Probabilités conditionnelles Première : cours

Les probabilités conditionnelles en Première mettent à jour le modèle lorsqu'une information est connue. La probabilité de B sachant A se calcule dans l'univers restreint à A, ce qui change le dénominateur.

Les arbres pondérés organisent les probabilités successives et la formule des probabilités totales additionne des chemins incompatibles. L'indépendance exprime l'absence d'influence dans le modèle, pas une simple incompatibilité.

Table des Matières

Définir une probabilité conditionnelle

Probabilité sachant un événement

Pour $P(A)\neq0$ , la probabilité de $B$ sachant $A$ est $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ . Elle mesure la part de $A$ qui appartient aussi à $B$ . Inverser $A$ et $B$ change généralement le résultat.

Interpréter un test et les faux positifs

Une maladie touche 2 % d'une population. Un test est positif chez 95 % des malades et chez 4 % des non-malades. On cherche la probabilité d'être malade parmi les tests positifs.

$P(M)=0{,}02$ , $P_M(T)=0{,}95$ et $P_{\overline M}(T)=0{,}04$ .
$P(M\cap T)=0{,}02\times0{,}95=0{,}019$ .
$P(T)=0{,}019+0{,}98\times0{,}04=0{,}0582$ .
$P_T(M)=\frac{0{,}019}{0{,}0582}\approx0{,}326$ .
Un test positif ne signifie donc pas ici une probabilité de maladie de 95 %.

Construire un arbre à partir d’une situation

Choisir la première partition en fonction de l'information disponible.
Nommer clairement chaque événement et son contraire.
Placer les probabilités simples au premier niveau et les conditionnelles ensuite.
Multiplier pour une intersection, puis additionner les chemins correspondant à l'événement demandé.
Relire la question pour distinguer B sachant A de A sachant B.

Lire un arbre pondéré et les probabilités totales

Branches, produits et sommes

Sur un arbre, les probabilités issues d'un même nœud somment à 1, on multiplie le long d'un chemin et on additionne des chemins incompatibles. Une partition de l'univers permet d'exprimer $P(B)$ comme somme des probabilités des intersections avec $B$ .

P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)},\qquad P(B)=\sum_i P(A_i)P_{A_i}(B).

Passer d’un tableau croisé à un arbre

Un tableau d'effectifs montre directement les intersections et les totaux de ligne ou de colonne. En divisant par le total pertinent, on obtient une conditionnelle. L'arbre réorganise les mêmes données selon l'ordre du conditionnement.

Arbre de probabilités conditionnelles — Sur un arbre pondéré, on multiplie le long d'un chemin et on additionne les chemins correspondant au même événement.

Caractériser l’indépendance de deux événements

Deux critères d’indépendance

Si $A$ et $B$ sont indépendants, connaître $A$ ne change pas la probabilité de $B$ : $P_A(B)=P(B)$ . En multipliant par $P(A)$ , on obtient $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ . Cette relation symétrique sert de critère de calcul.

Éviter les inversions dans les diagnostics et enquêtes

Les situations de dépistage, contrôle qualité et sélection rendent visible la différence entre $P(T\mid M)$ et $P(M\mid T)$ . Les probabilités totales reconstruisent une proportion globale à partir de sous-populations.

Les arbres et inversions de conditionnement sont développés dans le cours complet de probabilités conditionnelles. Les résultats numériques des expériences conduisent à les variables aléatoires.

Le périmètre de cette leçon suit le programme officiel de mathématiques du niveau dans le cadre de probabilités conditionnelles Première. Les prolongements signalés servent directement à éviter les inversions dans les diagnostics et enquêtes.

Respecter l’ordre des conditions

Erreur fréquente : des événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont pas indépendants : si l'un se réalise, l'autre devient impossible.

Contrôle utile : sur chaque nœud, vérifier une somme égale à 1 ; sur chaque conditionnelle, identifier explicitement l'univers devenu dénominateur.