Divisibilité et nombres premiers 4ème : 10 exercices corrigés

Ces exercices corrigés sur la divisibilité et les nombres premiers en 4ème vont du choix d'un critère à la décomposition et aux problèmes de partage. Le cours sur la divisibilité et les facteurs premiers fournit les définitions et les méthodes.

Les simplifications obtenues réinvestissent les fractions et nombres rationnels. Chaque correction justifie le test employé au lieu de donner seulement une liste de résultats.

Utiliser les critères de divisibilité

Le dernier chiffre, les deux derniers chiffres ou la somme des chiffres donnent des tests différents selon le diviseur.

Exercice 1 : Choisir le bon critère

Facile

Pour chacun des nombres 4 5724\,572, 8 2258\,225, 19 44019\,440 et 7 1197\,119, étudier la divisibilité par 22, 33, 55, 99 et 1010.

  1. Construire un tableau des résultats.
  2. Justifier au moins un oui et un non pour chaque critère.
  3. Repérer le nombre divisible par le plus de nombres de la liste.
Indication

Utilisez le chiffre des unités pour 22, 55 et 1010, puis la somme des chiffres pour 33 et 99.

Voir le corrigé
NombrePar 22Par 33Par 55Par 99Par 1010
4 5724\,572OuiOuiNonOuiNon
8 2258\,225NonNonOuiNonNon
19 44019\,440OuiOuiOuiOuiOui
7 1197\,119NonOuiNonOuiNon
  1. Le tableau récapitule les vingt tests.
  2. Pour 22, 4 5724\,572 se termine par un chiffre pair, tandis que 8 2258\,225 se termine par 55. Pour 33, la somme des chiffres de 4 5724\,572 vaut 1818, contre 1717 pour 8 2258\,225. Pour 55, 8 2258\,225 se termine par 55, contrairement à 4 5724\,572. Le même calcul des sommes justifie un oui et un non pour 99. Pour 1010, seul 19 44019\,440 se termine par 00, alors que 7 1197\,119 ne convient pas.
  3. 19 44019\,440 est divisible par les cinq nombres proposés. C'est celui qui vérifie le plus de critères.

Exercice 2 : Chiffres manquants

Moyen

On considère le nombre 53□453\square4.

  1. Trouver les chiffres qui le rendent divisible par 33.
  2. Trouver ceux qui le rendent divisible par 99.
  3. Peut-il être divisible par 55 ?
  4. Parmi les solutions divisibles par 99, lesquelles sont divisibles par 44 ?
Indication

La somme des chiffres vaut 12+□12+\square. Pour 44, observez les deux derniers chiffres.

Voir le corrigé
  1. Il faut que 12+x12+x soit multiple de 33, donc x∈{0,3,6,9}x\in\{0,3,6,9\}.
  2. Il faut 12+x=1812+x=18, donc x=6x=6.
  3. Non, car le chiffre des unités est 44.
  4. Avec x=6x=6, les deux derniers chiffres sont 6464, divisible par 44. Le nombre 5 3645\,364 convient.

Exercice 3 : Une règle inventée

Moyen

Eva affirme : « Tout nombre divisible par 33 et par 22 est divisible par 55. »

  1. Dire si l'affirmation est vraie.
  2. Donner un contre-exemple.
  3. Énoncer une conclusion correcte sur un nombre divisible par 22 et 33.
Indication

Cherchez un petit multiple commun de 22 et de 33 qui ne se termine ni par 00 ni par 55.

Voir le corrigé
  1. L'affirmation est fausse.
  2. 66 est divisible par 22 et par 33, mais pas par 55.
  3. Un nombre divisible par 22 et par 33 est divisible par 66, car 22 et 33 sont premiers entre eux.

Reconnaître et décomposer des nombres premiers

Pour tester si un nombre est premier, il suffit d'essayer les diviseurs premiers ne dépassant pas sa racine carrée.

Exercice 4 : Premier ou composé

Facile

Étudier les nombres 2929, 5151, 7777, 8383 et 9191.

  1. Dire lesquels sont premiers.
  2. Pour chaque nombre composé, donner une factorisation.
  3. Justifier pourquoi les tests effectués suffisent pour 8383.
Indication

Testez 22, 33, 55 et 77. Comme 92>839^2\gt 83, aucun diviseur premier plus grand n'est nécessaire pour 8383.

Voir le corrigé
  1. 2929 et 8383 sont premiers.
  2. 51=3×1751=3\times17, 77=7×1177=7\times11 et 91=7×1391=7\times13.
  3. Pour 8383, on teste les nombres premiers inférieurs à 83<10\sqrt{83}\lt 10 : 22, 33, 55 et 77. Aucun ne divise 8383, donc il est premier.

Exercice 5 : Décompositions complètes

Moyen

Décomposer 360360, 504504 et 1 1551\,155 en produits de facteurs premiers.

  1. Décomposer 360360.
  2. Décomposer 504504.
  3. Décomposer 1 1551\,155.
  4. Vérifier chaque produit.
Indication

Divisez successivement par les plus petits nombres premiers possibles jusqu'à obtenir 11.

Voir le corrigé
  1. 360=23×32×5360=2^3\times3^2\times5.
  2. 504=23×32×7504=2^3\times3^2\times7.
  3. 1 155=3×5×7×111\,155=3\times5\times7\times11.
  4. Les recompositions donnent bien 8×9×5=3608\times9\times5=360, 8×9×7=5048\times9\times7=504 et 3×5×7×11=1 1553\times5\times7\times11=1\,155.

Exercice 6 : Retrouver un nombre

Difficile

Un entier NN a pour décomposition N=23×3×52N=2^3\times3\times5^2.

  1. Calculer NN.
  2. Dire si NN est divisible par 88, 99, 1515 et 4040.
  3. Déterminer le plus petit entier par lequel multiplier NN pour obtenir un carré parfait.
  4. Donner la décomposition du carré obtenu.
Indication

Un diviseur doit utiliser des exposants inférieurs ou égaux à ceux de NN. Pour un carré parfait, tous les exposants doivent être pairs.

Voir le corrigé
  1. N=8×3×25=600N=8\times3\times25=600.
  2. Il est divisible par 88, 1515 et 4040, mais pas par 99, car il ne contient qu'un facteur 33.
  3. Il faut multiplier par 2×3=62\times3=6 afin de rendre pairs les exposants de 22 et 33.
  4. 600×6=24×32×52=3 600=602600\times6=2^4\times3^2\times5^2=3\,600=60^2.

Simplifier grâce aux facteurs premiers

La décomposition révèle les facteurs communs et évite des essais successifs incomplets.

Exercice 7 : Fractions irréductibles

Moyen

Rendre irréductibles 360504\frac{360}{504}, 1 155770\frac{1\,155}{770} et 675945\frac{675}{945}.

  1. Simplifier la première fraction.
  2. Simplifier la deuxième.
  3. Simplifier la troisième.
  4. Indiquer le facteur commun supprimé dans chaque cas.
  5. Vérifier qu'aucun facteur premier ne reste commun.
Indication

Comparez les décompositions premières du numérateur et du dénominateur.

Voir le corrigé
  1. 360504=57\frac{360}{504}=\frac57, après division par 7272.
  2. 1 155770=32\frac{1\,155}{770}=\frac32, après division par 385385.
  3. 675945=57\frac{675}{945}=\frac57, après division par 135135.
  4. Les facteurs supprimés sont 7272, 385385 et 135135.
  5. Les couples 5,75,7 et 3,23,2 n'ont aucun facteur premier commun.

Exercice 8 : Le plus petit dénominateur commun

Difficile

On veut additionner 584\frac5{84} et 790\frac7{90}.

  1. Décomposer 8484 et 9090.
  2. Déterminer leur plus petit multiple commun.
  3. Mettre les fractions au même dénominateur.
  4. Effectuer la somme et simplifier.
Indication

Pour le plus petit multiple commun, retenez chaque facteur premier avec son exposant maximal.

Voir le corrigé
  1. 84=22×3×784=2^2\times3\times7 et 90=2×32×590=2\times3^2\times5.
  2. Le plus petit multiple commun vaut 22×32×5×7=1 2602^2\times3^2\times5\times7=1\,260.
  3. 584=751 260\frac5{84}=\frac{75}{1\,260} et 790=981 260\frac7{90}=\frac{98}{1\,260}.
  4. La somme vaut 1731 260\frac{173}{1\,260}, irréductible puisque 173173 est premier et ne divise pas 1 2601\,260.

Résoudre des problèmes de partage

Les diviseurs communs servent à créer des groupes identiques sans reste et à optimiser leur nombre.

Exercice 9 : Lots identiques

Moyen

Une association dispose de 180180 cahiers et 252252 stylos. Elle veut former le plus grand nombre de lots identiques en utilisant tout le matériel.

  1. Décomposer les deux quantités.
  2. Déterminer le nombre maximal de lots.
  3. Donner le contenu d'un lot.
Indication

Le nombre de lots doit diviser les deux quantités ; cherchez leur plus grand diviseur commun.

Voir le corrigé
  1. 180=22×32×5180=2^2\times3^2\times5 et 252=22×32×7252=2^2\times3^2\times7.
  2. Le plus grand diviseur commun vaut 22×32=362^2\times3^2=36, donc on forme 3636 lots.
  3. Chaque lot contient 180/36=5180/36=5 cahiers et 252/36=7252/36=7 stylos.

Exercice 10 : Carrelage sans découpe

Difficile

Une terrasse rectangulaire mesure 420420 cm sur 588588 cm. On veut la couvrir de carreaux carrés identiques, les plus grands possibles, sans découpe.

  1. Expliquer pourquoi le côté du carreau doit diviser les deux dimensions.
  2. Décomposer 420420 et 588588.
  3. Calculer le côté maximal d'un carreau.
  4. Déterminer le nombre de carreaux sur chaque côté.
  5. Calculer le nombre total de carreaux.
Indication

Le côté maximal est le plus grand diviseur commun des deux dimensions.

Voir le corrigé
  1. Un nombre entier de carreaux doit tenir dans chaque dimension, donc leur côté divise 420420 et 588588.
  2. 420=22×3×5×7420=2^2\times3\times5\times7 et 588=22×3×72588=2^2\times3\times7^2.
  3. Le plus grand facteur commun est 22×3×7=842^2\times3\times7=84, donc le côté vaut 8484 cm.
  4. Il faut 420/84=5420/84=5 carreaux et 588/84=7588/84=7 carreaux.
  5. Le total est 5×7=355\times7=35 carreaux.
Partager