Second degré Première : discriminant et signe

Le second degré en Première étudie les fonctions $f(x)=ax^2+bx+c$ , avec $a\neq0$ . Trois formes de la même expression révèlent trois informations différentes : coefficients, sommet ou racines.

Le discriminant organise la résolution générale, mais il ne doit pas remplacer les factorisations directes lorsque des racines sont apparentes. Le nouveau programme insiste sur le choix d'une méthode adaptée et sur la complétion du carré dans des cas simples.

Table des Matières

Choisir entre formes développée, canonique et factorisée

Trois formes, trois lectures

La forme développée est $ax^2+bx+c$ . La forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$ montre le sommet $S(\alpha;\beta)$ . La forme factorisée $a(x-x_1)(x-x_2)$ , lorsqu'elle existe sur $\mathbb R$ , montre les racines.

Relier discriminant, racines et factorisation

Discriminant, racines et signe

Le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ détermine le nombre de racines réelles. S'il est positif, il existe deux racines ; s'il est nul, une racine double ; s'il est négatif, aucune racine réelle. Le signe du trinôme dépend ensuite de $a$ et des racines.

\Delta=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\mp\sqrt\Delta}{2a}\quad(\Delta\gt 0).

Résoudre puis étudier $f(x)=2x^2-5x-3$

On veut trouver les racines, factoriser et déterminer le signe de f sur R.

$a=2$ , $b=-5$ , $c=-3$ et $\Delta=25+24=49$ .
Les racines sont $\frac{5-7}{4}=-\frac12$ et $\frac{5+7}{4}=3$ .
La factorisation est $f(x)=2\left(x+\frac12\right)(x-3)=(2x+1)(x-3)$ .
Comme $a\gt 0$ , $f$ est positive à l'extérieur des racines et négative entre elles.
Le produit développé redonne $2x^2-5x-3$ .

Résoudre et étudier un trinôme avec la forme la plus efficace

Chercher d'abord un facteur commun, une identité ou des racines apparentes.
Si nécessaire, identifier $a$ , $b$ , $c$ et calculer $\Delta$ sans perdre les signes.
Déterminer les racines et écrire la forme factorisée lorsqu'elle existe.
Construire le signe à partir du signe de a à l'extérieur des racines.
Utiliser la forme canonique pour sommet, variations ou optimisation.

Obtenir la forme canonique par complétion du carré

Compléter le carré

On factorise $a$ , puis on transforme $x^2+\frac bax$ en un carré en ajoutant et retranchant $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$ . Cette méthode explique $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et montre pourquoi le sommet se lit dans la forme canonique.

Relier le signe de a à l’allure de la parabole

Si $a\gt 0$ , la parabole est tournée vers le haut et le sommet est un minimum. Si $a\lt 0$ , elle est tournée vers le bas et le sommet est un maximum. Les racines sont les abscisses des intersections avec l'axe horizontal.

Parabole, racines et sommet d'un trinôme — Les racines découpent l'axe réel en intervalles de signe et le sommet donne l'extremum de la parabole.

Résoudre des problèmes d’aire et d’optimisation

Une aire sous contrainte, une trajectoire ou un bénéfice peut être modélisé par un trinôme. Les racines décrivent des seuils, le signe des zones possibles et le sommet une valeur optimale.

Les trois cas du discriminant sont détaillés dans la résolution complète des équations du second degré. L'étude du signe s'organise avec la méthode du tableau de signes.

Cette progression respecte le programme officiel de mathématiques du niveau dans le cadre de second degré Première. Les prolongements signalés servent directement à résoudre des problèmes d'aire et d'optimisation.

Choisir la forme utile et vérifier les racines

Erreur fréquente : le calcul général de la forme canonique n'est pas toujours la première méthode. Une factorisation directe ou une complétion simple peut être plus sûre et plus conforme à la structure visible.

Contrôle utile : vérifier somme et produit des racines, redévelopper la factorisation et comparer le sommet à l'allure de la parabole.