Trigonométrie 3ème : 14 exercices corrigés

Ces exercices corrigés de trigonométrie en 3ème apprennent à choisir entre cosinus, sinus et tangente selon les côtés connus. Le cours de trigonométrie de 3ème organise ce choix.

Un calcul de longueur peut être contrôlé grâce au théorème de Pythagore. Les corrections conservent la valeur affichée par la calculatrice jusqu'au dernier arrondi et rappellent le mode degré.

Identifier les côtés et choisir le bon rapport

Le côté opposé ou adjacent dépend de l'angle étudié. L'hypoténuse, elle, reste toujours le côté opposé à l'angle droit.

Exercice 1 : Nommer les côtés par rapport à un angle

Facile

Le triangle ABCABC est rectangle en BB. On étudie l'angle A^\widehat A.

  1. Nommer l'hypoténuse.
  2. Nommer le côté opposé à A^\widehat A.
  3. Nommer le côté adjacent à A^\widehat A.
  4. Écrire sin⁡A\sin A, cos⁡A\cos A et tan⁡A\tan A avec les longueurs.
Indication

Commencez par le côté opposé à l'angle droit BB, puis placez-vous mentalement au sommet AA.

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  1. L'hypoténuse est ACAC.
  2. Le côté opposé à A^\widehat A est BCBC.
  3. Le côté adjacent est ABAB.
  4. sin⁡A=BC/AC\sin A=BC/AC, cos⁡A=AB/AC\cos A=AB/AC et tan⁡A=BC/AB\tan A=BC/AB.

Exercice 2 : Choisir sans calculer

Facile

Dans un triangle rectangle, on cherche une longueur xx. Pour chaque cas, choisir le rapport adapté : a) on connaît l'angle, l'hypoténuse et on cherche l'opposé ; b) on connaît l'angle, l'adjacent et on cherche l'hypoténuse ; c) on connaît l'angle, l'adjacent et on cherche l'opposé.

  1. Associer chaque cas à sinus, cosinus ou tangente, avec une justification courte.
Indication

Repérez les deux types de côtés présents dans chaque question.

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a) Le sinus relie opposé et hypoténuse. b) Le cosinus relie adjacent et hypoténuse. c) La tangente relie opposé et adjacent.

Exercice 3 : Corriger un rapport inversé

Moyen

Dans DEFDEF rectangle en EE, un élève écrit cos⁡D=DF/DE\cos D=DF/DE.

  1. Identifier l'hypoténuse.
  2. Écrire le rapport correct.
  3. Expliquer comment une estimation permet de repérer l'erreur de l'élève.
Indication

Le cosinus d'un angle aigu est compris entre 00 et 11.

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  1. L'hypoténuse est DFDF, opposée à l'angle droit EE.
  2. cos⁡D=DE/DF\cos D=DE/DF.
  3. Le quotient DF/DEDF/DE est supérieur à 11, puisqu'une hypoténuse est plus longue que le côté DEDE. Il ne peut donc pas être un cosinus d'angle aigu.

Calculer une longueur avec sinus, cosinus ou tangente

La calculatrice doit être réglée en degrés. On écrit d'abord une égalité exacte, puis on isole la longueur avant d'arrondir.

Exercice 4 : Côté adjacent avec le cosinus

Facile

Le triangle GHIGHI est rectangle en HH, GI=12GI=12 cm et G^=35\widehat G=35 degrés.

  1. Écrire le rapport utilisant GHGH et GIGI.
  2. Calculer GHGH au millimètre.
Indication

GIGI est l'hypoténuse et GHGH est adjacent à l'angle GG.

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  1. cos⁡35∘=GH/12\cos35^{\circ}=GH/12.
  2. GH=12cos⁡35∘≈9,83GH=12\cos35^{\circ}\approx9{,}83 cm, soit 9,89{,}8 cm au millimètre.

Exercice 5 : Côté opposé avec le sinus

Moyen

Le triangle JKLJKL est rectangle en KK, JL=15JL=15 cm et J^=28\widehat J=28 degrés.

  1. Identifier le côté opposé à J^\widehat J.
  2. Écrire l'égalité trigonométrique.
  3. Calculer la longueur au centième.
Indication

Le sinus relie le côté opposé KLKL à l'hypoténuse JLJL.

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  1. Le côté opposé est KLKL.
  2. sin⁡28∘=KL/15\sin28^{\circ}=KL/15.
  3. KL=15sin⁡28∘≈7,04KL=15\sin28^{\circ}\approx7{,}04 cm.

Exercice 6 : Hauteur avec la tangente

Moyen

Dans un triangle rectangle, le côté adjacent à un angle de 4141 degrés mesure 1010 m.

  1. Écrire la tangente de l'angle en notant hh le côté opposé.
  2. Calculer hh au centième.
  3. Contrôler si hh doit être inférieur ou supérieur à 1010 m.
Indication

Comme 4141 degrés est inférieur à 4545 degrés, sa tangente est inférieure à 11.

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  1. tan⁡41∘=h/10\tan41^{\circ}=h/10.
  2. h=10tan⁡41∘≈8,69h=10\tan41^{\circ}\approx8{,}69 m.
  3. Le résultat est inférieur à 1010 m, cohérent avec tan⁡41∘<1\tan41^{\circ}\lt1.

Exercice 7 : Retrouver l’hypoténuse

Moyen

Le côté opposé à un angle de 3232 degrés mesure 66 cm dans un triangle rectangle.

  1. Noter cc l'hypoténuse et écrire le sinus.
  2. Isoler cc.
  3. Calculer cc au dixième.
  4. Vérifier que l'hypoténuse est bien le plus grand côté connu.
Indication

Si sin⁡32∘=6/c\sin32^{\circ}=6/c, on multiplie par cc, puis on divise par sin⁡32∘\sin32^{\circ}.

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  1. sin⁡32∘=6/c\sin32^{\circ}=6/c.
  2. c=6/sin⁡32∘c=6/\sin32^{\circ}.
  3. c≈11,3c\approx11{,}3 cm.
  4. 11,3>611{,}3\gt6, comme attendu pour une hypoténuse.

Calculer un angle aigu

La touche inverse arcsin⁡\arcsin, arccos⁡\arccos ou arctan⁡\arctan transforme un rapport de longueurs en angle. Le choix dépend encore des côtés connus.

Exercice 8 : Angle avec l’adjacent et l’hypoténuse

Facile

Dans un triangle rectangle, le côté adjacent à l'angle α\alpha mesure 88 cm et l'hypoténuse 1313 cm.

  1. Écrire cos⁡α\cos\alpha.
  2. Calculer α\alpha au degré près.
Indication

Utilisez la fonction arccos⁡\arccos en mode degrés.

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  1. cos⁡α=8/13\cos\alpha=8/13.
  2. α=arccos⁡(8/13)≈52\alpha=\arccos(8/13)\approx52 degrés.

Exercice 9 : Angle avec les deux côtés de l’angle droit

Moyen

Par rapport à l'angle β\beta, le côté opposé mesure 77 m et l'adjacent 1212 m.

  1. Choisir le rapport adapté.
  2. Calculer β\beta au dixième de degré.
  3. Calculer l'autre angle aigu sans nouvelle trigonométrie.
Indication

La tangente utilise directement l'opposé et l'adjacent. Les deux angles aigus sont complémentaires.

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  1. tan⁡β=7/12\tan\beta=7/12.
  2. β=arctan⁡(7/12)≈30,3\beta=\arctan(7/12)\approx30{,}3 degrés.
  3. L'autre angle mesure environ 90−30,3=59,790-30{,}3=59{,}7 degrés.

Exercice 10 : Angle à partir d’un sinus

Moyen

Le côté opposé à γ\gamma mesure 99 cm et l'hypoténuse 1515 cm.

  1. Simplifier le rapport 9/159/15.
  2. Calculer γ\gamma au dixième.
  3. Vérifier que le résultat est compatible avec un rapport inférieur à 1/21/\sqrt2.
Indication

1/21/\sqrt2 correspond au sinus de 4545 degrés.

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  1. 9/15=3/5=0,69/15=3/5=0{,}6.
  2. γ=arcsin⁡(0,6)≈36,9\gamma=\arcsin(0{,}6)\approx36{,}9 degrés.
  3. Comme 0,6<1/2≈0,7070{,}6\lt1/\sqrt2\approx0{,}707, l'angle est bien inférieur à 4545 degrés.

Exercice 11 : Un angle impossible

Moyen

Un élève affirme qu'un triangle rectangle possède un angle aigu θ\theta tel que cos⁡θ=14/9\cos\theta=14/9.

  1. Expliquer l'impossibilité à partir de la longueur de l'hypoténuse.
  2. Expliquer l'impossibilité à partir de l'intervalle des valeurs du cosinus.
  3. Proposer le rapport probablement inversé.
Indication

Dans adjacent sur hypoténuse, le numérateur ne peut pas dépasser le dénominateur.

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  1. Le côté adjacent ne peut pas mesurer 1414 si l'hypoténuse mesure 99.
  2. Le cosinus d'un angle aigu appartient à ]0;1[]0;1[, alors que 14/9>114/9\gt1.
  3. Le rapport plausible est 9/149/14, si 99 est l'adjacent et 1414 l'hypoténuse.

Modéliser une pente, une hauteur ou une visée

Le dessin doit isoler un triangle rectangle et préciser si la hauteur des yeux ou un dénivelé doit être ajouté au résultat trigonométrique.

Exercice 12 : Rampe d’accès

Moyen

Une rampe rectiligne de 88 m forme un angle de 66 degrés avec l'horizontale.

  1. Identifier le côté représentant la rampe.
  2. Calculer le dénivelé au centimètre.
  3. Calculer la longueur horizontale au centimètre.
Indication

La rampe est l'hypoténuse ; le dénivelé est opposé à l'angle de 66 degrés.

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  1. La rampe de 88 m est l'hypoténuse.
  2. Le dénivelé vaut 8sin⁡6∘≈0,848\sin6^{\circ}\approx0{,}84 m, soit environ 8484 cm.
  3. La longueur horizontale vaut 8cos⁡6∘≈7,968\cos6^{\circ}\approx7{,}96 m.

Exercice 13 : Hauteur d’un arbre avec un angle de visée

Difficile

Une personne se tient à 1212 m du pied d'un arbre. Ses yeux sont à 1,651{,}65 m du sol et l'angle de visée vers le sommet est de 3838 degrés. Le sol est horizontal.

  1. Calculer la différence de hauteur entre les yeux et le sommet.
  2. En déduire la hauteur totale de l'arbre.
  3. Arrondir au dixième de mètre.
Indication

La tangente donne seulement la hauteur au-dessus du niveau des yeux ; il faut ensuite ajouter 1,651{,}65 m.

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  1. h=12tan⁡38∘≈9,38h=12\tan38^{\circ}\approx9{,}38 m.
  2. La hauteur totale vaut 9,38+1,65≈11,039{,}38+1{,}65\approx11{,}03 m.
  3. L'arbre mesure environ 11,011{,}0 m.

Exercice 14 : Angle de dépression depuis un phare

Difficile

La lumière d'un phare est située à 3232 m au-dessus de la mer. Un bateau se trouve à 7575 m horizontalement du pied du phare.

  1. Calculer l'angle de dépression vers le bateau au dixième.
  2. Calculer la distance directe entre la lumière et le bateau.
  3. Vérifier cette distance par le théorème de Pythagore.
Indication

L'angle de dépression est égal à l'angle d'élévation vu du bateau, car les horizontales sont parallèles.

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  1. tan⁡α=32/75\tan\alpha=32/75, donc α≈23,1\alpha\approx23{,}1 degrés.
  2. cos⁡α=75/d\cos\alpha=75/d, donc d≈81,5d\approx81{,}5 m.
  3. 752+322=6649≈81,5\sqrt{75^2+32^2}=\sqrt{6649}\approx81{,}5 m, ce qui confirme le résultat.
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