Fonctions 3ème : images, antécédents, tableaux et graphiques

Une fonction comme règle d’association

Si $f(x)=2x^2-3$, alors la règle consiste à élever l'entrée au carré, multiplier par 2 puis soustraire 3. Une fonction ne se réduit pas à sa formule : un tableau ou un graphique peut aussi définir les valeurs disponibles.

Calculer l’image d’un nombre par une formule

Calculer l'image de $-2$ par $f(x)=2x^2-3$ consiste à remplacer chaque $x$ par $-2$, entre parenthèses.

On dit que 5 est l'image de $-2$, ou que $-2$ est un antécédent de 5. Le signe négatif appartient ici à la valeur substituée ; oublier les parenthèses changerait le carré.

Erreur fréquente : $f(x)$ ne signifie pas $f\times x$. C'est la notation de la valeur produite par la fonction pour l'entrée $x$.

Chercher un ou plusieurs antécédents

Chercher les antécédents de 5 par la même fonction revient à résoudre $f(x)=5$. On obtient $2x^2-3=5$, donc $x^2=4$, puis $x=-2$ ou $x=2$.

Astuce : pour retenir le vocabulaire, lire $f(2)=5$ dans les deux sens : l'image de 2 est 5 ; un antécédent de 5 est 2.

Lire une fonction dans un tableau de valeurs

Dans ce tableau, $g(-1)=1$. L'image de 2 est 3. L'antécédent de $-1$ visible dans le tableau est 0. Pour chercher les antécédents de 7, on parcourt la ligne des images et on remonte vers la valeur de $x$, ici $-3$.

Le tableau ne donne que les valeurs affichées. Il serait abusif d'affirmer qu'une valeur n'a aucun autre antécédent sans connaître la règle complète ou la courbe.

Lire images et antécédents sur une courbe

Pour lire l'image de $a$, on part de $a$ sur l'axe horizontal, on rejoint verticalement la courbe puis on lit horizontalement l'ordonnée. Pour chercher les antécédents de $b$, on part de $b$ sur l'axe vertical, on trace mentalement une horizontale et on relève toutes les abscisses des points d'intersection.

Une horizontale peut couper la courbe plusieurs fois, ce qui explique les antécédents multiples. Une verticale ne doit jamais couper la représentation d'une fonction en plusieurs points pour la même abscisse.

Erreur fréquente : une lecture graphique est généralement approchée. Employer $\approx$ si le point ne tombe pas exactement sur une graduation.

Construire un tableau de valeurs puis une représentation

Pour représenter $h(x)=-x^2+4$, on choisit des valeurs de $x$, calcule leurs images puis place les points $(x;h(x))$. Des pas plus petits donnent une courbe plus précise.

Le tableau montre une symétrie : les entrées opposées ont la même image. Cette observation ne doit pas être généralisée à toutes les fonctions ; elle vient ici de la présence de $x^2$.

Modéliser une situation et choisir une représentation

Un service de location facture 18 € fixes puis 6 € par heure. Le prix pour $x$ heures est $P(x)=6x+18$. La formule calcule un prix précis, le tableau compare quelques durées et le graphique permet de repérer rapidement quand un budget est dépassé.

Cette situation n'est pas proportionnelle car $P(0)=18$, pas 0. Elle se compare au cas de la fonction carré, dont la formule et la courbe obéissent à une autre structure. Pour une tarification sans montant fixe, on obtiendrait une fonction linéaire.

Les méthodes d'étude d'une fonction prolongent ensuite ce vocabulaire à des représentations plus générales.

Domaine d’une fonction et valeurs autorisées

Une formule ne produit pas toujours une image pour tout nombre. La fonction $q(x)=1/(x-3)$ n'est pas définie pour $x=3$, car son dénominateur serait nul. La fonction $r(x)=\sqrt{x+2}$ exige $x\geq-2$ dans les nombres réels.

Le domaine est l'ensemble des entrées autorisées. Dans une situation concrète, il peut être encore plus restreint : une durée est positive, un nombre d'objets est entier, et une longueur doit respecter la géométrie du problème.

Astuce : chercher l'image d'une valeur interdite ne donne pas zéro. La fonction n'est simplement pas définie pour cette entrée.

Avant un tableau de valeurs, vérifier le domaine évite des erreurs de calculatrice et des points qui n'appartiennent pas réellement à la courbe.

Résoudre graphiquement une égalité entre deux fonctions

Pour chercher les valeurs de $x$ telles que $f(x)=g(x)$, on repère les points d'intersection de leurs courbes et on lit leurs abscisses. L'ordonnée commune donne alors la valeur partagée.

La lecture est approchée si l'intersection ne tombe pas sur une graduation. Avec les formules, on peut résoudre l'équation $f(x)=g(x)$ pour obtenir une valeur exacte. Les deux approches se contrôlent mutuellement.

Erreur fréquente : l'abscisse de l'intersection est la solution de l'égalité des fonctions ; son ordonnée est leur valeur commune.

Fonctions 3ème : l’essentiel à retenir

Une fonction associe une image unique à chaque entrée. Calculer une image suit le sens de la règle ; chercher un antécédent revient à résoudre une équation ou à lire les intersections horizontales d'une courbe. Formule, tableau et graphique décrivent le même objet avec des usages différents.

Ce vocabulaire et ces lectures correspondent aux repères annuels de progression de mathématiques pour le cycle 4 et préparent l'étude des fonctions linéaires et affines.