Équations et inéquations Seconde : méthodes

Résoudre une équation ou une inéquation consiste à remplacer une contrainte par une contrainte équivalente, c'est-à-dire ayant exactement les mêmes solutions. Cette idée explique les opérations autorisées et évite la formule vague « passer un terme de l'autre côté ».

La factorisation utile aux équations produit est développée dans le cours de calcul littéral en Seconde. Pour prolonger ce chapitre, consultez les exercices corrigés sur les équations et inéquations.

Table des Matières

Comprendre l’équivalence de deux équations

Deux équations sont équivalentes lorsqu'elles possèdent le même ensemble de solutions.

Ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres conserve les solutions. Multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul les conserve également.

Résolvons $2x+3=11$ :

2x+3=11 \quad\Longleftrightarrow\quad 2x=8 \quad\Longleftrightarrow\quad x=4.

Le contrôle direct donne $2\times4+3=11$ .

Balance illustrant les opérations équivalentes dans une équation et droite graduée montrant le changement de sens d'une inéquation — L'équation fonctionne comme une balance. Pour l'inéquation, une multiplication ou division par un nombre négatif inverse l'ordre.

Résoudre ax + b = cx + d

On regroupe les termes contenant $x$ d'un côté et les constantes de l'autre. Pour :

5x-7=2x+8,

on soustrait $2x$ , puis on ajoute $7$ :

3x=15,\qquad x=5.

Une rédaction complète indique l'ensemble solution : $S=\{5\}$ .

Identifier une identité ou une équation impossible

Toutes les équations du premier degré ne possèdent pas une solution unique.

$3(x+2)=3x+6$ devient $3x+6=3x+6$ . Elle est vraie pour tout réel : $S=\mathbb R$ .
$4(x-1)=4x+3$ devient $4x-4=4x+3$ , puis $-4=3$ . Elle est impossible : $S=\varnothing$ .

Lecture du résultat : une égalité toujours vraie donne tous les réels, tandis qu'une contradiction numérique ne donne aucune solution.

Résoudre une équation avec des fractions

Lorsque les dénominateurs sont des nombres non nuls, on peut multiplier toute l'équation par leur multiple commun. Par exemple :

\frac{x-1}{3}+\frac{x+2}{2}=4.

On multiplie les deux membres par $6$ :

2(x-1)+3(x+2)=24,

2x-2+3x+6=24,\qquad 5x=20,\qquad x=4.

La vérification dans l'équation initiale donne $1+\frac62=4$ .

Mettre un problème en équation

Un tarif comprend $12$ euros fixes et $3{,}50$ euros par séance. Pour une facture de $40$ euros, si $n$ est le nombre de séances :

12+3{,}5n=40.

On obtient $3{,}5n=28$ , donc $n=8$ . La réponse est cohérente avec le contexte, car le nombre de séances est un entier positif.

Passer des équations aux inéquations

Ajouter un même nombre conserve le sens d'une inégalité. Multiplier ou diviser par un nombre positif le conserve. Multiplier ou diviser par un nombre négatif l'inverse.

Résolvons $5x-7\le13$ :

5x\le20,\qquad x\le4,

donc $S=]-\infty;4]$ .

Pour $-3x<12$ , la division par $-3$ inverse le signe :

x>-4,

donc $S=]-4;+\infty[$ .

Résoudre une double inégalité

Dans une chaîne comme $-2\le3x+1<10$ , la même opération doit être appliquée aux trois membres :

-3\le3x<9,

-1\le x<3.

L'ensemble solution est $[-1;3[$ .

Comparer deux tarifs avec une inéquation

Le tarif A coûte $18+2n$ euros et le tarif B coûte $6+3{,}5n$ euros pour $n$ séances. Le tarif A est au plus cher que B lorsque :

18+2n\le6+3{,}5n.

On obtient $12\le1{,}5n$ , donc $n\ge8$ . À partir de huit séances, A coûte moins cher ou autant que B. À $n=8$ , les deux tarifs valent $34$ euros.

Méthode de contrôle

Développer et réduire chaque membre si nécessaire.
Effectuer la même opération sur les deux membres, en surveillant le signe d'un éventuel diviseur.
Écrire l'ensemble solution avec la notation adaptée.
Pour une équation, remplacer l'inconnue par la solution. Pour une inéquation, tester un point intérieur et un point extérieur.
Dans un problème, vérifier les unités et les contraintes du contexte.

Erreur fréquente : après $-3x<12$ , écrire $x<-4$ . La division par $-3$ renverse le sens, donc la solution correcte est $x>-4$ .

Pour prolonger l'entraînement, la série d'exercices corrigés sur les équations et inéquations propose d'autres problèmes et méthodes.