Loi binomiale Terminale : schéma de Bernoulli

Une loi binomiale ne s'applique pas dès qu'un problème répète une expérience. Il faut des épreuves identiques, indépendantes et réduites à deux issues, puis définir la variable qui compte le nombre de succès.

Cette modélisation relie les arbres de probabilités au dénombrement. Un coefficient binomial compte les positions possibles des succès ; chaque chemin ayant le même nombre de succès possède la même probabilité.

Table des Matières

Reconnaître une épreuve de Bernoulli

Succès et échec

Une épreuve de Bernoulli possède deux issues : un succès de probabilité p et un échec de probabilité $1-p$ . La variable qui vaut 1 en cas de succès et 0 sinon suit la loi de Bernoulli de paramètre p.

Les mots succès et échec sont des conventions, pas des jugements. Le succès peut être « obtenir un produit défectueux ». La première étape consiste à nommer l'événement et à calculer sa probabilité avec les données réelles de l'énoncé.

Passer à une succession indépendante

Schéma de Bernoulli

Un schéma de Bernoulli de paramètres n et p est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

L'indépendance signifie que le résultat d'une épreuve ne modifie pas les probabilités des suivantes. Un tirage avec remise peut la justifier ; un tirage sans remise ne fournit généralement pas le même modèle. Un arbre reste utile pour deux ou trois répétitions, puis la formule binomiale évite son explosion.

Construire la probabilité binomiale

Loi du nombre de succès

Si X compte les succès dans un schéma de Bernoulli de paramètres n et p, alors $X\sim\mathcal B(n,p)$ et, pour $0\leq k\leq n$ , $P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}$ .

Le facteur $p^k(1-p)^{n-k}$ est la probabilité d'un chemin particulier contenant k succès. Le coefficient $\binom nk$ compte les choix des k positions de ces succès. Cette justification évite de permuter les exposants ou d'oublier le coefficient.

P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}

Choisir entre exactement, au plus et au moins

Expression	Événement
exactement k	$X=k$
au plus k	$X\leq k$
au moins k	$X\geq k$
plus de k	$X\gt k$
aucun	$X=0$

Pour « au moins un succès », le complément est souvent plus court : $P(X\geq1)=1-P(X=0)$ . Pour un intervalle de valeurs, on additionne les probabilités ponctuelles ou on utilise directement la fonction cumulative de la calculatrice, en traduisant d'abord la phrase en événement.

Chemins de trois épreuves de Bernoulli — Les chemins ayant deux succès sont regroupés par le coefficient binomial.

Contrôles indépendants de produits

On contrôle 10 produits indépendamment, chacun ayant une probabilité 0,05 d'être défectueux. Si X compte les produits défectueux, les hypothèses donnent $X\sim\mathcal B(10;0,05)$ . La probabilité d'en avoir exactement deux est $\binom{10}{2}(0,05)^2(0,95)^8\approx0,0746$ . Pour au moins un, le complément évite neuf termes : $P(X\geq1)=1-(0,95)^{10}\approx0,4013$ . Le résultat concerne ce lot aléatoire et ne garantit pas un produit défectueux à chaque contrôle.

Espérance, variance et interprétation

Indicateurs de la loi binomiale

Si $X\sim\mathcal B(n,p)$ , alors $E(X)=np$ , $V(X)=np(1-p)$ et $\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}$ .

L'espérance est le nombre moyen de succès sur une longue série de répétitions du protocole, pas une valeur garantie lors d'une expérience. Elle peut être non entière. La variance et l'écart-type mesurent la dispersion autour de cette moyenne et préparent les inégalités de concentration.

Rédiger une modélisation complète

Définir précisément le succès et calculer p.
Justifier le nombre n d'épreuves identiques et leur indépendance.
Définir X comme le nombre de succès et annoncer sa loi avec ses paramètres.
Traduire la question en événement sur X.
Calculer, arrondir seulement à la fin et interpréter la probabilité.

Erreur fréquente : annoncer une loi binomiale sans justifier l'indépendance ni la constance de p.

Contrôle utile : vérifier que la probabilité finale appartient à [0,1] et comparer son ordre de grandeur à l'espérance np.

La formule s'explique par la combinatoire et les coefficients binomiaux. La modélisation prolonge l'indépendance étudiée en Première. La variance prépare la concentration autour de la moyenne.

Les hypothèses et indicateurs utilisés sont ceux de le programme officiel de Terminale, spécialité mathématiques.