Représentations paramétriques et équations cartésiennes Terminale

Construire la représentation paramétrique d’une droite

Construire la droite à partir de deux points

Si $A(1;-1;2)$ et $B(3;0;-2)$, alors $\overrightarrow{AB}=(2;1;-4)$ est un vecteur directeur de la droite (AB). Une représentation est donc $x=1+2t$, $y=-1+t$, $z=2-4t$, avec $t\in\mathbb R$. Le point B est retrouvé pour $t=1$, ce qui fournit un contrôle immédiat.

Une droite possède une infinité de représentations paramétriques. On peut partir d'un autre point de la droite, remplacer son directeur par un multiple non nul ou effectuer un changement de paramètre. Les écritures obtenues décrivent alors le même ensemble de points.

Construire l’équation cartésienne d’un plan

Déterminer la constante et vérifier l’équation

Pourquoi cette équation décrit-elle exactement le plan ? Dans un repère orthonormé, $\vec n\cdot\overrightarrow{AM}=a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)$. L'orthogonalité équivaut donc à $ax+by+cz+d=0$, avec $d=-ax_A-by_A-cz_A$. Ce n'est pas seulement une condition nécessaire : tout point vérifiant l'équation a son vecteur $\overrightarrow{AM}$ orthogonal à la normale et appartient au plan passant par A perpendiculaire à cette normale.

Réciproquement, si $(a;b;c)\neq(0;0;0)$, l'ensemble défini par $ax+by+cz+d=0$ est bien un plan. Si, par exemple, $a\neq0$, le point $A(-d/a;0;0)$ vérifie l'équation, qui se réécrit $\vec n\cdot\overrightarrow{AM}=0$. On procède avec b ou c si nécessaire. Lorsque les trois coefficients sont nuls, on obtient tout l'espace si $d=0$, ou l'ensemble vide sinon, jamais un plan.

Le plan passant par $A(1;-2;0)$ et normal à $\vec n=(2;-1;3)$ a une équation de la forme $2x-y+3z+d=0$. Les coordonnées de A donnent $2+2+d=0$, donc $d=-4$. On obtient $2x-y+3z-4=0$. Le contrôle porte sur deux faits : A vérifie l'équation et les coefficients de x, y et z sont les coordonnées d'un vecteur normal.

Si le plan est donné par deux directions non colinéaires $\vec u$ et $\vec v$, on peut chercher $\vec n=(a;b;c)$ en résolvant $\vec n\cdot\vec u=0$ et $\vec n\cdot\vec v=0$. Aucun produit vectoriel n'est nécessaire dans le programme visé.

Tester l’appartenance d’un point

Une même valeur du paramètre pour les trois coordonnées

Pour étudier l'appartenance d'un point à une droite, ses trois coordonnées doivent correspondre à une seule et même valeur du paramètre. Si $d$ est donnée par $x=1+2t$, $y=-1+t$, $z=2-4t$, le point $C(5;1;-6)$ appartient à d car les trois lignes conduisent à $t=2$. Deux valeurs incompatibles suffisent à prouver qu'un point n'est pas sur la droite.

Pour un plan cartésien, on substitue simplement les coordonnées du point dans le membre de gauche. La conclusion doit toujours nommer le point et l'objet étudié.

Erreur fréquente : dans l'espace, une seule équation cartésienne non triviale définit en général un plan, pas une droite. Une droite peut être décrite par un système de deux équations de plans.

Résoudre une intersection droite-plan

Substituer, résoudre, puis interpréter

Pour une intersection droite-plan, on remplace x, y et z dans l'équation du plan par les expressions de la droite. L'équation obtenue en t ne sert pas seulement à calculer : sa nature détermine la position relative.

1. résoudre l'équation en t ;
2. calculer les trois coordonnées du point si la solution est unique ;
3. remplacer le point obtenu dans la droite et dans le plan ;
4. rédiger la conclusion géométrique correspondant au nombre de solutions.

Une intersection vérifiée dans les deux objets

La droite $d:(x,y,z)=(1+t;2-t;2t)$ rencontre-t-elle le plan $\mathcal P:x+y+z-5=0$ ? La substitution donne $1+t+2-t+2t-5=0$, soit $2t-2=0$. Il existe une unique solution $t=1$. Le point d'intersection est donc $I(2;1;2)$. Il appartient à d pour ce paramètre et vérifie $2+1+2-5=0$, ce qui contrôle le résultat.

Étudier deux droites de l’espace

Comparer les directions avant de chercher un point commun

Si les vecteurs directeurs sont colinéaires, les droites sont parallèles ou confondues. On distingue les deux cas en testant si un point de l'une appartient à l'autre. Si les directions ne sont pas colinéaires, les droites peuvent être sécantes ou non coplanaires.

Employer deux paramètres indépendants

Considérons $d:(x;y;z)=(t;1+t;2t)$ et $d':(x;y;z)=(1;2;2s)$. Les directions ne sont pas colinéaires. L'égalité des coordonnées donne $t=1$, puis $1+t=2$, et enfin $2t=2s$, donc $s=1$. Les droites sont sécantes en $I(1;2;2)$. Si ce système avait été incompatible, elles auraient été non coplanaires.

Erreur fréquente : utiliser le même paramètre pour deux droites différentes impose artificiellement une relation entre leurs points. On introduit par exemple t pour la première et s pour la seconde.

Décrire une droite comme intersection de deux plans

Résoudre deux équations cartésiennes simultanément

Les plans $\mathcal P:x+y+z=3$ et $\mathcal Q:x-y+z=1$ ne sont pas parallèles. Leur soustraction donne $y=1$, puis $x+z=2$. En choisissant $x=t$, on obtient $y=1$ et $z=2-t$. Leur intersection est donc la droite $(x;y;z)=(t;1;2-t)$, dirigée par $(1;0;-1)$.

Le paramètre est libre parce que deux équations indépendantes imposent deux contraintes aux trois coordonnées. Chaque point de la droite vérifie les deux équations, ce qui doit être contrôlé après la résolution.

Construire un projeté orthogonal

Projection orthogonale sur une droite

La droite d passe par $A(1;0;0)$ et est dirigée par $\vec u=(1;1;0)$. Pour projeter $M(2;0;1)$ sur d, on écrit $H=A+t\vec u=(1+t;t;0)$, puis on impose $\overrightarrow{MH}\cdot\vec u=0$. Comme $\overrightarrow{MH}=(t-1;t;-1)$, on obtient $2t-1=0$, donc $H(3/2;1/2;0)$. Le contrôle vérifie à la fois $H\in d$ et $MH\perp d$.

Projection orthogonale sur un plan

Pour projeter $M(1;1;1)$ sur $\mathcal P:2x-y+2z-6=0$, on utilise la droite passant par M et dirigée par la normale $\vec n=(2;-1;2)$. Un point de cette droite est $H=(1+2t;1-t;1+2t)$. L'appartenance à $\mathcal P$ donne $-3+9t=0$, donc $t=1/3$ et $H(5/3;2/3;5/3)$. Le point H vérifie l'équation du plan et $\overrightarrow{MH}=\frac13\vec n$.

Contrôle utile : une projection est validée par deux preuves distinctes : le point H appartient à l'objet visé et le vecteur MH est orthogonal à toutes ses directions.

Choisir la méthode et contrôler la conclusion

Les critères de colinéarité et de coplanarité sont établis dans le cours sur les vecteurs, droites et plans. Les produits scalaires, normales et distances sont approfondis dans le cours d'orthogonalité et de distances.

Les capacités de géométrie repérée utilisées ici correspondent au le programme officiel de Terminale, spécialité mathématiques.