Statistiques descriptives Seconde : 6 exercices corrigés

Les indicateurs sont calculés puis interprétés sur des séries qui ne racontent pas la même chose malgré une moyenne parfois identique. La dernière partie relie variance, écart type et mise au carré des écarts au lieu d'appliquer une formule sans commentaire.

Les définitions et méthodes utilisées sont réunies dans le cours de Statistiques descriptives. La moyenne et l'écart type seront réinterprétés avec les variables aléatoires discrètes.

Bases de Statistiques descriptives : Moyenne pondérée

Exercice 1 : Moyenne pondérée

Facile

Les notes 8, 11, 14 et 17 ont pour effectifs respectifs 2, 5, 4 et 1.

  1. Calculer l'effectif total.
  2. Calculer la moyenne exacte.
  3. Interpréter le résultat.
Indication
Multiplier chaque valeur par son effectif.
Voir le corrigé
  1. L'effectif total est 2+5+4+1=122+5+4+1=12.
  2. La somme pondérée est 8×2+11×5+14×4+17×1=1448\times2+11\times5+14\times4+17\times1=144. La moyenne vaut 144/12=12144/12=12.
  3. La note moyenne du groupe est 12 sur 20. Cette valeur résume le niveau central mais ne décrit pas la dispersion.

Exercice 2 : Médiane et quartiles

Moyen

La série ordonnée est : 2, 4, 4, 5, 7, 8, 9, 9, 10, 13, 15, 18.

  1. Déterminer la médiane.
  2. Déterminer Q1 et Q3.
  3. Calculer l'étendue et l'écart interquartile.
Indication
Repérer les rangs avec l'effectif 12.
Voir le corrigé
  1. Avec 12 valeurs, la médiane est la moyenne des 6e et 7e valeurs : (8+9)/2=8,5(8+9)/2=8{,}5.
  2. Selon la définition usuelle au lycée, Q1Q_1 est la 3e valeur, soit 4, et Q3Q_3 la 9e, soit 10.
  3. L'étendue vaut 18−2=1618-2=16 et l'écart interquartile 10−4=610-4=6.

Choisir une méthode : Comparer deux groupes

Exercice 3 : Comparer deux groupes

Difficile

Deux groupes ont la même moyenne 12. Le groupe A a un écart type de 1,4 et le groupe B de 3,8.

  1. Comparer la dispersion.
  2. Dire ce que la moyenne seule ne permet pas de conclure.
  3. Proposer deux séries simples cohérentes.
  4. Choisir le groupe le plus homogène.
Indication
Un écart type plus petit signifie des valeurs plus proches de la moyenne.
Voir le corrigé
  1. Le groupe A est moins dispersé car 1,4<3,81{,}4\lt 3{,}8.
  2. La moyenne seule ne permet pas de connaître l'étalement, les valeurs extrêmes ni la forme de la distribution.
  3. Par exemple, les séries [10,6;13,4][10{,}6;13{,}4] et [8,2;15,8][8{,}2;15{,}8] ont toutes deux pour moyenne 12 ; leurs écarts types sont respectivement 1,4 et 3,8.
  4. Le groupe A est le plus homogène, puisque ses valeurs sont en moyenne plus proches de 12.

Exercice 4 : Comparer deux groupes de même moyenne

Moyen

Le groupe A obtient 8, 10, 10, 10, 12 et le groupe B 2, 8, 10, 12, 18. Les deux moyennes valent 10.

  1. Calculer les écarts à la moyenne dans chacun des deux groupes.
  2. Comparer les carrés des écarts et les écarts types.
  3. Expliquer ce que les moyennes identiques ne montrent pas.
Indication
Trier les valeurs ou construire un tableau valeur-effectif.
Voir le corrigé
  1. Dans A, les écarts à 10 sont -2, 0, 0, 0 et 2. Dans B, ils sont -8, -2, 0, 2 et 8.
  2. Les carrés des écarts sont beaucoup plus élevés dans B. L'écart type de B est donc supérieur à celui de A.
  3. La même moyenne masque ainsi une régularité très différente.

Approfondir Statistiques descriptives : Pourquoi les écarts sont élevés au carré

Exercice 5 : Moyenne de deux groupes

Moyen

Un groupe de 18 élèves a une moyenne de 11,5. Un second groupe de 12 élèves a une moyenne de 14.

  1. Calculer la somme des notes de chaque groupe.
  2. Déterminer la moyenne des 30 élèves.
  3. Expliquer pourquoi la moyenne simple de 11,5 et 14 est incorrecte.
Indication
Reconstituer les sommes avant de réunir les effectifs.
Voir le corrigé
  1. Les sommes valent 18×11,5=20718\times11{,}5=207 et 12×14=16812\times14=168.
  2. La moyenne globale est 207+16830=12,5\frac{207+168}{30}=12{,}5.
  3. Les groupes n'ont pas le même effectif ; il faut donc pondérer leurs moyennes.

Exercice 6 : Pourquoi les écarts sont élevés au carré

Difficile

Une série de valeurs x1,…,xnx_1,\ldots,x_n a pour moyenne xˉ\bar x. On cherche une mesure de dispersion qui ne s'annule pas par compensation.

  1. Montrer que la somme ∑i=1n(xi−xˉ)\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x) vaut zéro.
  2. Expliquer l'intérêt d'élever les écarts au carré.
  3. Justifier la racine carrée dans la définition de l'écart type.
Indication
Remplacer nxˉn\bar x par la somme des valeurs.
Voir le corrigé
  1. On a ∑(xi−xˉ)=∑xi−nxˉ=0\sum(x_i-\bar x)=\sum x_i-n\bar x=0 par définition de la moyenne.
  2. Les carrés empêchent les écarts positifs et négatifs de se compenser et donnent plus de poids aux grands écarts.
  3. La variance s'exprime dans l'unité au carré. Sa racine, l'écart type, retrouve l'unité des données et devient plus directement interprétable.
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