L’addition et la soustraction des nombres relatifs en 5ème permettent de calculer une température après plusieurs variations, un solde après gains et dépenses ou une position après des déplacements opposés. Les signes indiquent des directions ; les distances à zéro indiquent les amplitudes.
Au lieu d’apprendre des phrases isolées, ce cours utilise une droite graduée et une méthode de décision. Nous verrons ensuite pourquoi soustraire revient à ajouter l’opposé, puis comment simplifier une suite d’opérations sans perdre les signes.
Ajouter, c’est enchaîner deux déplacements
On part du premier nombre sur une droite graduée. Ajouter un nombre positif fait avancer vers la droite ; ajouter un nombre négatif fait avancer vers la gauche. Le point d’arrivée donne la somme.
Cette interprétation réutilise la droite et l’opposé définis dans le cours sur les nombres relatifs en 5ème. Elle permet de retrouver la règle si un doute apparaît.
Deux nombres de même signe : réunir les distances
Somme de même signe
Pour additionner deux nombres de même signe, on additionne leurs distances à zéro et on conserve leur signe commun.
Dans le second calcul, les deux déplacements vont vers la gauche : quatre unités puis sept unités. On se retrouve à onze unités à gauche de zéro. Le résultat négatif vient donc du sens commun des déplacements, pas d’un slogan arbitraire.
Deux signes différents : comparer les amplitudes
Somme de signes contraires
Pour additionner deux nombres de signes contraires, on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande. Le résultat prend le signe du nombre qui possède la plus grande distance à zéro.
| Calcul | Distances | Différence | Signe |
|---|---|---|---|
| \(-9+4\) | \(9\) et \(4\) | \(9-4=5\) | \(-5\) |
| \(12+(-7)\) | \(12\) et \(7\) | \(12-7=5\) | \(5\) |
| \(-6+6\) | \(6\) et \(6\) | \(0\) | \(0\) |
Le cas des opposés est immédiat : les déplacements ont même longueur et directions contraires, donc ils se compensent exactement. La somme de deux opposés est nulle.
Erreur fréquente : ne pas décider le signe en regardant seulement le premier nombre. Dans \(-3+10\), le déplacement positif est plus long ; le résultat vaut \(7\).
Soustraire un relatif : ajouter son opposé
Transformation d’une soustraction
Soustraire un nombre relatif revient à additionner son opposé : pour tous nombres \(a\) et \(b\), \(a-b=a+(-b)\).
Cette transformation remplace une opération moins familière par l’addition déjà maîtrisée. Elle comporte deux étapes distinctes : remplacer le signe de soustraction par \(+\), puis remplacer le second nombre par son opposé.
Erreur fréquente : dans \(5-(-3)\), les deux signes moins n’ont pas été « multipliés ». Le premier est l’opération soustraire ; le second appartient au nombre \(-3\). On ajoute ensuite l’opposé \(+3\).
Une procédure stable pour chaque calcul
- Repérer l’opération : addition ou soustraction.
- S’il y a une soustraction, la transformer en addition de l’opposé.
- Observer les signes des deux nombres désormais additionnés.
- Choisir : additionner les distances si les signes sont identiques, les soustraire sinon.
- Attribuer le signe en suivant la direction commune ou la plus grande distance.
La ligne intermédiaire \(+(13-8)\) n’est pas obligatoire, mais elle rend le choix du signe transparent pendant l’apprentissage.
Calculer une suite de sommes et de différences
Pour une expression longue, on transforme d’abord toutes les soustractions en additions. On peut ensuite regrouper les termes positifs entre eux et les termes négatifs entre eux, car l’addition est commutative et associative.
Le regroupement n’est permis qu’après avoir remplacé les soustractions par des additions. Déplacer un terme sans emporter son signe change la valeur de l’expression.
Contrôler le résultat par le sens de la situation
Une température de \(-2\,^\circ\text{C}\) qui baisse de \(6\,^\circ\text{C}\) doit devenir plus petite : \(-2-6=-8\). Si un calcul donne \(4\), le contexte révèle immédiatement l’erreur de direction.
Un compte à \(-15\,€\) reçoit un versement de \(22\,€\). La valeur doit se rapprocher de zéro puis devenir positive, car le versement dépasse la dette : \(-15+22=7\). Formuler cette évolution avant de calculer donne un contrôle qualitatif.
Astuce : estimer le côté de zéro où devrait se trouver le résultat avant d’appliquer la règle. Cette prévision détecte beaucoup d’erreurs de signe.
Ne pas confondre les règles d’addition avec celles du produit
Pour une addition, les signes ne se « multiplient » pas. On compare les directions et les distances. Les règles « plus par moins donne moins » concernent la multiplication, notion qui sera abordée plus tard dans le cycle.
Les priorités restent actives lorsqu’une expression mélange plusieurs opérations. Dans \(3+(-2)\times5\), le produit doit être effectué avant l’addition. Les principes du calcul numérique et des priorités opératoires encadrent donc aussi les relatifs.
Journal de température sur quatre variations
À \(6\) h, la température est \(-4\,^\circ\text{C}\). Elle augmente de \(7,5\,^\circ\text{C}\), baisse de \(3\,^\circ\text{C}\), augmente de \(1,5\,^\circ\text{C}\), puis baisse de \(6\,^\circ\text{C}\). Les variations s’écrivent comme une somme de relatifs.
La température finale est égale à la température initiale : les variations positives totalisent \(9\) degrés et les variations négatives \(-9\) degrés. Cette lecture globale contrôle le calcul.
On peut aussi suivre chronologiquement la situation : \(3,5\), puis \(0,5\), puis \(2\), puis \(-4\). Les deux organisations sont correctes, mais le regroupement révèle la compensation.
Corriger une suite de signes sans deviner
Dans \(8-(-5)+(-3)-(+7)\), chaque parenthèse contient un nombre signé et chaque signe extérieur une opération. On transforme uniquement les soustractions :
Supprimer toutes les parenthèses d’un seul geste favorise les erreurs. Il est préférable de lire « soustraire moins cinq » puis « soustraire plus sept », et d’écrire les opposés obtenus.
Le contrôle par estimation indique que les gains \(8+5=13\) dépassent les pertes \(3+7=10\) de trois unités : le résultat doit être positif et proche de zéro.
Addition et soustraction des nombres relatifs 5ème : l’essentiel à retenir
L’addition et la soustraction des nombres relatifs en 5ème reposent sur une idée géométrique : combiner des déplacements orientés. Même signe, on réunit les distances ; signes contraires, on compare les amplitudes ; pour soustraire, on ajoute l’opposé.
Cette construction progressive suit le programme officiel de mathématiques du cycle 4 et prépare les calculs algébriques où des nombres positifs et négatifs apparaissent dans la même expression.