Fonctions 3ème : 12 exercices corrigés

Ces exercices corrigés sur les fonctions en 3ème apprennent à distinguer image et antécédent, puis à passer d'une formule à un tableau ou un graphique. Le cours général sur les fonctions fournit le vocabulaire.

Le calcul d'une image exige une substitution rigoureuse, déjà travaillée dans le calcul littéral. Les lectures graphiques sont annoncées comme approchées lorsqu'elles ne donnent pas une valeur exacte.

Calculer une image et rechercher un antécédent

L'image de xx s'obtient en remplaçant la variable dans la formule. Chercher un antécédent revient à résoudre une équation dont le résultat est imposé.

Exercice 1 : Images avec signes et carré

Facile

Soit f(x)=2x2−3x+1f(x)=2x^2-3x+1. Calculer f(0)f(0), f(−2)f(-2) et f(12)f\left(\dfrac12\right).

  1. Effectuer les trois substitutions.
  2. Préciser l'image de −2-2 par une phrase complète.
Indication

Conservez des parenthèses autour d'une valeur négative ou fractionnaire.

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  1. f(0)=1f(0)=1, f(−2)=8+6+1=15f(-2)=8+6+1=15 et f(12)=12−32+1=0f\left(\dfrac12\right)=\dfrac12-\dfrac32+1=0.
  2. L'image de −2-2 par ff est 1515.

Exercice 2 : Antécédent pour une fonction affine

Moyen

On définit g(x)=5−3xg(x)=5-3x.

  1. Trouver l'antécédent de 1717.
  2. Trouver l'antécédent de 00.
  3. Vérifier les deux résultats par substitution.
Indication

Résolvez successivement g(x)=17g(x)=17 et g(x)=0g(x)=0.

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  1. 5−3x=175-3x=17 donne x=−4x=-4.
  2. 5−3x=05-3x=0 donne x=53x=\dfrac53.
  3. g(−4)=17g(-4)=17 et g(53)=0g\left(\dfrac53\right)=0.

Exercice 3 : Un nombre peut avoir deux antécédents

Moyen

La fonction hh est définie par h(x)=x2−4h(x)=x^2-4.

  1. Déterminer les antécédents de 55.
  2. Déterminer l'antécédent de −4-4.
  3. Expliquer pourquoi −5-5 n'a aucun antécédent réel.
Indication

Chaque recherche conduit à une équation du type x2=ax^2=a.

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  1. x2−4=5x^2-4=5 donne x2=9x^2=9, donc −3-3 et 33.
  2. x2−4=−4x^2-4=-4 donne l'unique solution x=0x=0.
  3. x2−4=−5x^2-4=-5 imposerait x2=−1x^2=-1, impossible dans les réels.

Lire et compléter un tableau de valeurs

Un tableau associe chaque entrée à une sortie. Il permet de lire des images et des antécédents sans connaître nécessairement une formule.

Exercice 4 : Compléter un tableau à partir d’une formule

Facile

Pour p(x)=x2−2x−3p(x)=x^2-2x-3, compléter le tableau :

xx−2-200113355
p(x)p(x)
  1. Calculer les cinq images.
  2. Repérer les antécédents de −3-3 visibles dans ce tableau.
  3. Repérer une valeur de xx dont l'image est nulle.
Indication

Calculez chaque colonne séparément et relisez les résultats horizontalement.

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  1. Les images sont 55, −3-3, −4-4, 00 et 1212.
  2. Dans ce tableau, −3-3 a pour antécédent 00.
  3. La valeur 33 a pour image 00.

Exercice 5 : Interpréter un tableau incomplet

Moyen
xx−4-4−1-12255
q(x)q(x)3−2-238
  1. Donner l'image de −1-1.
  2. Lister les antécédents de 33 visibles dans le tableau.
  3. Peut-on affirmer que 33 n'a aucun autre antécédent ? Justifier.
  4. Peut-on calculer q(0)q(0) avec ces seules données ?
Indication

Un tableau limité ne décrit que les valeurs affichées, sauf information supplémentaire sur la fonction.

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  1. q(−1)=−2q(-1)=-2.
  2. Les antécédents visibles de 33 sont −4-4 et 22.
  3. Non : le tableau ne montre peut-être qu'une partie du domaine.
  4. Non, car la colonne x=0x=0 n'est pas donnée et aucune formule n'est fournie.

Exercice 6 : Détecter une valeur incohérente

Moyen

Pour r(x)=−2x+7r(x)=-2x+7, un tableau annonce r(−1)=5r(-1)=5, r(2)=3r(2)=3 et r(4)=−1r(4)=-1.

  1. Recalculer les trois images.
  2. Identifier la donnée erronée et la corriger.
Indication

Avec x=−1x=-1, le produit −2×(−1)-2\times(-1) est positif.

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  1. r(−1)=9r(-1)=9, r(2)=3r(2)=3 et r(4)=−1r(4)=-1.
  2. La première valeur est fausse : il faut remplacer 55 par 99.

Exploiter une représentation graphique décrite par des points

Sur une courbe, l'ordonnée d'un point donne une image. Une droite horizontale peut rencontrer la courbe plusieurs fois et révéler plusieurs antécédents.

Exercice 7 : Lire des points d’une courbe

Facile

La courbe d'une fonction uu passe par A(−3;2)A(-3;2), B(−1;−2)B(-1;-2), C(0;−1)C(0;-1), D(2;3)D(2;3) et E(4;2)E(4;2).

  1. Donner u(−1)u(-1) et u(2)u(2).
  2. Donner les antécédents de 22 visibles parmi ces points.
  3. Traduire l'appartenance du point CC par une égalité.
Indication

Dans un point (x;y)(x;y) de la courbe, on lit u(x)=yu(x)=y.

Voir le corrigé
  1. u(−1)=−2u(-1)=-2 et u(2)=3u(2)=3.
  2. Les antécédents visibles de 22 sont −3-3 et 44.
  3. Le point C(0;−1)C(0;-1) signifie u(0)=−1u(0)=-1.

Exercice 8 : Intersection de deux représentations

Moyen

Les courbes de vv et ww se coupent aux points (−2;4)(-2;4) et (3;−1)(3;-1).

  1. Écrire les deux égalités entre images correspondant aux intersections.
  2. Donner les solutions visibles de v(x)=w(x)v(x)=w(x).
  3. Expliquer pourquoi les ordonnées ne sont pas les solutions de cette équation.
Indication

L'équation v(x)=w(x)v(x)=w(x) cherche les abscisses où les deux courbes ont la même hauteur.

Voir le corrigé
  1. v(−2)=w(−2)=4v(-2)=w(-2)=4 et v(3)=w(3)=−1v(3)=w(3)=-1.
  2. Les solutions visibles sont x=−2x=-2 et x=3x=3.
  3. Les nombres 44 et −1-1 sont des valeurs communes des fonctions, mais l'inconnue xx représente une abscisse.

Exercice 9 : Lecture exacte ou approchée

Moyen

Sur un graphique gradué de 0,50{,}5 en 0,50{,}5, l'intersection d'une courbe avec la droite y=3y=3 semble avoir pour abscisses −1,3-1{,}3 et 2,62{,}6.

  1. Formuler la réponse à la recherche des antécédents de 33.
  2. Préciser pourquoi le symbole ≈\approx est nécessaire.
  3. Indiquer ce qu'il faudrait pour obtenir des valeurs exactes.
Indication

Une lecture entre deux graduations n'est pas une mesure exacte.

Voir le corrigé
  1. Les antécédents lus sont environ −1,3-1{,}3 et 2,62{,}6.
  2. La précision du tracé et des graduations ne garantit pas les décimales affichées ; on écrit donc x≈−1,3x\approx-1{,}3 ou x≈2,6x\approx2{,}6.
  3. Une formule ou des coordonnées exactes des intersections seraient nécessaires.

Modéliser une grandeur par une fonction

La formule dépend du contexte. Le domaine utile peut être plus petit que l'ensemble des nombres pour respecter une longueur, un temps ou une quantité positive.

Exercice 10 : Programme de calcul

Moyen

Un programme choisit xx, lui ajoute 55, multiplie le résultat par le nombre initial, puis retire six fois le nombre initial.

  1. Exprimer le résultat par une fonction PP.
  2. Développer et réduire P(x)P(x).
  3. Calculer P(−2)P(-2) avec la forme la plus pratique.
  4. Trouver les nombres donnant le résultat 00.
Indication

La multiplication par le nombre initial donne x(x+5)x(x+5). Pour la dernière question, conservez une forme factorisée.

Voir le corrigé
  1. P(x)=x(x+5)−6xP(x)=x(x+5)-6x.
  2. P(x)=x2−x=x(x−1)P(x)=x^2-x=x(x-1).
  3. P(−2)=(−2)(3)−6(−2)=6P(-2)=(-2)(3)-6(-2)=6.
  4. P(x)=0P(x)=0 équivaut à x(x−1)=0x(x-1)=0, donc x=0x=0 ou x=1x=1.

Exercice 11 : Volume d’une boîte sans couvercle

Difficile

On découpe des carrés de côté xx cm aux coins d'une feuille de 3030 cm sur 2020 cm, puis on replie les bords.

  1. Exprimer les trois dimensions de la boîte.
  2. Écrire son volume V(x)V(x).
  3. Préciser les valeurs possibles de xx.
  4. Comparer V(2)V(2) et V(4)V(4).
Indication

Après deux découpes, chaque dimension de la base perd 2x2x.

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  1. La hauteur vaut xx, la longueur 30−2x30-2x et la largeur 20−2x20-2x.
  2. V(x)=x(30−2x)(20−2x)V(x)=x(30-2x)(20-2x).
  3. Il faut x>0x\gt0, 30−2x>030-2x\gt0 et 20−2x>020-2x\gt0, donc 0<x<100\lt x\lt10.
  4. V(2)=2×26×16=832 cm3V(2)=2\times26\times16=832\,\text{cm}^3, tandis que V(4)=4×22×12=1 056 cm3V(4)=4\times22\times12=1\,056\,\text{cm}^3.

Exercice 12 : Température et domaine pertinent

Moyen

La température TT en degrés Celsius d'un liquide est modélisée pendant 1212 minutes par T(t)=68−4,5tT(t)=68-4{,}5t, où tt est en minutes.

  1. Calculer T(0)T(0), T(6)T(6) et T(12)T(12).
  2. Déterminer le moment où la température vaut 41 ∘C41\,^{\circ}\text{C}.
  3. Expliquer pourquoi un antécédent t=20t=20 n'est pas pertinent pour ce modèle.
Indication

Pour la deuxième question, résolvez 68−4,5t=4168-4{,}5t=41.

Voir le corrigé
  1. Les températures sont 6868, 4141 et 14 ∘C14\,^{\circ}\text{C}.
  2. 68−4,5t=4168-4{,}5t=41 donne 4,5t=274{,}5t=27, donc t=6t=6 minutes.
  3. La formule n'est annoncée que pour 0⩽t⩽120\leqslant t\leqslant12. La valeur 2020 est hors du domaine du modèle.
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