Orthogonalité et distances dans l'espace Terminale

Dans l'espace, dire qu'une droite est perpendiculaire à une autre ne suffit pas pour la rendre perpendiculaire à tout un plan. La métrique exige des critères précis, car les objets peuvent appartenir à des plans différents et le dessin en perspective déforme les angles.

Le produit scalaire transforme les questions d'angle et d'orthogonalité en calculs de coordonnées. Le projeté orthogonal relie ensuite ce calcul à la distance minimale entre un point et une droite ou un plan.

Table des Matières

Produit scalaire et norme dans un repère orthonormé

Produit scalaire de deux vecteurs

Dans une base orthonormée, si $\vec u=(x,y,z)$ et $\vec v=(x',y',z')$ , alors $\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz'$ . La norme vérifie $\|\vec u\|=\sqrt{\vec u\cdot\vec u}$ .

\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz',\qquad AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}

Les propriétés de bilinéarité et de symétrie restent celles connues dans le plan. Le calcul par coordonnées est fiable seulement dans une base orthonormée ; dans une base quelconque, la somme des produits de coordonnées ne représente pas automatiquement le produit scalaire.

Reconnaître une orthogonalité

Critère vectoriel

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Une droite est perpendiculaire à un plan si son vecteur directeur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de la direction du plan.

Pour montrer que deux droites sont orthogonales, on compare leurs vecteurs directeurs. Cela ne signifie pas forcément qu'elles se coupent ; elles sont perpendiculaires lorsqu'elles sont aussi sécantes. En revanche, une droite dirigée par un vecteur normal non nul à un plan le coupe nécessairement en un unique point. Il n'est donc pas nécessaire d'ajouter une hypothèse d'intersection au critère droite-plan.

Vecteur normal et équation d’un plan

Direction normale

Un vecteur non nul $\vec n$ est normal à un plan s'il est orthogonal à tous les vecteurs de sa direction. Deux vecteurs non colinéaires du plan suffisent pour effectuer la vérification.

Si un plan est décrit par $ax+by+cz+d=0$ , alors $(a,b,c)$ est un vecteur normal. Réciproquement, un point A et un vecteur normal non nul déterminent un unique plan. Cette correspondance sera exploitée systématiquement dans le chapitre sur les équations cartésiennes.

Projection orthogonale et distance minimale

Le point le plus proche

Le projeté orthogonal H d'un point M sur un plan est le point du plan le plus proche de M. Pour tout point N du plan, le triangle MHN est rectangle en H, donc MN est supérieur ou égal à MH.

Pour calculer une distance point-plan, on cherche H à la fois sur le plan et sur la droite passant par M, dirigée par un vecteur normal. Une fois H déterminé, la distance vaut MH. La formule directe $\frac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ peut servir de contrôle, mais la construction du projeté explique son sens.

Projeté orthogonal sur un plan — Le segment MH suit une direction normale au plan et réalise la distance minimale.

Calculer le pied d’une perpendiculaire

Soit $M(1;0;0)$ et le plan $\mathcal P:x+2y+2z-4=0$ . La normale est $\vec n=(1;2;2)$ . Un point de la perpendiculaire par M est $H=(1+t;2t;2t)$ . Pour appartenir au plan, il doit vérifier $1+9t-4=0$ , donc $t=1/3$ . On obtient $H(4/3;2/3;2/3)$ . Comme $\overrightarrow{MH}=\frac13\vec n$ et $\|\vec n\|=3$ , la distance vaut $MH=1$ . Les coordonnées de H vérifient bien l'équation du plan.

Calculer un angle ou une longueur

Pour deux vecteurs non nuls, $\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\|\vec v\|\cos\theta$ . Après calcul du quotient, la calculatrice fournit une mesure de l'angle. Il faut vérifier qu'elle est réglée dans l'unité demandée et que le quotient appartient à l'intervalle $[-1,1]$ . Dans une figure, la définition de l'angle entre deux droites utilise des vecteurs directeurs choisis pour obtenir l'angle géométrique approprié.

Choisir les vecteurs qui portent réellement l'angle.
Calculer séparément produit scalaire et normes.
Former le quotient sans arrondir les valeurs intermédiaires.
Donner l'angle avec l'unité et la précision demandées.

Pièges, vérification et continuité du parcours

Erreur fréquente : confondre droites orthogonales et droites perpendiculaires oublie la condition d'intersection.

Contrôle utile : si H est annoncé comme projeté, vérifier deux faits distincts : H appartient à l'objet et MH est orthogonal à sa direction.

Les directions utilisées ici sont construites dans les vecteurs, droites et plans. Le calcul effectif du projeté s'appuie sur les équations cartésiennes et paramétriques.

Les capacités sur les angles, longueurs et projections sont celles de le programme officiel de Terminale, spécialité mathématiques.