Suites numériques Première : 7 exercices corrigés

Formule explicite et récurrence sont volontairement mêlées pour obliger à identifier le mode de génération. Les variations par différence, la modélisation d'une population et la recherche du premier dépassement prolongent ensuite le calcul de termes.

Les définitions et méthodes utilisées sont réunies dans le cours de Suites numériques. Les modèles classiques sont développés dans les suites arithmétiques et géométriques.

Bases de Suites numériques : Calcul explicite et récurrence

Exercice 1 : Calcul explicite et récurrence

Facile

On définit un=3n2−2n+1u_n=3n^2-2n+1 et v0=5v_0=5, vn+1=0,6vn+4v_{n+1}=0{,}6v_n+4.

  1. Calculer u0,u2,u5u_0,u_2,u_5.
  2. Calculer v1,v2,v3v_1,v_2,v_3.
  3. Distinguer les deux modes de génération.
Indication
Une formule explicite donne directement le terme, une récurrence exige les précédents.
Voir le corrigé
  1. Avec un=3n2−2n+1u_n=3n^2-2n+1, on obtient u0=1u_0=1, u2=9u_2=9 et u5=66u_5=66.
  2. À partir de v0=5v_0=5, la relation donne v1=7v_1=7, v2=8,2v_2=8{,}2 et v3=8,92v_3=8{,}92.
  3. La suite uu est définie explicitement : un rang donne directement le terme. La suite vv est définie par récurrence : chaque terme dépend du précédent.

Exercice 2 : Variation par différence

Moyen

On considère un=n2−5n+8u_n=n^2-5n+8 pour n≥0n\geq0.

  1. Calculer un+1−unu_{n+1}-u_n.
  2. Étudier son signe.
  3. Donner les rangs où la suite décroît puis croît.
  4. Contrôler avec les premiers termes.
Indication
Développer (n+1)2(n+1)^2 avant de réduire.
Voir le corrigé
  1. un+1−un=(n+1)2−5(n+1)+8−(n2−5n+8)=2n−4u_{n+1}-u_n=(n+1)^2-5(n+1)+8-(n^2-5n+8)=2n-4.
  2. Cette différence est négative pour n=0,1n=0,1, nulle pour n=2n=2, puis positive pour n≥3n\geq3.
  3. La suite décroît de u0u_0 à u2u_2, vérifie u2=u3u_2=u_3, puis croît à partir de u3u_3.
  4. Les premiers termes sont 8, 4, 2, 2 et 4. Ils confirment la décroissance, le palier, puis la croissance.

Choisir une méthode : Modéliser une population définie par récurrence

Exercice 3 : Modéliser une population définie par récurrence

Moyen

Une population compte 800 individus. Chaque année, elle augmente de 6 % puis perd 20 individus. On note unu_n l'effectif après nn années.

  1. Définir le terme initial et établir la relation de récurrence.
  2. Calculer u1u_1 et u2u_2.
  3. Dire si la suite est arithmétique ou géométrique, en justifiant.
Indication
Choisir l'indice initial et préciser ce que représente unu_n.
Voir le corrigé
  1. Le terme initial est u0=800u_0=800. Une hausse de 6 % multiplie par 1,06, puis on retire 20. La relation est un+1=1,06un−20u_{n+1}=1{,}06u_n-20.
  2. u1=828u_1=828 et u2=857,68u_2=857{,}68, si le modèle accepte des valeurs réelles.
  3. L'évolution n'est ni arithmétique ni géométrique, car elle combine multiplication et soustraction.

Exercice 4 : Premier dépassement d’un seuil

Difficile

Une population suit w0=80w_0=80 et wn+1=1,12wn+6w_{n+1}=1{,}12w_n+6.

  1. Calculer les quatre premiers termes.
  2. Écrire un algorithme cherchant le premier terme supérieur à 150.
  3. Déterminer ce rang.
  4. Interpréter dans le contexte.
Indication
Poursuivre les calculs sans arrondir trop tôt.
Voir le corrigé
  1. Les quatre premiers termes sont w0=80w_0=80, w1=95,6w_1=95{,}6, w2=113,072w_2=113{,}072 et w3=132,64064w_3=132{,}64064.
  2. On initialise w = 80 et n = 0, puis on répète w = 1.12*w + 6 et n += 1 tant que w <= 150.
  3. Le terme suivant est w4≈154,558w_4\approx154{,}558. Le premier dépassement de 150 a donc lieu au rang 4.
  4. Selon l'unité choisie pour la population, le modèle prévoit que le seuil de 150 est franchi après quatre périodes.

Exercice 5 : Suite récurrente et recherche d’un seuil

Difficile

Une population est modélisée par u0=120u_0=120 et un+1=1,06un+8u_{n+1}=1{,}06u_n+8.

  1. Calculer u1u_1, u2u_2 et u3u_3.
  2. Écrire un algorithme qui renvoie le premier rang où unu_n dépasse 200.
  3. Expliquer pourquoi la suite est croissante tant que ses termes sont positifs.
Indication
Étudier un+1−unu_{n+1}-u_n, puis utiliser une boucle while pour le seuil.
Voir le corrigé
  1. u1=135,2u_1=135{,}2, u2=151,312u_2=151{,}312 et u3≈168,391u_3\approx168{,}391.
  2. On initialise n = 0 et u = 120, puis on répète u = 1.06*u + 8 et n = n + 1 tant que u <= 200.
  3. un+1−un=0,06un+8>0u_{n+1}-u_n=0{,}06u_n+8\gt 0 lorsque un>0u_n\gt 0, donc la suite est alors strictement croissante.

Approfondir Suites numériques : Justifier une formule par récurrence à partir du modèle

Exercice 6 : Conjecture graphique et preuve par différence

Moyen

La suite est définie par un=n2−5n+4u_n=n^2-5n+4.

  1. Calculer un+1−unu_{n+1}-u_n.
  2. Déterminer à partir de quel rang la suite est croissante.
  3. Comparer avec les six premiers termes.
Indication
Réduire la différence avant d'étudier son signe.
Voir le corrigé
  1. un+1−un=2n−4u_{n+1}-u_n=2n-4.
  2. La différence est positive pour n>2n\gt 2 et nulle pour n=2n=2. La suite est croissante à partir du rang 2.
  3. Les premiers termes sont 4, 0, −2-2, −2-2, 0, 4 : ils confirment le minimum partagé aux rangs 2 et 3, puis la croissance.

Exercice 7 : Justifier une formule par récurrence à partir du modèle

Difficile

Une population de taille unu_n augmente de 6 % au cours d'une année, puis 20 individus quittent le groupe.

  1. Exprimer l'effectif après la hausse de 6 %.
  2. En déduire la relation entre un+1u_{n+1} et unu_n.
  3. Expliquer le rôle du rang dans cette relation.
Indication
Respecter l'ordre chronologique des deux transformations.
Voir le corrigé
  1. La hausse multiplie l'effectif par 1,061{,}06, donc l'effectif intermédiaire est 1,06un1{,}06u_n.
  2. Après le départ de 20 individus, un+1=1,06un−20u_{n+1}=1{,}06u_n-20.
  3. Le terme unu_n décrit l'année nn, et l'application complète des deux transformations produit l'effectif de l'année suivante, un+1u_{n+1}.
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