Pourcentages et évolutions Seconde : 7 exercices corrigés

Les taux sont traduits en coefficients avant toute évolution successive. La série demande aussi de retrouver une valeur initiale et de calculer un taux réciproque exact, deux situations où soustraire simplement les pourcentages conduit à une erreur.

Les définitions et méthodes utilisées sont réunies dans le cours de Pourcentages et évolutions. Les évolutions répétées annoncent les suites géométriques.

Bases de Pourcentages et évolutions : Coefficients multiplicateurs

Exercice 1 : Coefficients multiplicateurs

Facile

Associer à chaque évolution son coefficient : hausse de 12 %, baisse de 7 %, hausse de 0,5 % et baisse de 100 %.

  1. Donner les quatre coefficients.
  2. Calculer les images d'une valeur initiale de 240.
Indication
Une hausse de t % multiplie par 1+t/1001+t/100.
Voir le corrigé
  1. Les coefficients sont respectivement 1,121{,}12, 0,930{,}93, 1,0051{,}005 et 0.
  2. À partir de 240, les valeurs finales sont 268,8268{,}8, 223,2223{,}2, 241,2241{,}2 et 0.

Exercice 2 : Évolutions successives

Moyen

Un prix augmente de 20 %, puis diminue de 20 %.

  1. Calculer le coefficient global.
  2. Donner le taux global.
  3. Appliquer à 150 euros.
  4. Expliquer pourquoi le prix ne revient pas au départ.
Indication
Multiplier les coefficients et ne pas additionner les taux.
Voir le corrigé
  1. Le coefficient global est 1,20×0,80=0,961{,}20\times0{,}80=0{,}96.
  2. Le taux global est 0,96−1=−0,040{,}96-1=-0{,}04, soit une baisse de 4 %.
  3. Un prix de 150 euros devient 150×0,96=144150\times0{,}96=144 euros.
  4. La baisse de 20 % s'applique au prix déjà augmenté. Les deux pourcentages portent donc sur des bases différentes et ne s'annulent pas.

Choisir une méthode : Calculer un prix après deux évolutions

Exercice 3 : Calculer un prix après deux évolutions

Moyen

Un prix de 250 euros augmente de 12 %, puis bénéficie d'une réduction de 15 %. On cherche le prix final et le taux global.

  1. Associer un coefficient multiplicateur à chacune des deux évolutions.
  2. Calculer le coefficient global puis le prix final.
  3. Déterminer et interpréter le taux d'évolution global.
Indication
Identifier s'il s'agit d'une partie d'un ensemble ou d'une variation temporelle.
Voir le corrigé
  1. La hausse correspond au coefficient 1,12. La baisse correspond au coefficient 0,85.
  2. Le coefficient global vaut 1,12×0,85=0,9521{,}12\times0{,}85=0{,}952. Le prix final est 250×0,952=238250\times0{,}952=238 euros.
  3. Le taux global est 0,952−1=−0,0480{,}952-1=-0{,}048, soit une baisse de 4,8 %.

Exercice 4 : Retrouver une valeur initiale

Difficile

Après une remise de 15 %, un appareil coûte 527 euros.

  1. Écrire l'équation reliant prix initial et prix final.
  2. Calculer le prix initial.
  3. Déterminer la remise en euros.
  4. Contrôler en réappliquant la baisse.
Indication
Diviser par le coefficient 0,85.
Voir le corrigé
  1. Si P est le prix initial, la remise de 15 % donne 0,85P=5270{,}85P=527.
  2. P=527/0,85=620P=527/0{,}85=620 euros.
  3. La remise est 620−527=93620-527=93 euros.
  4. Le contrôle donne 620×0,85=527620\times0{,}85=527, ce qui restitue le prix annoncé.

Exercice 5 : Justifier le produit des coefficients

Difficile

Une valeur initiale V0V_0 subit successivement deux évolutions de coefficients multiplicateurs C1C_1 et C2C_2.

  1. Exprimer la valeur V1V_1 après la première évolution.
  2. Exprimer V2V_2, puis identifier le coefficient global.
  3. Expliquer pourquoi les deux taux ne s'additionnent généralement pas.
Indication
Écrire les deux transformations l'une après l'autre avant de simplifier.
Voir le corrigé
  1. Après la première évolution, V1=V0C1V_1=V_0C_1.
  2. La seconde donne V2=V1C2=V0C1C2V_2=V_1C_2=V_0C_1C_2. Le coefficient global est donc C1C2C_1C_2.
  3. Les évolutions se composent par multiplication. Additionner les taux oublierait que la seconde évolution porte sur la valeur déjà modifiée.

Approfondir Pourcentages et évolutions : Calculer une proportion dans une sous-population

Exercice 6 : Calculer le taux réciproque exact

Difficile

Une quantité augmente de 25 %. On cherche la diminution qui la ramène exactement à sa valeur initiale.

  1. Écrire le coefficient de la hausse.
  2. Calculer le coefficient réciproque.
  3. En déduire le taux de diminution.
Indication
Le retour à l'initial utilise l'inverse du coefficient, pas l'opposé du taux.
Voir le corrigé
  1. Le coefficient de la hausse est 1,251{,}25.
  2. Le coefficient réciproque vaut 11,25=0,8\frac1{1{,}25}=0{,}8.
  3. Le taux est 0,8−1=−0,20{,}8-1=-0{,}2, soit une diminution de 20 %. Une baisse de 25 % aurait donné 1,25×0,75=0,93751{,}25\times0{,}75=0{,}9375.

Exercice 7 : Calculer une proportion dans une sous-population

Moyen

Dans un lycée de 800 élèves, 60 % sont demi-pensionnaires. Parmi les demi-pensionnaires, 35 % suivent une option artistique.

  1. Calculer la proportion de tous les élèves qui appartiennent aux deux groupes.
  2. En déduire le nombre d'élèves concernés.
  3. Expliquer pourquoi additionner 60 % et 35 % ne répond pas à la question.
Indication
La seconde proportion s'applique uniquement à la première sous-population.
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  1. La proportion cherchée est le produit 0,60×0,35=0,210{,}60\times0{,}35=0{,}21, soit 21 % de l'ensemble des élèves.
  2. Le nombre d'élèves concernés vaut 800×0,21=168800\times0{,}21=168.
  3. Les 35 % ne portent pas sur tous les élèves mais seulement sur les demi-pensionnaires. Les taux décrivent deux niveaux emboîtés et se multiplient.
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