Théorème de Pythagore 3ème : 14 exercices corrigés

Ces exercices corrigés sur le théorème de Pythagore en 3ème couvrent calculs de longueurs, réciproque et contraposée. Le cours de Pythagore de 3ème fournit les rédactions adaptées à chaque objectif.

Les valeurs exactes peuvent contenir une racine ; le cours sur la racine carrée aide à conserver l'exact avant l'arrondi. Les figures ne sont jamais supposées à l'échelle.

Calculer une longueur dans un triangle rectangle

L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit et le plus long du triangle. Une longueur exacte est conservée avant l'arrondi demandé.

Exercice 1 : Calculer l’hypoténuse

Facile

Le triangle ABCABC est rectangle en AA, avec AB=7,2AB=7{,}2 cm et AC=9,6AC=9{,}6 cm.

  1. Écrire l'égalité de Pythagore.
  2. Calculer BC2BC^2.
  3. En déduire la longueur BCBC.
Indication

Le côté BCBC, opposé à l'angle droit AA, est l'hypoténuse.

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  1. BC2=AB2+AC2BC^2=AB^2+AC^2.
  2. BC2=7,22+9,62=51,84+92,16=144BC^2=7{,}2^2+9{,}6^2=51{,}84+92{,}16=144.
  3. BC=144=12BC=\sqrt{144}=12 cm.

Exercice 2 : Retrouver un côté de l’angle droit

Moyen

Le triangle DEFDEF est rectangle en EE. On connaît DF=13DF=13 cm et DE=5DE=5 cm.

  1. Identifier l'hypoténuse.
  2. Isoler EF2EF^2 dans l'égalité de Pythagore.
  3. Calculer EFEF.
Indication

Cette fois, la longueur inconnue n'est pas l'hypoténuse : il faut soustraire un carré.

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  1. DFDF est l'hypoténuse.
  2. EF2=DF2−DE2EF^2=DF^2-DE^2.
  3. EF2=169−25=144EF^2=169-25=144, donc EF=12EF=12 cm.

Exercice 3 : Valeur exacte puis arrondi

Moyen

Un triangle rectangle possède des côtés de l'angle droit de 66 cm et 1111 cm.

  1. Donner l'hypoténuse sous forme exacte.
  2. L'encadrer entre deux entiers consécutifs.
  3. Donner son arrondi au millimètre.
Indication

Conservez 157\sqrt{157} jusqu'à la dernière étape.

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  1. L'hypoténuse vaut 62+112=157\sqrt{6^2+11^2}=\sqrt{157} cm.
  2. 122=144<157<169=13212^2=144\lt157\lt169=13^2, donc 12<157<1312\lt\sqrt{157}\lt13.
  3. 157≈12,53\sqrt{157}\approx12{,}53 cm, soit 12,512{,}5 cm au millimètre.

Exercice 4 : Distance dans un repère

Moyen

Dans un repère orthonormé, M(−3;2)M(-3;2) et N(5;−4)N(5;-4).

  1. Calculer les écarts horizontal et vertical.
  2. Écrire MN2MN^2 à l'aide d'un triangle rectangle.
  3. Donner la distance exacte puis une valeur au centième.
Indication

Les longueurs des déplacements sont les valeurs absolues des différences de coordonnées.

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  1. Les écarts valent 88 horizontalement et 66 verticalement.
  2. MN2=82+62=100MN^2=8^2+6^2=100.
  3. MN=10MN=10 unités, valeur déjà exacte.

Démontrer qu’un triangle est rectangle ou ne l’est pas

La réciproque prouve qu'un angle est droit lorsque le carré du plus grand côté égale la somme des deux autres carrés. La contraposée permet de conclure en cas d'inégalité.

Exercice 5 : Appliquer la réciproque

Facile

Un triangle GHIGHI vérifie GH=8GH=8 cm, GI=15GI=15 cm et HI=17HI=17 cm.

  1. Identifier le plus grand côté.
  2. Comparer son carré à la somme des deux autres carrés.
  3. Conclure en précisant le sommet de l'angle droit.
Indication

Le plus grand côté serait l'hypoténuse si le triangle était rectangle.

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  1. Le plus grand côté est HI=17HI=17 cm.
  2. HI2=289HI^2=289 et GH2+GI2=64+225=289GH^2+GI^2=64+225=289.
  3. D'après la réciproque, le triangle est rectangle en GG.

Exercice 6 : Utiliser la contraposée

Moyen

Un triangle a pour côtés 77 cm, 99 cm et 1212 cm.

  1. Vérifier que ces longueurs peuvent former un triangle.
  2. Comparer le carré du plus grand côté à la somme des deux autres carrés.
  3. Conclure sur l'existence d'un angle droit.
Indication

Commencez par 7+9>127+9\gt12, puis testez l'égalité de Pythagore.

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  1. 7+9=16>127+9=16\gt12, donc la construction d'un triangle est possible.
  2. 122=14412^2=144, tandis que 72+92=1307^2+9^2=130.
  3. Les deux nombres sont différents : d'après la contraposée, le triangle n'est pas rectangle.

Exercice 7 : Trouver une longueur pour obtenir un angle droit

Moyen

On veut construire un triangle rectangle dont deux côtés mesurent 99 cm et 4040 cm.

  1. Calculer la troisième longueur si 4040 cm est l'hypoténuse.
  2. Calculer la troisième longueur si 99 cm et 4040 cm sont les côtés de l'angle droit.
  3. Donner les deux triangles possibles.
Indication

Les deux interprétations conduisent à une soustraction puis à une addition de carrés.

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  1. Si 4040 est l'hypoténuse, le troisième côté vaut 402−92=1519≈38,97\sqrt{40^2-9^2}=\sqrt{1519}\approx38{,}97 cm.
  2. Si 99 et 4040 bordent l'angle droit, l'hypoténuse vaut 92+402=41\sqrt{9^2+40^2}=41 cm.
  3. Les longueurs possibles sont donc (9;1519;40)(9;\sqrt{1519};40) ou (9;40;41)(9;40;41).

Exercice 8 : Le mauvais côté élevé au carré

Moyen

Dans un triangle de côtés 1010, 2424 et 2626, un élève écrit 102=242+26210^2=24^2+26^2 et conclut qu'il n'est pas rectangle.

  1. Identifier l'erreur de méthode.
  2. Écrire la comparaison correcte.
  3. Donner la conclusion et le côté opposé à l'angle droit.
Indication

Dans le test réciproque, le carré isolé doit toujours être celui du plus grand côté.

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  1. L'élève a isolé le plus petit côté au lieu du plus grand.
  2. 262=67626^2=676 et 102+242=100+576=67610^2+24^2=100+576=676.
  3. Le triangle est rectangle ; son hypoténuse mesure 2626.

Résoudre des problèmes de longueurs

Un schéma mental ou codé permet de choisir le triangle rectangle utile. L'unité et la précision doivent correspondre à la question concrète.

Exercice 9 : Échelle contre un mur

Moyen

Une échelle de 6,56{,}5 m est posée contre un mur vertical. Son pied est à 2,52{,}5 m du mur.

  1. Identifier l'hypoténuse du triangle formé.
  2. Calculer la hauteur atteinte.
  3. Dire si l'échelle atteint une fenêtre située à 6,16{,}1 m.
Indication

Le mur et le sol sont perpendiculaires ; l'échelle est l'hypoténuse.

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  1. L'échelle, de longueur 6,56{,}5 m, est l'hypoténuse.
  2. La hauteur hh vérifie h2=6,52−2,52=36h^2=6{,}5^2-2{,}5^2=36, donc h=6h=6 m.
  3. La hauteur de 66 m est insuffisante pour atteindre 6,16{,}1 m.

Exercice 10 : Diagonale d’un écran

Facile

Un écran rectangulaire mesure 4848 cm de large et 2727 cm de haut.

  1. Calculer la diagonale exacte.
  2. Donner sa longueur au dixième.
Indication

La diagonale partage le rectangle en deux triangles rectangles.

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  1. La diagonale vaut 482+272=3033\sqrt{48^2+27^2}=\sqrt{3033} cm.
  2. 3033≈55,1\sqrt{3033}\approx55{,}1 cm.

Exercice 11 : Trajet direct ou détour

Difficile

Dans un parc, un chemin suit 420420 m vers l'est puis 560560 m vers le nord. Un sentier direct relie le départ à l'arrivée.

  1. Calculer la longueur du sentier direct.
  2. Calculer la distance économisée.
  3. Déterminer le pourcentage de réduction par rapport au chemin initial.
Indication

Les deux tronçons perpendiculaires sont les côtés de l'angle droit.

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  1. Le sentier mesure 4202+5602=700\sqrt{420^2+560^2}=700 m.
  2. Le chemin initial mesure 980980 m, donc l'économie vaut 280280 m.
  3. La réduction est 280/980≈28,6 %280/980\approx28{,}6\,\%.

Combiner Pythagore avec une figure en trois dimensions

Dans l'espace, deux applications successives du théorème peuvent être nécessaires : d'abord sur une face, puis dans un triangle rectangle intérieur au solide.

Exercice 12 : Grande diagonale d’un pavé droit

Difficile

Un pavé droit mesure 66 cm, 88 cm et 2424 cm.

  1. Calculer la diagonale de la face 66 cm par 88 cm.
  2. Utiliser cette diagonale pour calculer la grande diagonale du pavé.
  3. Donner le résultat exact.
Indication

La diagonale d'une face est perpendiculaire à l'arête de hauteur 2424 cm.

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  1. La diagonale de la face vaut 62+82=10\sqrt{6^2+8^2}=10 cm.
  2. La grande diagonale dd vérifie d2=102+242=676d^2=10^2+24^2=676.
  3. Donc d=26d=26 cm.

Exercice 13 : Hauteur d’une pyramide régulière

Difficile

Une pyramide régulière a une base carrée de côté 1010 cm. Son sommet SS est à la verticale du centre OO, et une arête latérale mesure 1313 cm.

  1. Calculer la diagonale de la base puis OAOA, où AA est un sommet du carré.
  2. Écrire Pythagore dans le triangle SOASOA.
  3. Calculer la hauteur SOSO au dixième.
Indication

Le centre du carré est le milieu d'une diagonale et SOSO est perpendiculaire au plan de la base.

Voir le corrigé
  1. La diagonale du carré vaut 10210\sqrt2, donc OA=52OA=5\sqrt2 cm.
  2. SA2=SO2+OA2SA^2=SO^2+OA^2, donc SO2=132−(52)2SO^2=13^2-(5\sqrt2)^2.
  3. SO=169−50=119≈10,9SO=\sqrt{169-50}=\sqrt{119}\approx10{,}9 cm.

Exercice 14 : Câble entre deux poteaux

Moyen

Deux poteaux verticaux distants de 1818 m mesurent 77 m et 1919 m. Un câble relie leurs sommets.

  1. Calculer la différence de hauteur.
  2. Modéliser le câble comme l'hypoténuse d'un triangle rectangle.
  3. Calculer la longueur minimale du câble.
  4. Ajouter 5 %5\,\% de marge et arrondir au dixième de mètre.
Indication

Le déplacement horizontal vaut 1818 m et le déplacement vertical n'est pas 1919 m, mais la différence des hauteurs.

Voir le corrigé
  1. La différence de hauteur vaut 19−7=1219-7=12 m.
  2. Le câble est l'hypoténuse d'un triangle de côtés 1818 m et 1212 m.
  3. Sa longueur minimale vaut 182+122=468=613≈21,63\sqrt{18^2+12^2}=\sqrt{468}=6\sqrt{13}\approx21{,}63 m.
  4. Avec la marge : 21,63×1,05≈22,721{,}63\times1{,}05\approx22{,}7 m.
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