Équations et inéquations Seconde : 12 exercices corrigés

La série confronte des équations du premier degré avec fractions, des inéquations du premier degré où le sens change, puis des contraintes de tarifs et de rentabilité. Chaque résultat est contrôlé dans l'ensemble de solutions ou dans le contexte du problème.

Les définitions et méthodes utilisées sont réunies dans le cours de Équations et inéquations. Les inéquations produits et quotients seront organisées par les tableaux de signes.

Bases de Équations et inéquations : Équation avec fractions

Exercice 1 : Équation avec fractions

Facile

Résoudre (2x−1)/3−(x+2)/4=5/6(2x-1)/3-(x+2)/4=5/6.

  1. Choisir un dénominateur commun.
  2. Résoudre l'équation obtenue.
  3. Vérifier la solution.
Indication
Multiplier toute l'équation par 12.
Voir le corrigé
  1. Le plus petit dénominateur commun de 3, 4 et 6 est 12. On multiplie donc les deux membres par 12.
  2. On obtient 4(2x−1)−3(x+2)=104(2x-1)-3(x+2)=10, puis 8x−4−3x−6=108x-4-3x-6=10. Ainsi 5x=205x=20, donc x=4x=4.
  3. Pour x=4x=4, le membre de gauche vaut 73−32=14−96=56\frac73-\frac32=\frac{14-9}{6}=\frac56. La solution est vérifiée.

Exercice 2 : Inéquation et changement de sens

Moyen

Un élève résout −3x+5>14-3x+5\gt 14 et annonce x>−3x\gt -3.

  1. Repérer l'erreur.
  2. Donner la solution correcte.
  3. Écrire la solution sous forme d'intervalle.
Indication
La division par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité.
Voir le corrigé
  1. L'élève a divisé par −3-3 sans inverser le sens de l'inégalité.
  2. De −3x+5>14-3x+5\gt 14, on déduit −3x>9-3x\gt 9, puis x<−3x\lt -3.
  3. L'ensemble solution est ]−∞;−3[]-\infty;-3[. La borne −3-3 est exclue car l'inégalité est stricte.

Choisir une méthode : Déterminer un nombre minimal d'entrées vendues

Exercice 3 : Déterminer un nombre minimal d’entrées vendues

Moyen

Une association dépense 420 euros et vend des entrées 7 euros. Elle veut obtenir au moins 140 euros de bénéfice. On note nn le nombre entier d'entrées.

  1. Exprimer le bénéfice puis traduire la contrainte par une inéquation.
  2. Résoudre l'inéquation en justifiant le sens de l'inégalité.
  3. En déduire le nombre entier minimal d'entrées.
  4. Contrôler que ce nombre atteint bien le bénéfice demandé.
Indication
Choisir l'inconnue et préciser son unité ou son domaine.
Voir le corrigé
  1. Le bénéfice vaut 7n−4207n-420 et la contrainte est 7n−420≥1407n-420\geq140.
  2. En ajoutant 420, on obtient 7n≥5607n\geq560. La division par 7, positif, conserve le sens : n≥80n\geq80.
  3. Comme nn est entier, le minimum est 80 entrées.
  4. Le contrôle donne 7×80−420=1407\times80-420=140, exactement le seuil demandé.

Exercice 4 : Comparer deux tarifs

Difficile

Un service A coûte 18 euros puis 0,08 euro par minute. Un service B coûte 6 euros puis 0,14 euro par minute.

  1. Exprimer les deux coûts pour mm minutes.
  2. Résoudre l'inéquation où A est moins cher que B.
  3. Interpréter le seuil entier.
  4. Comparer pour 150 et 250 minutes.
Indication
Écrire 18+0,08m<6+0,14m18+0{,}08m\lt 6+0{,}14m.
Voir le corrigé
  1. Pour mm minutes, A(m)=18+0,08mA(m)=18+0{,}08m et B(m)=6+0,14mB(m)=6+0{,}14m.
  2. La condition A(m)<B(m)A(m)\lt B(m) donne 12<0,06m12\lt 0{,}06m, soit m>200m\gt 200.
  3. Pour un nombre entier de minutes, A devient strictement moins cher à partir de 201 minutes. À 200 minutes, les deux tarifs valent 34 euros.
  4. À 150 minutes, A coûte 30 euros et B 27 euros : B est moins cher. À 250 minutes, A coûte 38 euros et B 41 euros : A est moins cher.

Exercice 5 : Paramètre et nombre de solutions

Difficile

Selon la valeur réelle de mm, on étudie l'équation (m−2)x=3m−6(m-2)x=3m-6.

  1. Résoudre lorsque m≠2m\neq2.
  2. Étudier séparément le cas m=2m=2.
  3. Classer les valeurs de m selon le nombre de solutions.
Indication
Factoriser le membre de droite par m−2m-2 avant de diviser.
Voir le corrigé
  1. Pour m≠2m\neq2, (m−2)x=3(m−2)(m-2)x=3(m-2), donc x=3x=3.
  2. Pour m=2m=2, l'équation devient 0=00=0 : tout réel convient.
  3. Il y a une solution, 33, si m≠2m\neq2, et une infinité de solutions si m=2m=2. Il n'existe aucun cas sans solution.

Approfondir Équations et inéquations : Intervalle solution avec deux contraintes

Exercice 6 : Pourquoi le sens change avec un nombre négatif

Difficile

Soient deux réels a<ba\lt b et un réel c<0c\lt 0. Il faut comparer acac et bcbc sans citer directement la règle de changement de sens.

  1. Expliquer l'effet de la multiplication par −1-1 sur l'ordre de aa et bb.
  2. Écrire c=−kc=-k avec k>0k\gt 0, puis conclure pour acac et bcbc.
Indication
Commencer par multiplier l'inégalité par un nombre positif, puis prendre les opposés.
Voir le corrigé
  1. Sur la droite réelle, prendre l'opposé échange la gauche et la droite. De a<ba\lt b, on déduit donc −a>−b-a\gt -b.
  2. Comme k>0k\gt 0, on a ak<bkak\lt bk. En prenant les opposés, −ak>−bk-ak\gt -bk. Or −ak=ac-ak=ac et −bk=bc-bk=bc, donc ac>bcac\gt bc.

Exercice 7 : Intervalle solution avec deux contraintes

Moyen

Résoudre simultanément 3x−4≤113x-4\leq11 et 7−2x<137-2x\lt 13.

  1. Résoudre chaque inéquation.
  2. Déterminer leur intersection.
  3. Vérifier les deux bornes dans les expressions initiales.
Indication
La solution commune est l'intersection des deux demi-droites obtenues.
Voir le corrigé
  1. La première donne x≤5x\leq5. La seconde donne −2x<6-2x\lt 6, donc x>−3x\gt -3.
  2. L'intersection est ]−3;5]]-3;5].
  3. Pour x=−3x=-3, la seconde inégalité devient 13<1313\lt 13, ce qui est faux : la borne est ouverte. Pour x=5x=5, les deux inégalités sont vraies : la borne est fermée.
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