 15 = 33 \text{ cm}^2

Réduire et simplifier une expression littérale : regrouper les termes semblables (5ème – 4ème)

Réduire une expression littérale consiste à additionner ou soustraire uniquement les termes qui contiennent la même variable avec le même exposant. C'est une compétence fondamentale qui conditionne la réussite de tous les exercices de calcul algébrique. Les exercices ci-dessous progressent du niveau 5ème vers des expressions avec des nombres relatifs, caractéristiques du programme de 4ème.

Exercice 4 : Réduire des expressions à une variable

Facile

Réduire chacune des expressions suivantes en regroupant les termes semblables.

  1. A=5x+3+2x−7 A = 5x + 3 + 2x - 7
  2. B=4a−9a+2+5a−1 B = 4a - 9a + 2 + 5a - 1
  3. C=3y2+2y−y2+5y−6 C = 3y^2 + 2y - y^2 + 5y - 6
Indication

Identifie les termes qui contiennent la même lettre avec le même exposant : ce sont des termes semblables. Regroupe-les en additionnant ou soustrayant leurs coefficients. Attention : y2 y^2 et y y ne sont pas semblables, car les exposants diffèrent.

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Solution de la question 1 : A=5x+2x+3−7=7x−4 A = 5x + 2x + 3 - 7 = 7x - 4 Solution de la question 2 : B=4a−9a+5a+2−1=0a+1=1 B = 4a - 9a + 5a + 2 - 1 = 0a + 1 = 1

Remarque : les termes en a a s'annulent, l'expression se réduit à la constante 1 1 .

Solution de la question 3 : C=(3y2−y2)+(2y+5y)−6=2y2+7y−6 C = (3y^2 - y^2) + (2y + 5y) - 6 = 2y^2 + 7y - 6

Exercice 5 : Réduire des expressions avec des nombres relatifs (4ème)

Moyen

Réduire et ordonner chacune des expressions suivantes (les termes de plus haut degré en premier).

  1. D=−3t+8−5t2+2t−11+t2 D = -3t + 8 - 5t^2 + 2t - 11 + t^2
  2. E=6−4m2+3m−8+7m2−m E = 6 - 4m^2 + 3m - 8 + 7m^2 - m
  3. F=−2x2−x+3x2+4x−x2−3x+1 F = -2x^2 - x + 3x^2 + 4x - x^2 - 3x + 1
Indication

Commence par repérer les termes de même degré (termes constants, termes du 1er degré, termes du 2ème degré) et regroupe-les séparément. Fais attention aux signes négatifs devant les coefficients : par exemple, −3t+2t=−1t=−t -3t + 2t = -1t = -t .

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Solution de la question 1 : D=(−5t2+t2)+(−3t+2t)+(8−11)=−4t2−t−3 D = (-5t^2 + t^2) + (-3t + 2t) + (8 - 11) = -4t^2 - t - 3 Solution de la question 2 : E=(−4m2+7m2)+(3m−m)+(6−8)=3m2+2m−2 E = (-4m^2 + 7m^2) + (3m - m) + (6 - 8) = 3m^2 + 2m - 2 Solution de la question 3 : F=(−2x2+3x2−x2)+(−x+4x−3x)+1=0x2+0x+1=1 F = (-2x^2 + 3x^2 - x^2) + (-x + 4x - 3x) + 1 = 0x^2 + 0x + 1 = 1

Remarque : tous les termes littéraux s'annulent, l'expression est une constante.

Développer une expression littérale : distributivité simple et double (4ème)

Développer une expression, c'est supprimer les parenthèses en appliquant la distributivité. La distributivité simple s'applique à la forme k(a+b)=ka+kb k(a + b) = ka + kb , tandis que la distributivité double (ou développement du produit de deux sommes) s'applique à la forme (a+b)(c+d) (a + b)(c + d) . Ces exercices de 4ème entraînent également à développer puis réduire des expressions comportant plusieurs parenthèses.

Exercice 6 : Développer à l’aide de la distributivité simple

Facile

Développer et réduire les expressions suivantes.

  1. A=4(3x−5) A = 4(3x - 5)
  2. B=−3(2a+7) B = -3(2a + 7)
  3. C=5(x+4)−2(3x−1) C = 5(x + 4) - 2(3x - 1)
  4. D=x(x−6)+3(x+2) D = x(x - 6) + 3(x + 2)
Indication

Multiplie le facteur placé devant la parenthèse par chaque terme à l'intérieur, en prenant soin de respecter la règle des signes. Pour les questions 3 et 4, développe d'abord chaque groupe de parenthèses séparément, puis regroupe les termes semblables.

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Solution de la question 1 : A=4×3x+4×(−5)=12x−20 A = 4 \times 3x + 4 \times (-5) = 12x - 20 Solution de la question 2 : B=(−3)×2a+(−3)×7=−6a−21 B = (-3) \times 2a + (-3) \times 7 = -6a - 21 Solution de la question 3 : C=5x+20−6x+2=−x+22 C = 5x + 20 - 6x + 2 = -x + 22 Solution de la question 4 : D=x2−6x+3x+6=x2−3x+6 D = x^2 - 6x + 3x + 6 = x^2 - 3x + 6

Exercice 7 : Développer à l’aide de la double distributivité

Moyen

Développer et réduire les expressions suivantes.

  1. A=(x+3)(x+5) A = (x + 3)(x + 5)
  2. B=(2x−1)(3x+4) B = (2x - 1)(3x + 4)
  3. C=(x+2)(x−2)+(x+1)2 C = (x + 2)(x - 2) + (x + 1)^2

Pour la question 3, on développera chaque produit séparément avant de réduire l'ensemble.

Indication

Applique la double distributivité : chaque terme du premier facteur multiplie chaque terme du second. Tu obtiendras 4 termes à regrouper. Pour la question 3, développe d'abord (x+1)2=(x+1)(x+1) (x + 1)^2 = (x + 1)(x + 1) avant de regrouper avec le premier produit.

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Solution de la question 1 : A=x⋅x+x⋅5+3⋅x+3⋅5=x2+5x+3x+15=x2+8x+15 A = x \cdot x + x \cdot 5 + 3 \cdot x + 3 \cdot 5 = x^2 + 5x + 3x + 15 = x^2 + 8x + 15 Solution de la question 2 : B=2x⋅3x+2x⋅4+(−1)⋅3x+(−1)⋅4=6x2+8x−3x−4=6x2+5x−4 B = 2x \cdot 3x + 2x \cdot 4 + (-1) \cdot 3x + (-1) \cdot 4 = 6x^2 + 8x - 3x - 4 = 6x^2 + 5x - 4 Solution de la question 3 :

Développement de (x+2)(x−2) (x + 2)(x - 2) :

x2−2x+2x−4=x2−4 x^2 - 2x + 2x - 4 = x^2 - 4

Développement de (x+1)2 (x + 1)^2 :

x2+x+x+1=x2+2x+1 x^2 + x + x + 1 = x^2 + 2x + 1

En additionnant :

C=(x2−4)+(x2+2x+1)=2x2+2x−3 C = (x^2 - 4) + (x^2 + 2x + 1) = 2x^2 + 2x - 3

Exercice 8 : Développer, réduire et calculer une valeur numérique

Difficile

On considère l'expression E=(3x−2)(x+4)−(2x+1)(x−3) E = (3x - 2)(x + 4) - (2x + 1)(x - 3) .

  1. Développer et réduire E E .
  2. Calculer la valeur de E E pour x=−1 x = -1 en utilisant l'expression réduite.
  3. Vérifier le résultat en substituant directement x=−1 x = -1 dans l'expression initiale (avant développement).
Indication

Développe chacun des deux produits séparément à l'aide de la double distributivité. N'oublie pas que le second produit est précédé d'un signe moins, ce qui change le signe de chacun de ses termes lors du regroupement final. La vérification de la question 3 doit donner le même résultat que la question 2.

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Solution de la question 1 :

Développement de (3x−2)(x+4) (3x - 2)(x + 4) :

3x2+12x−2x−8=3x2+10x−8 3x^2 + 12x - 2x - 8 = 3x^2 + 10x - 8

Développement de (2x+1)(x−3) (2x + 1)(x - 3) :

2x2−6x+x−3=2x2−5x−3 2x^2 - 6x + x - 3 = 2x^2 - 5x - 3

En soustrayant le second du premier :

E=(3x2+10x−8)−(2x2−5x−3)=x2+15x−5 E = (3x^2 + 10x - 8) - (2x^2 - 5x - 3) = x^2 + 15x - 5 Solution de la question 2 : E(−1)=(−1)2+15×(−1)−5=1−15−5=−19 E(-1) = (-1)^2 + 15 \times (-1) - 5 = 1 - 15 - 5 = -19 Solution de la question 3 (vérification) : E(−1)=(3×(−1)−2)((−1)+4)−(2×(−1)+1)((−1)−3) E(-1) = (3 \times (-1) - 2)((-1) + 4) - (2 \times (-1) + 1)((-1) - 3) =(−5)(3)−(−1)(−4)=−15−4=−19✓ = (-5)(3) - (-1)(-4) = -15 - 4 = -19 \checkmark

Factoriser une expression littérale : facteur commun et mise en évidence (4ème – 3ème)

Factoriser une expression, c'est l'opération inverse du développement : on cherche à écrire une somme ou une différence sous la forme d'un produit, en mettant en évidence un facteur commun à tous les termes. Cette technique est essentielle pour résoudre des équations-produit et pour simplifier des calculs complexes. Les exercices ci-dessous progressent du facteur numérique simple vers des factorisations impliquant un facteur commun littéral ou une expression entière.

Exercice 9 : Factoriser par un facteur commun numérique ou littéral

Facile

Factoriser chacune des expressions suivantes.

  1. A=6x+18 A = 6x + 18
  2. B=5a2−10a B = 5a^2 - 10a
  3. C=12x2+8x−4 C = 12x^2 + 8x - 4
Indication

Cherche le plus grand nombre entier qui divise tous les coefficients, puis identifie la plus petite puissance de la lettre commune à tous les termes. Le facteur commun est le produit de ces deux éléments. Vérifie ta factorisation en redéveloppant le résultat.

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Solution de la question 1 :

Le facteur commun de 6x 6x et 18 18 est 6 6 .

A=6(x+3) A = 6(x + 3) Solution de la question 2 :

Le facteur commun de 5a2 5a^2 et 10a 10a est 5a 5a .

B=5a(a−2) B = 5a(a - 2) Solution de la question 3 :

Le facteur commun de 12x2 12x^2 , 8x 8x et 4 4 est 4 4 .

C=4(3x2+2x−1) C = 4(3x^2 + 2x - 1)

Vérification : 4×3x2+4×2x+4×(−1)=12x2+8x−4✓ 4 \times 3x^2 + 4 \times 2x + 4 \times (-1) = 12x^2 + 8x - 4 \checkmark

Exercice 10 : Factoriser par un facteur commun expression entière

Moyen

Factoriser les expressions suivantes en mettant en évidence le facteur commun indiqué.

  1. A=5(x+3)+2x(x+3) A = 5(x + 3) + 2x(x + 3)
  2. B=7(2a−1)−3a(2a−1) B = 7(2a - 1) - 3a(2a - 1)
  3. C=4x(x−5)+(x−5) C = 4x(x - 5) + (x - 5)   (Attention : que représente (x−5) (x - 5) seul ?)
  4. D=(3x+2)(x−1)−(3x+2)(2x+5) D = (3x + 2)(x - 1) - (3x + 2)(2x + 5)
Indication

Le facteur commun est ici une expression entière entre parenthèses. Identifie-la dans chaque terme, puis mets-la en facteur. Pour la question 3, le terme (x−5) (x - 5) seul peut s'écrire 1×(x−5) 1 \times (x - 5) , ce qui facilitera la mise en facteur.

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Solution de la question 1 :

Le facteur commun est (x+3) (x + 3) .

A=(x+3)(5+2x) A = (x + 3)(5 + 2x) Solution de la question 2 :

Le facteur commun est (2a−1) (2a - 1) .

B=(2a−1)(7−3a) B = (2a - 1)(7 - 3a) Solution de la question 3 :

On réécrit (x−5)=1×(x−5) (x - 5) = 1 \times (x - 5) . Le facteur commun est (x−5) (x - 5) .

C=(x−5)(4x+1) C = (x - 5)(4x + 1) Solution de la question 4 :

Le facteur commun est (3x+2) (3x + 2) .

D=(3x+2)[(x−1)−(2x+5)]=(3x+2)(x−1−2x−5)=(3x+2)(−x−6) D = (3x + 2)\big[(x - 1) - (2x + 5)\big] = (3x + 2)(x - 1 - 2x - 5) = (3x + 2)(-x - 6)

Exercice 11 : Choisir entre développer et factoriser pour simplifier un calcul

Difficile

On considère l'expression K=(x+4)(2x−3)−(x+4)2 K = (x + 4)(2x - 3) - (x + 4)^2 .

  1. Factoriser K K sans développer au préalable.
  2. Développer et réduire le résultat obtenu à la question 1.
  3. Calculer la valeur de K K pour x=−4 x = -4 en utilisant la forme factorisée. Que remarque-t-on ?
Indication

Pour la question 1, repère le facteur commun aux deux termes de K K . Pour la question 3, remarque que l'un des facteurs de la forme factorisée vaut 0 pour x=−4 x = -4 . Que se passe-t-il alors pour le produit entier ?

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Solution de la question 1 :

Le facteur commun est (x+4) (x + 4) .

K=(x+4)[(2x−3)−(x+4)]=(x+4)(2x−3−x−4)=(x+4)(x−7) K = (x + 4)\big[(2x - 3) - (x + 4)\big] = (x + 4)(2x - 3 - x - 4) = (x + 4)(x - 7) Solution de la question 2 : K=x2−7x+4x−28=x2−3x−28 K = x^2 - 7x + 4x - 28 = x^2 - 3x - 28 Solution de la question 3 :

Pour x=−4 x = -4 :

K=(−4+4)(−4−7)=0×(−11)=0 K = (-4 + 4)(-4 - 7) = 0 \times (-11) = 0

Le résultat est 0 0 car le premier facteur (x+4) (x + 4) vaut 0 0 pour x=−4 x = -4 . C'est l'intérêt de la forme factorisée : elle permet de trouver immédiatement les valeurs qui annulent l'expression.

Les identités remarquables : développer et factoriser avec (a+b)2(a+b)^2, (a−b)2(a-b)^2 et (a+b)(a−b)(a+b)(a-b) (3ème)

Les identités remarquables sont trois formules fondamentales du programme de 3ème qui permettent de développer ou de factoriser instantanément certaines expressions algébriques. Elles sont également indispensables pour les calculs astucieux sans calculatrice et constituent un socle du programme du brevet des collèges. Les trois identités à maîtriser sont :

NomFormule développée
Carré d'une somme(a+b)2=a2+2ab+b2 (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
Carré d'une différence(a−b)2=a2−2ab+b2 (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
Produit de la somme par la différence(a+b)(a−b)=a2−b2 (a + b)(a - b) = a^2 - b^2

Exercice 12 : Développer à l’aide des identités remarquables

Facile

Développer les expressions suivantes en identifiant et en appliquant l'identité remarquable appropriée.

  1. A=(x+7)2 A = (x + 7)^2
  2. B=(3a−2)2 B = (3a - 2)^2
  3. C=(5x+4)(5x−4) C = (5x + 4)(5x - 4)
  4. D=(2y−1)2+(2y+1)2 D = (2y - 1)^2 + (2y + 1)^2
Indication

Pour chaque expression, identifie d'abord a a et b b , puis applique la formule correspondante. Pour la question 3, compare la structure (…)(…) (\ldots)(\ldots) à la formule (a+b)(a−b) (a+b)(a-b) . Pour la question 4, développe chaque carré séparément puis additionne.

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Solution de la question 1 :

Ici a=x a = x et b=7 b = 7 , donc (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 :

A=x2+2×x×7+72=x2+14x+49 A = x^2 + 2 \times x \times 7 + 7^2 = x^2 + 14x + 49 Solution de la question 2 :

Ici a=3a a = 3a et b=2 b = 2 , donc (a−b)2=a2−2ab+b2 (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 :

B=(3a)2−2×3a×2+22=9a2−12a+4 B = (3a)^2 - 2 \times 3a \times 2 + 2^2 = 9a^2 - 12a + 4 Solution de la question 3 :

Ici a=5x a = 5x et b=4 b = 4 , donc (a+b)(a−b)=a2−b2 (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 :

C=(5x)2−42=25x2−16 C = (5x)^2 - 4^2 = 25x^2 - 16 Solution de la question 4 : D=(4y2−4y+1)+(4y2+4y+1)=8y2+2 D = (4y^2 - 4y + 1) + (4y^2 + 4y + 1) = 8y^2 + 2

Remarque : les termes en y y s'annulent.

Exercice 13 : Factoriser à l’aide des identités remarquables

Moyen

Factoriser les expressions suivantes en reconnaissant l'identité remarquable utilisée.

  1. A=x2−49 A = x^2 - 49
  2. B=4a2−12a+9 B = 4a^2 - 12a + 9
  3. C=9x2+6x+1 C = 9x^2 + 6x + 1
  4. D=25y2−64 D = 25y^2 - 64
Indication

Pour les expressions de la forme a2−b2 a^2 - b^2 , on utilise (a+b)(a−b) (a+b)(a-b) . Pour celles de la forme a2±2ab+b2 a^2 \pm 2ab + b^2 , on reconnaît un carré parfait. Commence par vérifier si les termes du 2ème degré et la constante sont des carrés parfaits.

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Solution de la question 1 :

A=x2−49=x2−72 A = x^2 - 49 = x^2 - 7^2 . C'est une différence de deux carrés.

A=(x+7)(x−7) A = (x + 7)(x - 7) Solution de la question 2 :

B=4a2−12a+9=(2a)2−2×2a×3+32 B = 4a^2 - 12a + 9 = (2a)^2 - 2 \times 2a \times 3 + 3^2 . C'est un carré d'une différence.

B=(2a−3)2 B = (2a - 3)^2 Solution de la question 3 :

C=9x2+6x+1=(3x)2+2×3x×1+12 C = 9x^2 + 6x + 1 = (3x)^2 + 2 \times 3x \times 1 + 1^2 . C'est un carré d'une somme.

C=(3x+1)2 C = (3x + 1)^2 Solution de la question 4 :

D=25y2−64=(5y)2−82 D = 25y^2 - 64 = (5y)^2 - 8^2 . C'est une différence de deux carrés.

D=(5y+8)(5y−8) D = (5y + 8)(5y - 8)

Exercice 14 : Calcul astucieux avec les identités remarquables

Difficile

Les identités remarquables permettent de réaliser certains calculs numériques sans calculatrice, de manière élégante.

  1. Calculer 1032 103^2 en utilisant l'identité (a+b)2 (a + b)^2 avec a=100 a = 100 et b=3 b = 3 .
  2. Calculer 982 98^2 en utilisant l'identité (a−b)2 (a - b)^2 avec a=100 a = 100 et b=2 b = 2 .
  3. Calculer 51×49 51 \times 49 en reconnaissant une identité remarquable.
  4. Montrer que 20252−2024×2026=1 2025^2 - 2024 \times 2026 = 1 sans calculatrice.
Indication

Pour les questions 1 et 2, décompose le nombre en une somme ou différence de deux termes pratiques. Pour la question 3, écris 51×49=(50+1)(50−1) 51 \times 49 = (50 + 1)(50 - 1) . Pour la question 4, pose n=2025 n = 2025 et exprime 2024 2024 et 2026 2026 en fonction de n n .

Voir le corrigé
Solution de la question 1 : 1032=(100+3)2=1002+2×100×3+32=10 000+600+9=10 609 103^2 = (100 + 3)^2 = 100^2 + 2 \times 100 \times 3 + 3^2 = 10\,000 + 600 + 9 = 10\,609 Solution de la question 2 : 982=(100−2)2=1002−2×100×2+22=10 000−400+4=9 604 98^2 = (100 - 2)^2 = 100^2 - 2 \times 100 \times 2 + 2^2 = 10\,000 - 400 + 4 = 9\,604 Solution de la question 3 : 51×49=(50+1)(50−1)=502−12=2 500−1=2 499 51 \times 49 = (50 + 1)(50 - 1) = 50^2 - 1^2 = 2\,500 - 1 = 2\,499 Solution de la question 4 :

On pose n=2025 n = 2025 . Alors 2024=n−1 2024 = n - 1 et 2026=n+1 2026 = n + 1 .

20252−2024×2026=n2−(n−1)(n+1)=n2−(n2−1)=n2−n2+1=1 2025^2 - 2024 \times 2026 = n^2 - (n-1)(n+1) = n^2 - (n^2 - 1) = n^2 - n^2 + 1 = 1

Le résultat est bien 1 1 , quel que soit n n .

Développer, factoriser et résoudre : exercices de synthèse niveau brevet (3ème)

Ces exercices de synthèse combinent développement, réduction, factorisation et parfois résolution d'équations. Ils correspondent au niveau des exercices de calcul littéral que l'on rencontre lors du brevet des collèges. Chaque exercice mobilise plusieurs compétences à la fois et entraîne à une démarche structurée et rigoureuse.

Exercice 15 : Démontrer l’égalité de deux formes d’une expression

Moyen

On considère l'expression P=(x+3)2−(x−3)2 P = (x + 3)^2 - (x - 3)^2 .

  1. Développer et réduire P P .
  2. Factoriser P P à l'aide d'une identité remarquable sans développer. (Indication : P P est de la forme A2−B2 A^2 - B^2 où A=x+3 A = x+3 et B=x−3 B = x-3 .)
  3. Montrer que les deux formes obtenues aux questions 1 et 2 sont équivalentes.
  4. En déduire la valeur de P P pour x=50 x = 50 sans calculatrice.
Indication

Pour la question 1, développe chaque carré séparément. Pour la question 2, applique A2−B2=(A+B)(A−B) A^2 - B^2 = (A+B)(A-B) avec A=x+3 A = x + 3 et B=x−3 B = x - 3 . Développe ensuite (A+B) (A + B) et (A−B) (A - B) et simplifie. Pour la question 4, utilise la forme la plus simple à calculer.

Voir le corrigé
Solution de la question 1 : (x+3)2=x2+6x+9 (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9 (x−3)2=x2−6x+9 (x-3)^2 = x^2 - 6x + 9 P=(x2+6x+9)−(x2−6x+9)=12x P = (x^2 + 6x + 9) - (x^2 - 6x + 9) = 12x Solution de la question 2 :

On a A=x+3 A = x + 3 et B=x−3 B = x - 3 , donc :

P=(A+B)(A−B)=[(x+3)+(x−3)][(x+3)−(x−3)]=(2x)(6)=12x P = (A+B)(A-B) = \big[(x+3)+(x-3)\big]\big[(x+3)-(x-3)\big] = (2x)(6) = 12x Solution de la question 3 :

Les deux méthodes donnent P=12x P = 12x . Les formes sont bien équivalentes.

Solution de la question 4 : P(50)=12×50=600 P(50) = 12 \times 50 = 600

Exercice 16 : Développer, factoriser et résoudre une équation-produit

Difficile

On considère l'expression Q=(2x−5)(x+3)−(2x−5)2 Q = (2x - 5)(x + 3) - (2x - 5)^2 .

  1. Factoriser Q Q sans développer au préalable.
  2. Développer et réduire Q Q à partir de la forme factorisée obtenue.
  3. Résoudre l'équation Q=0 Q = 0 en utilisant la forme factorisée.
Indication

Pour la question 1, le facteur commun est (2x−5) (2x - 5) . Pour la question 3, rappelle-toi qu'un produit de deux facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des deux facteurs est nul : résoudre Q=0 Q = 0 revient donc à résoudre deux équations simples séparément.

Voir le corrigé
Solution de la question 1 :

Le facteur commun est (2x−5) (2x - 5) .

Q=(2x−5)[(x+3)−(2x−5)]=(2x−5)(x+3−2x+5)=(2x−5)(−x+8) Q = (2x-5)\big[(x+3) - (2x-5)\big] = (2x-5)(x + 3 - 2x + 5) = (2x-5)(-x + 8) Solution de la question 2 : Q=−2x2+16x+5x−40=−2x2+21x−40 Q = -2x^2 + 16x + 5x - 40 = -2x^2 + 21x - 40 Solution de la question 3 :

On résout Q=0 Q = 0 , soit (2x−5)(−x+8)=0 (2x - 5)(-x + 8) = 0 .

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul :

2x−5=0  ⟹  x=52 2x - 5 = 0 \implies x = \frac{5}{2} −x+8=0  ⟹  x=8 -x + 8 = 0 \implies x = 8

Les solutions de l'équation Q=0 Q = 0 sont x=52 x = \dfrac{5}{2} et x=8 x = 8 .

Exercice 17 : Problème ouvert – Aire d’une figure et calcul littéral

Difficile

Un grand carré de côté (3x+1) (3x + 1) cm contient, dans son coin supérieur gauche, un petit carré de côté x x cm qui est découpé et retiré. On suppose que x>0 x > 0 et 3x+1>x 3x + 1 > x , c'est-à-dire que le petit carré tient bien à l'intérieur du grand.

  1. Exprimer en fonction de x x l'aire de la surface restante après découpage. Développer et réduire l'expression obtenue.
  2. Pour quelle valeur de x x l'aire restante est-elle égale à 64 64 cm² ? Résoudre l'équation correspondante.
  3. Vérifier que la valeur trouvée est cohérente avec les contraintes du problème (x>0 x > 0 et le petit carré doit tenir dans le grand).
Indication

L'aire du grand carré se calcule avec (3x+1)2 (3x+1)^2 . Développe ce carré avec l'identité remarquable appropriée, puis soustrais x2 x^2 . Tu obtiendras un polynôme en x x . Pour la question 2, égale ce polynôme à 64, réarrange pour obtenir une équation du 2ème degré, puis essaie de le résoudre en factorisant ou en cherchant des racines entières simples.

Voir le corrigé
Solution de la question 1 :

Aire du grand carré : (3x+1)2=9x2+6x+1 (3x+1)^2 = 9x^2 + 6x + 1 .

Aire du petit carré découpé : x2 x^2 .

Aire restante=(9x2+6x+1)−x2=8x2+6x+1 \text{Aire restante} = (9x^2 + 6x + 1) - x^2 = 8x^2 + 6x + 1 Solution de la question 2 :

On résout 8x2+6x+1=64 8x^2 + 6x + 1 = 64 .

8x2+6x+1−64=0  ⟹  8x2+6x−63=0 8x^2 + 6x + 1 - 64 = 0 \implies 8x^2 + 6x - 63 = 0

On cherche deux facteurs : 8x2+6x−63=(2x−3)(4x+21) 8x^2 + 6x - 63 = (2x - 3)(4x + 21) .

Vérification : 8x2+42x−12x−63=8x2+30x−63 8x^2 + 42x - 12x - 63 = 8x^2 + 30x - 63 . Ce produit ne convient pas ; on résout par la méthode du discriminant :

Δ=62+4×8×63=36+2016=2052 \Delta = 6^2 + 4 \times 8 \times 63 = 36 + 2016 = 2052 2052=4×513=2513≈45,3 \sqrt{2052} = \sqrt{4 \times 513} = 2\sqrt{513} \approx 45{,}3 x=−6+251316≈−6+45,316≈39,316≈2,46 cm x = \frac{-6 + 2\sqrt{513}}{16} \approx \frac{-6 + 45{,}3}{16} \approx \frac{39{,}3}{16} \approx 2{,}46 \text{ cm}

(La solution négative est rejetée car x>0 x > 0 .)

Solution de la question 3 :

On vérifie : x≈2,46>0✓ x \approx 2{,}46 > 0 \checkmark . Le grand carré a un côté 3×2,46+1≈8,38 3 \times 2{,}46 + 1 \approx 8{,}38 cm, supérieur à x≈2,46 x \approx 2{,}46 cm \checkmark. Les conditions sont bien respectées.

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