Divisibilité et congruences Terminale : 12 exercices corrigés

Le cours de Divisibilité et congruences est mis en pratique dès la division euclidienne, puis chaque congruence modulo n est interprétée comme une classe de restes.

La série relie cycle de puissances, inverse modulaire, équation de congruence et test de divisibilité, notamment dans les situations où une simplification ferait perdre des solutions.

Restes et calcul modulaire

Réduire sans perdre le sens du module.

Exercice 1 : Divisions euclidiennes

Facile

Effectuer les divisions demandées.

  1. Diviser 347 par 12.
  2. Diviser -37 par 5 avec un reste positif.
Voir le corrigé
  1. 347=12×28+11347=12\times28+11.
  2. −37=5×(−8)+3-37=5\times(-8)+3.

Exercice 2 : Compatibilité des opérations

Facile

On travaille modulo 7.

  1. Réduire 38+4538+45.
  2. Réduire 38×4538\times45.
Voir le corrigé
  1. 38+45≡3+3≡6(mod7)38+45\equiv3+3\equiv6\pmod7.
  2. 38×45≡3×3≡2(mod7)38\times45\equiv3\times3\equiv2\pmod7.

Exercice 3 : Cycle de puissances

Moyen

Déterminer le dernier chiffre de 72027^{202}.

  1. Établir le cycle modulo 10.
  2. Conclure.
Voir le corrigé
  1. Les restes sont 7, 9, 3, 1, puis le cycle recommence.
  2. 202≡2(mod4)202\equiv2\pmod4, donc 7202≡9(mod10)7^{202}\equiv9\pmod{10}.

Exercice 4 : Deux derniers chiffres

Difficile

Calculer 31003^{100} modulo 100.

  1. Calculer 3203^{20} modulo 100.
  2. En déduire 31003^{100}.
  3. Donner les deux derniers chiffres de 31003^{100}.
Indication
Chercher une puissance qui devient congrue à 1.
Voir le corrigé
  1. 310=59049≡493^{10}=59049\equiv49, donc 320≡492≡1(mod100)3^{20}\equiv49^2\equiv1\pmod{100}.
  2. 3100=(320)5≡1(mod100)3^{100}=(3^{20})^5\equiv1\pmod{100}.
  3. Le reste 1 modulo 100 s'écrit 01 : les deux derniers chiffres sont 01.

Équations et inverses

Vérifier les conditions avant de simplifier.

Exercice 5 : Congruence linéaire inversible

Moyen

Résoudre 5x≡3(mod7)5x\equiv3\pmod7.

  1. Trouver l'inverse de 5 modulo 7.
  2. Donner la classe solution.
Voir le corrigé
  1. 5×3=15≡1(mod7)5\times3=15\equiv1\pmod7, donc l'inverse est 3.
  2. x≡3×3≡2(mod7)x\equiv3\times3\equiv2\pmod7.

Exercice 6 : Plusieurs classes solutions

Moyen

Résoudre 6x≡9(mod15)6x\equiv9\pmod{15}.

  1. Vérifier la condition d'existence.
  2. Réduire puis donner les solutions modulo 15.
Voir le corrigé
  1. gcd⁡(6,15)=3\gcd(6,15)=3 divise 9.
  2. On obtient 2x≡3(mod5)2x\equiv3\pmod5, donc x≡4(mod5)x\equiv4\pmod5, soit x≡4,9,14(mod15)x\equiv4,9,14\pmod{15}.

Exercice 7 : Test de divisibilité

Moyen

Soit N un entier dont la somme des chiffres vaut S.

  1. Montrer que N≡S(mod9)N\equiv S\pmod9.
  2. En déduire le critère de divisibilité par 9.
Voir le corrigé
  1. Chaque puissance de 10 est congrue à 1 modulo 9, donc la somme pondérée des chiffres est congrue à S.
  2. 9 divise N si et seulement si 9 divise S.

Exercice 8 : Simplification interdite

Difficile

Comparer 2x≡2(mod6)2x\equiv2\pmod6 et x≡1(mod6)x\equiv1\pmod6.

  1. Résoudre la première congruence.
  2. Expliquer pourquoi diviser par 2 modulo 6 est incorrect.
  3. Donner la condition qui autoriserait la simplification.
Indication
Tester les classes modulo 6 avant toute division.
Voir le corrigé
  1. Elle équivaut à x≡1(mod3)x\equiv1\pmod3, donc x≡1x\equiv1 ou 4(mod6)4\pmod6.
  2. 2 n'est pas inversible modulo 6 ; la division ferait perdre la classe x≡4x\equiv4.
  3. Le facteur simplifié doit être premier avec le module.

Raisonner par classes

Traiter un nombre fini de restes et justifier qu'ils sont exhaustifs.

Exercice 9 : Carrés modulo 8

Moyen

Résoudre x2≡1(mod8)x^2\equiv1\pmod8.

  1. Tester les huit classes modulo 8.
  2. Donner toutes les classes solutions.
Voir le corrigé
  1. Les carrés des classes 0 à 7 sont congrus à 0, 1 ou 4 modulo 8.
  2. Les classes impaires conviennent : x≡1,3,5x\equiv1,3,5 ou 7(mod8)7\pmod8.

Exercice 10 : Deux congruences compatibles

Moyen

Résoudre simultanément x≡2(mod3)x\equiv2\pmod3 et x≡3(mod5)x\equiv3\pmod5.

  1. Écrire x=2+3kx=2+3k et traduire la seconde congruence.
  2. Déterminer k puis x.
Indication
Substituer une première congruence dans la seconde.
Voir le corrigé
  1. On obtient 2+3k≡3(mod5)2+3k\equiv3\pmod5, donc 3k≡1(mod5)3k\equiv1\pmod5.
  2. Comme 3−1≡2(mod5)3^{-1}\equiv2\pmod5, k≡2(mod5)k\equiv2\pmod5, d'où x≡8(mod15)x\equiv8\pmod{15}.

Exercice 11 : Critère de divisibilité par 11

Difficile

Un entier N a pour chiffres a0,a1,…,ama_0,a_1,\ldots,a_m, de droite à gauche.

  1. Réduire 10k10^k modulo 11.
  2. Exprimer N modulo 11.
  3. Énoncer le critère obtenu.
Indication
Remplacer chaque puissance de 10 par 1 ou -1 selon la parité de l'exposant.
Voir le corrigé
  1. Comme 10≡−1(mod11)10\equiv-1\pmod{11}, on a 10k≡(−1)k(mod11)10^k\equiv(-1)^k\pmod{11}.
  2. N≡a0−a1+a2−a3+⋯+(−1)mam(mod11)N\equiv a_0-a_1+a_2-a_3+\cdots+(-1)^ma_m\pmod{11}.
  3. N est divisible par 11 si et seulement si la somme alternée de ses chiffres est divisible par 11.

Exercice 12 : Suite périodique modulo 5

Difficile

La suite vérifie u0=1u_0=1 et un+1=2un+1u_{n+1}=2u_n+1.

  1. Calculer les cinq premiers restes modulo 5.
  2. Justifier la périodicité à partir du retour à 1.
  3. Déterminer u2026u_{2026} modulo 5.
Indication
Un retour au même reste dans une récurrence déterministe relance le même cycle.
Voir le corrigé
  1. On obtient successivement 1,3,2,0,11,3,2,0,1.
  2. La relation détermine entièrement le reste suivant. Le retour au reste initial entraîne un cycle de période 4.
  3. Comme 2026≡2(mod4)2026\equiv2\pmod4, u2026≡u2≡2(mod5)u_{2026}\equiv u_2\equiv2\pmod5.
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