Trigonométrie 3ème : cosinus, sinus et tangente

La trigonométrie en 3ème relie les angles aigus et les rapports de longueurs dans un triangle rectangle. Cosinus, sinus et tangente permettent de calculer une longueur inaccessible ou un angle à partir de mesures connues.

Le choix de la formule vient des côtés présents dans l'énoncé. L'hypoténuse dépend de l'angle droit ; le côté opposé et le côté adjacent dépendent de l'angle aigu étudié.

Table des Matières

Repérer les trois côtés par rapport à un angle

Côtés relatifs à un angle aigu

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est opposée à l'angle droit. Pour un angle aigu $\alpha$ , le côté opposé ne touche pas $\alpha$ ; le côté adjacent touche $\alpha$ sans être l'hypoténuse.

Triangle rectangle repérant opposé adjacent et hypoténuse — Opposé et adjacent changent lorsque l'angle aigu de référence change ; l'hypoténuse reste la même.

Erreur fréquente : nommer opposé et adjacent avant d'avoir entouré l'angle étudié conduit à des inversions.

Définir cosinus, sinus et tangente

Rapports trigonométriques

Dans un triangle rectangle, $\cos\alpha=\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ , $\sin\alpha=\frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$ et $\tan\alpha=\frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$ .

Rapport	Côtés utilisés	Mémo
sinus	opposé / hypoténuse	SOH
cosinus	adjacent / hypoténuse	CAH
tangente	opposé / adjacent	TOA

Le mémo aide après l'identification des côtés. Il ne remplace pas le dessin annoté ni la justification que le triangle est rectangle.

Choisir le bon rapport

On connaît l'angle, l'hypoténuse et on cherche le côté opposé : sinus utilise exactement ces deux côtés. On connaît opposé et adjacent sans hypoténuse : tangente évite une étape inutile.

Méthode de choix

Entourer l'angle, nommer les trois côtés, barrer le côté absent du problème, puis choisir le rapport qui utilise les deux côtés restants.

Astuce : écrire la formule avec les noms des segments avant de remplacer par les nombres protège l'ordre du quotient.

Calculer une longueur avec un angle

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse mesure 12 cm et un angle aigu 38°. Le côté opposé $x$ vérifie $\sin38^\circ=x/12$ .

x=12\sin38^\circ\approx7,39\text{ cm}.

La longueur trouvée est inférieure à l'hypoténuse, ce qui est cohérent. La calculatrice doit être en mode degré, indiqué souvent par DEG.

Calculer un angle avec une fonction inverse

Dans un triangle rectangle, le côté opposé à $\alpha$ mesure 6 cm et l'adjacent 9 cm. On utilise la tangente, puis sa fonction inverse.

\tan\alpha=\frac69=\frac23 \Longrightarrow \alpha=\arctan\left(\frac23\right)\approx33,7^\circ.

L'angle est aigu et le côté opposé est plus court que l'adjacent ; un angle inférieur à 45° est donc plausible. Sur la calculatrice, la fonction inverse peut apparaître comme $\tan^{-1}$ , sans signifier l'inverse du nombre tangente.

Conserver les valeurs et arrondir au bon moment

Lorsqu'un problème comporte plusieurs étapes, garder la valeur complète dans la calculatrice et n'arrondir qu'à la fin. Réutiliser une longueur arrondie peut déplacer le résultat final.

Une égalité trigonométrique exacte devient une approximation seulement après l'utilisation d'une valeur décimale ou l'arrondi d'un angle. Les symboles $=$ et $\approx$ doivent refléter cette différence.

Erreur fréquente : un résultat d'angle obtenu en radians est incohérent avec une question en degrés. Vérifier le mode avant de recommencer tout le calcul.

Résoudre une mesure indirecte

Depuis un point situé à 28 m du pied d'un bâtiment, l'angle d'élévation vers le sommet vaut 41°. Si les yeux de l'observateur sont à 1,65 m du sol, la différence de hauteur $h$ vérifie $\tan41^\circ=h/28$ .

H=28\tan41^\circ+1,65\approx25,99\text{ m}.

Ajouter la hauteur des yeux est une étape liée au schéma, pas à la trigonométrie elle-même. Un dessin indiquant l'horizontale et l'angle évite de mesurer depuis le mauvais point.

Le cours complet de trigonométrie approfondit ces rapports, et les exercices corrigés entraînent le choix de la formule dans des contextes variés.

Angles complémentaires et contrôles trigonométriques

Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires. Si l'un mesure $\alpha$ , l'autre mesure $90^\circ-\alpha$ . Le côté opposé au premier devient adjacent au second.

\sin\alpha=\cos(90^\circ-\alpha),\qquad \cos\alpha=\sin(90^\circ-\alpha).

Ces relations offrent un contrôle. Dans un triangle 3-4-5, pour l'angle opposé au côté 3, le sinus vaut $3/5$ . Pour l'autre angle, le cosinus vaut aussi $3/5$ .

De plus, sinus et cosinus d'un angle aigu sont compris entre 0 et 1. Une calculatrice qui renvoie 1,4 pour un cosinus signale une mauvaise division ou une mauvaise saisie.

Pente et angle d’inclinaison

Une route monte de 7 m pour un déplacement horizontal de 120 m. Sa pente en pourcentage vaut $7/120\times100\approx5,83\%$ . L'angle $\alpha$ avec l'horizontale vérifie $\tan\alpha=7/120$ .

\alpha=\arctan\left(\frac7{120}\right)\approx3,34^\circ.

Un pourcentage de pente et un angle en degrés ne sont donc pas le même nombre. La tangente relie les deux descriptions dans le triangle rectangle formé par dénivelé et distance horizontale.

Pour une faible inclinaison, les valeurs numériques peuvent sembler proches, mais cette proximité n'autorise pas à les confondre. Une pente de 100 % correspond à $\tan\alpha=1$ , donc à un angle de 45°, et non de 100°.

Trigonométrie 3ème : l’essentiel à retenir

La trigonométrie commence par un triangle rectangle et un angle de référence. Après avoir nommé opposé, adjacent et hypoténuse, on choisit le rapport contenant les données et l'inconnue. Les fonctions inverses donnent les angles, toujours en mode degré et avec un contrôle géométrique.

Ces méthodes suivent les repères annuels de progression de mathématiques pour le cycle 4 et complètent Pythagore pour les mesures indirectes.