Une inéquation en 3ème ne cherche pas toujours une valeur unique. Elle décrit toutes les valeurs qui rendent une comparaison vraie, par exemple un budget à ne pas dépasser ou une longueur strictement positive.
Les transformations ressemblent à celles d'une équation, avec une précaution décisive : multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité. Le résultat doit ensuite être lu comme un ensemble et représenté sans ambiguïté.
Inégalité, inéquation et ensemble de solutions
Inéquation
Une inéquation est une inégalité contenant une inconnue. Résoudre consiste à trouver toutes les valeurs qui rendent l'inégalité vraie. Les symboles et sont stricts ; et incluent l'égalité.
La valeur est solution de , tandis que ne l'est pas. Le choix d'un point vide ou plein traduit cette différence sur la droite graduée.
Ajouter ou soustraire conserve le sens
Translation d’une inégalité
Ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres conserve le sens de l'inégalité. Sur une droite graduée, les deux nombres sont déplacés de la même distance.
La division finale est faite par 3, nombre positif, donc le sens reste inchangé. On vérifie avec une valeur autorisée, par exemple , puis une valeur refusée comme .
Multiplier ou diviser par un négatif inverse le sens
Changement de sens
Si l'on multiplie ou divise les deux membres d'une inégalité par un nombre strictement négatif, le symbole devient , et devient , ou inversement.
Pourquoi ? Comme , leurs opposés sont rangés dans l'ordre inverse : . La multiplication par un nombre négatif combine un changement d'échelle et une symétrie par rapport à zéro.
Erreur fréquente : le sens ne change pas lorsqu'on ajoute ou soustrait un nombre négatif. Il change uniquement lors d'une multiplication ou d'une division par un nombre strictement négatif.
Développer et regrouper avant d’isoler x
Avec des parenthèses et une inconnue dans les deux membres, on développe, on réduit, puis on regroupe comme dans une équation. Le sens ne change que si la dernière division se fait par un coefficient négatif.
Ici, aucune division par un nombre négatif n'est nécessaire. Les transformations du calcul littéral doivent être terminées avant d'interpréter l'ensemble.
Représenter les solutions sur une droite graduée
| Résultat | Point frontière | Direction |
|---|---|---|
| vide en 4 | vers la gauche | |
| plein en 4 | vers la gauche | |
| vide en 4 | vers la droite | |
| plein en 4 | vers la droite |
La direction se contrôle avec un nombre simple. Si , la valeur doit appartenir à la zone coloriée ; elle se trouve à gauche de . Ce test empêche de suivre mécaniquement la pointe du symbole.
Traduire une contrainte par une inéquation
Une salle facture 85 € de réservation puis 12 € par participant. Le budget ne doit pas dépasser 325 €. Si désigne le nombre de participants, la contrainte est .
Comme représente un nombre de personnes, on retient les entiers positifs ou nuls jusqu'à 20. L'ensemble mathématique obtenu doit donc être adapté au contexte.
Vérifier une frontière et éviter les automatismes
La valeur frontière se teste dans l'inéquation initiale. Pour , la valeur 6 donne l'égalité et doit être incluse. Avec , elle serait exclue. Tester une valeur de chaque côté confirme la direction.
- Développer et réduire les deux membres.
- Regrouper les termes en et les constantes.
- Repérer le signe du coefficient par lequel on divise.
- Écrire puis représenter l'ensemble des solutions.
- Tester la frontière et une valeur intérieure.
Les exercices corrigés sur équations et inéquations permettent de comparer les deux démarches et de repérer exactement l'étape qui les distingue.
Astuce : annoncer à voix basse « je divise par un nombre négatif » juste avant l'inversion du symbole rend ce geste conscient et contrôlable.
Encadrer une grandeur avec deux contraintes
Un colis doit peser au moins 2 kg et strictement moins de 5 kg. Si est sa masse, les deux conditions s'écrivent . La représentation est un segment de demi-droite avec un point plein en 2 et un point vide en 5.
Pour une expression, résoudre revient à appliquer les mêmes opérations aux trois membres : ajouter 1, puis diviser par 3.
Une double inégalité regroupe deux contraintes compatibles. Les séparer en et , puis prendre leur intersection, donne le même ensemble.
Comparer deux tarifs par une inéquation
Une offre A coûte euros et une offre B euros pour unités. Chercher quand A est moins chère revient à résoudre .
Pour une quantité entière positive, A est moins chère de 1 à 5 unités. À 6, les prix sont égaux ; au-delà, B devient moins chère. Le symbole strict traduit exactement la question « moins chère ».
Si la question avait demandé « moins chère ou égale », le symbole serait et la valeur 6 serait incluse. Le vocabulaire de l'énoncé décide donc du point plein ou vide sur la représentation.
Lorsque représente une quantité continue, toutes les valeurs réelles positives de la zone conviennent ; lorsqu'il compte des objets, on ne retient que les entiers.
La réponse finale doit donc préciser à la fois l'inégalité résolue et les valeurs admissibles dans la situation.
Inéquations 3ème : l’essentiel à retenir
Résoudre une inéquation consiste à préserver une comparaison tout en isolant l'inconnue. Les additions et soustractions conservent le sens ; une multiplication ou division par un nombre négatif l'inverse. Le résultat décrit un ensemble que l'on contrôle par la frontière, un point test et une représentation cohérente.
Cette progression correspond aux repères annuels de progression de mathématiques pour le cycle 4 et relie calcul littéral, ordre des nombres et résolution de problèmes.