Inéquations 3ème : 12 exercices corrigés

Ces exercices corrigés d'inéquations en 3ème apprennent à préserver ou inverser le sens d'une inégalité selon l'opération effectuée. Le cours sur les inéquations relie calcul et demi-droite graduée.

Les transformations ressemblent à celles des équations du premier degré, sauf que l'ordre doit être suivi à chaque multiplication ou division par un nombre négatif.

Résoudre des inéquations simples

On isole l'inconnue en effectuant la même opération sur les deux membres.

Exercice 1 : Addition à neutraliser

Facile

Résoudre (x+7<19).

  1. Soustraire 77 aux deux membres.
  2. Écrire la solution.
  3. Tester une valeur admise.
Indication

Une addition ou soustraction conserve le sens.

Voir le corrigé
  1. (x<12).
  2. L'ensemble des solutions contient tous les réels strictement inférieurs à 1212.
  3. Par exemple, x=10x=10 donne (17<19), donc convient.

Exercice 2 : Coefficient positif

Facile

Résoudre 5x−3≥225x-3 \geq 22.

  1. Ajouter 33.
  2. Diviser par 55.
  3. Représenter la borne.
Indication

Le nombre 55 est positif, le sens reste inchangé.

Voir le corrigé
  1. 5x≥255x \geq 25.
  2. x≥5x \geq 5.
  3. La demi-droite part de 55, point inclus, et va vers les valeurs supérieures.

Exercice 3 : Coefficient négatif

Moyen

Résoudre −4x+6>18-4x+6\gt 18.

  1. Soustraire 66.
  2. Diviser par −4-4.
  3. Justifier le changement de sens.
  4. Tester x=−4x=-4 et x=0x=0.
Indication

Une division par un nombre négatif inverse l'ordre.

Voir le corrigé
  1. −4x>12-4x\gt 12.
  2. (x<-3).
  3. Le sens change car on divise par −4-4.
  4. −4-4 convient car 22>1822\gt 18, tandis que 00 ne convient pas car 6>186\gt 18 est faux.

Réduire avant d’isoler

Parenthèses et inconnues dans les deux membres imposent une réduction correcte avant la dernière division.

Exercice 4 : Comparer les deux membres

Moyen

Résoudre 7x−5≤3x+117x-5 \leq 3x+11.

  1. Regrouper les termes en xx.
  2. Regrouper les constantes.
  3. Résoudre.
  4. Donner la borne incluse ou exclue.
Indication

Soustrayez 3x3x puis ajoutez 55.

Voir le corrigé
  1. 4x−5≤114x-5 \leq 11.
  2. 4x≤164x \leq 16.
  3. x≤4x \leq 4.
  4. La borne 44 est incluse car l'inégalité n'est pas stricte.

Exercice 5 : Parenthèse et signe moins

Difficile

Résoudre 3(2x−1)−5>2−(x+4)3(2x-1)-5\gt 2-(x+4).

  1. Développer les deux membres.
  2. Réduire.
  3. Isoler xx.
  4. Contrôler avec une valeur proche de la borne.
Indication

À droite, 2−(x+4)=2−x−42-(x+4)=2-x-4.

Voir le corrigé
  1. Le membre gauche vaut 6x−86x-8 et le droit −x−2-x-2.
  2. 6x−8>−x−26x-8\gt -x-2.
  3. 7x>67x\gt 6, donc x>6/7x\gt 6/7.
  4. La valeur x=1x=1 convient ; x=0x=0 ne convient pas.

Exercice 6 : Fraction sans décimale

Difficile

Résoudre (2x−1)/3−(x+2)/2≤1(2x-1)/3-(x+2)/2 \leq 1.

  1. Multiplier par un dénominateur commun positif.
  2. Réduire l'inéquation.
  3. Résoudre.
  4. Expliquer pourquoi le sens ne change pas lors de la suppression des dénominateurs.
  5. Vérifier la borne.
Indication

Multipliez par 66, qui est positif.

Voir le corrigé
  1. 2(2x−1)−3(x+2)≤62(2x-1)-3(x+2) \leq 6.
  2. 4x−2−3x−6≤64x-2-3x-6 \leq 6, donc x−8≤6x-8 \leq 6.
  3. x≤14x \leq 14.
  4. Le multiplicateur 66 est positif, donc le sens est conservé.
  5. Pour x=14x=14, les deux membres de l'inéquation transformée sont égaux.

Représenter et vérifier un ensemble de solutions

La nature stricte ou large de l'inégalité détermine si la borne appartient à l'ensemble.

Exercice 7 : Lire une demi-droite

Facile

Une demi-droite colorée part de −2-2 avec un point non rempli et s'étend vers la droite.

  1. Écrire l'inéquation correspondante.
  2. Dire si −2-2 est solution.
  3. Donner deux solutions et une non-solution.
Indication

Le point vide exclut la borne.

Voir le corrigé
  1. L'inéquation est x>−2x\gt -2.
  2. −2-2 n'est pas solution.
  3. Par exemple, 00 et 55 conviennent, tandis que −3-3 ne convient pas.

Exercice 8 : Copie avec sens oublié

Moyen

Pour résoudre −3x≤15-3x \leq 15, Tom écrit x≤−5x \leq -5.

  1. Localiser l'erreur.
  2. Donner la solution correcte.
  3. Tester x=0x=0.
  4. Expliquer pourquoi ce test réfute déjà la réponse de Tom.
Indication

La division s'effectue par −3-3.

Voir le corrigé
  1. Tom n'a pas inversé le sens.
  2. La solution correcte est x≥−5x \geq -5.
  3. Pour x=0x=0, on obtient 0≤150 \leq15, donc cette valeur convient.
  4. La réponse de Tom exclut 00, pourtant solution ; elle est donc fausse.

Exercice 9 : Deux écritures à comparer

Moyen

Comparer les solutions de (2-5x<12) et de (5x>-10).

  1. Résoudre la première.
  2. Résoudre la seconde.
  3. Comparer les ensembles.
  4. Expliquer l'équivalence des transformations.
Indication

Dans la première, soustrayez 22, puis multipliez éventuellement par −1-1.

Voir le corrigé
  1. (-5x<10), donc (x>-2).
  2. 5x>−105x\gt -10, donc x>−2x\gt -2.
  3. Les deux ensembles sont identiques.
  4. Passer de (-5x<10) à (5x>-10) multiplie les deux membres par −1-1 et inverse le sens.

Modéliser une contrainte

Une inéquation répond à une question de seuil, de budget, de capacité ou de durée maximale.

Exercice 10 : Budget de sorties

Moyen

Une carte coûte 1212 euros puis chaque entrée 4,504{,}50 euros. On dispose de 3939 euros.

  1. Définir le nombre entier nn d'entrées.
  2. Écrire la contrainte budgétaire.
  3. Résoudre dans les réels.
  4. Donner le nombre maximal entier d'entrées.
Indication

Le coût total ne doit pas dépasser le budget.

Voir le corrigé
  1. nn désigne un nombre d'entrées, donc un entier naturel.
  2. 12+4,5n≤3912+4{,}5n \leq39.
  3. 4,5n≤274{,}5n \leq27, donc n≤6n \leq6.
  4. On peut acheter au maximum 66 entrées.

Exercice 11 : Charge d’un ascenseur

Difficile

Un ascenseur supporte au plus 630630 kg. Il transporte déjà 8282 kg de matériel et des personnes estimées à 6868 kg chacune.

  1. Écrire l'inéquation pour pp personnes.
  2. Résoudre.
  3. Tenir compte du caractère entier.
  4. Calculer la marge avec le nombre maximal.
  5. Dire ce que le modèle ne garantit pas.
Indication

La masse totale doit rester inférieure ou égale à 630630.

Voir le corrigé
  1. 82+68p≤63082+68p \leq630.
  2. 68p≤54868p \leq548, donc p≤548/68≈8,06p \leq548/68\approx8{,}06.
  3. Le nombre maximal entier est 88.
  4. Avec huit personnes, la masse estimée vaut 626626 kg, marge 44 kg.
  5. Les masses réelles peuvent différer de l'estimation ; il faut respecter les indications réglementaires de l'appareil.

Exercice 12 : Deux forfaits

Difficile

Le forfait A coûte 1818 euros plus 0,080{,}08 euro par minute. Le forfait B coûte 2727 euros sans supplément jusqu'à la durée étudiée.

  1. Écrire les coûts en fonction de mm.
  2. Résoudre quand A est au plus aussi cher que B.
  3. Interpréter la borne.
  4. Comparer pour 9090 et 150150 minutes.
Indication

Résolvez 18+0,08m≤2718+0{,}08m \leq27.

Voir le corrigé
  1. A(m)=18+0,08mA(m)=18+0{,}08m et B(m)=27B(m)=27.
  2. 0,08m≤90{,}08m \leq9, donc m≤112,5m \leq112{,}5.
  3. Pour une durée entière, A est au plus aussi cher jusqu'à 112112 minutes ; à 112,5112{,}5, les coûts sont égaux.
  4. À 9090 min, A coûte 25,2025{,}20 euros et est préférable ; à 150150 min, A coûte 3030 euros, donc B est préférable.
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