Théorème de Pythagore 4ème : 13 exercices corrigés

Ces exercices corrigés sur le théorème de Pythagore en 4ème distinguent trois objectifs : calculer dans un triangle rectangle, prouver qu'un triangle est rectangle, ou prouver qu'il ne l'est pas. Le cours sur Pythagore, sa réciproque et sa contraposée donne les rédactions.

Les résultats exacts sont conservés avec une racine avant l’arrondi. Leur écriture mobilise directement les carrés parfaits et les encadrements de racines carrées.

Calculer l’hypoténuse

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est la somme des carrés des deux côtés de l'angle droit.

Exercice 1 : Triplet classique

Facile

ABC est rectangle en A avec AB=6AB=6 cm et AC=8AC=8 cm.

  1. Identifier l'hypoténuse.
  2. Écrire l'égalité de Pythagore.
  3. Calculer BC.
  4. Vérifier que BC est le plus grand côté.
Indication

Le côté opposé à l'angle droit A est [BC].

Voir le corrigé
  1. L'hypoténuse est [BC].
  2. BC2=AB2+AC2BC^2=AB^2+AC^2.
  3. BC2=36+64=100BC^2=36+64=100, donc BC=10BC=10 cm.
  4. 10>810\gt 8 et 10>610\gt 6, ce qui est cohérent.

Exercice 2 : Valeur exacte puis arrondie

Moyen

DEF est rectangle en D, DE=7DE=7 cm et DF=11DF=11 cm.

  1. Écrire EF2EF^2.
  2. Donner EF sous forme exacte.
  3. Donner un arrondi au millimètre.
  4. Encadrer EF entre deux entiers.
Indication

Additionnez les carrés, puis ne remplacez la racine par une décimale qu'à la fin.

Voir le corrigé
  1. EF2=72+112=170EF^2=7^2+11^2=170.
  2. EF=170EF=\sqrt{170} cm.
  3. 170≈13,038\sqrt{170}\approx13{,}038, donc EF≈13,0EF\approx13{,}0 cm au millimètre.
  4. 132=169<170<196=14213^2=169\lt 170\lt 196=14^2, donc 13<EF<1413\lt EF\lt 14.

Exercice 3 : Diagonale d’un rectangle

Moyen

Un rectangle mesure 12,512{,}5 cm sur 99 cm.

  1. Nommer un triangle rectangle contenant une diagonale.
  2. Calculer le carré de la diagonale.
  3. Donner la diagonale au dixième.
  4. Comparer aux deux côtés.
  5. Calculer le périmètre du rectangle.
Indication

Une diagonale forme l'hypoténuse avec deux côtés consécutifs.

Voir le corrigé
  1. Par exemple, ABC est rectangle en B si AC est une diagonale.
  2. d2=12,52+92=156,25+81=237,25d^2=12{,}5^2+9^2=156{,}25+81=237{,}25.
  3. d≈15,4d\approx15{,}4 cm.
  4. Elle est plus longue que 12,512{,}5 cm et 99 cm.
  5. Le périmètre vaut 2(12,5+9)=432(12{,}5+9)=43 cm.

Calculer un côté de l’angle droit

Quand l'hypoténuse est connue, on soustrait le carré de l'autre côté au carré de l'hypoténuse.

Exercice 4 : Côté manquant exact

Facile

GHI est rectangle en H, GI=13GI=13 cm et GH=5GH=5 cm.

  1. Identifier l'hypoténuse.
  2. Écrire l'égalité.
  3. Isoler HI2HI^2.
  4. Calculer HI.
Indication

GI est opposé à l'angle droit, donc GI2=GH2+HI2GI^2=GH^2+HI^2.

Voir le corrigé
  1. L'hypoténuse est [GI].
  2. 132=52+HI213^2=5^2+HI^2.
  3. HI2=169−25=144HI^2=169-25=144.
  4. HI=12HI=12 cm.

Exercice 5 : Arrondi d’une hauteur

Moyen

Un triangle JKL est rectangle en K, JL=17JL=17 m et JK=9JK=9 m.

  1. Calculer KL2KL^2.
  2. Donner KL exactement.
  3. Arrondir au centimètre.
  4. Contrôler l'arrondi en le mettant au carré.
Indication

Soustrayez 929^2 à 17217^2.

Voir le corrigé
  1. KL2=172−92=289−81=208KL^2=17^2-9^2=289-81=208.
  2. KL=208=413KL=\sqrt{208}=4\sqrt{13} m.
  3. KL≈14,42KL\approx14{,}42 m au centimètre.
  4. 14,422≈207,9414{,}42^2\approx207{,}94, proche de 208208, ce qui confirme l'arrondi.

Exercice 6 : Le plus grand côté mal choisi

Moyen

Dans un triangle rectangle, on connaît des côtés de 1010 cm et 66 cm. Lina écrit x2=62−102x^2=6^2-10^2.

  1. Expliquer pourquoi son égalité est impossible.
  2. Donner les deux interprétations possibles des données.
  3. Calculer xx si 1010 est l'hypoténuse.
  4. Dire ce qu'il manque si 1010 et 66 sont les côtés de l'angle droit.
Indication

Un carré de longueur ne peut pas être négatif et l'hypoténuse doit être le plus grand côté.

Voir le corrigé
  1. 62−102=−646^2-10^2=-64, impossible pour x2x^2.
  2. Soit 1010 est l'hypoténuse et 66 un côté, soit 1010 et 66 sont les deux côtés de l'angle droit.
  3. x2=102−62=64x^2=10^2-6^2=64, donc x=8x=8 cm.
  4. Dans le second cas, l'hypoténuse vaut 136\sqrt{136} cm ; il faut savoir quel angle est droit pour choisir le cas.

Exercice 7 : Hauteur d’un triangle isocèle

Difficile

ABC est isocèle en A, AB=AC=13AB=AC=13 cm et BC=10BC=10 cm. H est le pied de la hauteur issue de A.

  1. Expliquer pourquoi H est le milieu de [BC].
  2. Calculer BH.
  3. Calculer AH avec Pythagore.
  4. Calculer l'aire de ABC.
  5. Vérifier les unités.
Indication

Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est aussi médiane.

Voir le corrigé
  1. La hauteur issue de A est aussi médiane, donc BH=HCBH=HC.
  2. BH=10/2=5BH=10/2=5 cm.
  3. Dans ABH rectangle en H, AH2=132−52=144AH^2=13^2-5^2=144, donc AH=12AH=12 cm.
  4. L'aire vaut 10×12/2=60 cm210\times12/2=60\ \mathrm{cm}^2.
  5. Les longueurs sont en cm et l'aire en cm2\mathrm{cm}^2.

Utiliser réciproque et contraposée

On compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres, sans supposer d'abord que le triangle est rectangle.

Exercice 8 : Reconnaître un triangle rectangle

Facile

Un triangle a pour côtés 77 cm, 2424 cm et 2525 cm.

  1. Identifier le plus grand côté.
  2. Comparer les carrés.
  3. Conclure avec la réciproque.
  4. Donner le sommet de l'angle droit si le côté 2525 est [AB].
Indication

Calculez 25225^2 et 72+2427^2+24^2.

Voir le corrigé
  1. Le plus grand côté mesure 2525 cm.
  2. 252=62525^2=625 et 72+242=49+576=6257^2+24^2=49+576=625.
  3. L'égalité est vérifiée, donc le triangle est rectangle.
  4. Si [AB] est l'hypoténuse, l'angle droit est au troisième sommet C.

Exercice 9 : Prouver qu’il n’est pas rectangle

Moyen

Un triangle a pour côtés 88 cm, 1111 cm et 1414 cm.

  1. Vérifier qu'un triangle peut être construit.
  2. Comparer 14214^2 et 82+1128^2+11^2.
  3. Conclure avec la contraposée.
  4. Dire si comparer 828^2 aux deux autres carrés aurait été pertinent.
Indication

Le test porte toujours sur le carré du plus grand côté.

Voir le corrigé
  1. 8+11>148+11\gt 14, donc les longueurs peuvent former un triangle.
  2. 142=19614^2=196, tandis que 82+112=64+121=1858^2+11^2=64+121=185.
  3. Comme l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée, le triangle n'est pas rectangle.
  4. Non, 88 n'est pas le plus grand côté et ne pourrait être une hypoténuse.

Exercice 10 : Rédaction à réparer

Moyen

Pour des côtés 9,12,159,12,15, une copie dit : « D'après Pythagore, le triangle est rectangle car 92+122=1529^2+12^2=15^2. »

  1. Dire si le calcul est exact.
  2. Identifier l'erreur de nom de théorème.
  3. Rédiger la conclusion correcte.
Indication

Le triangle n'est pas annoncé rectangle ; on ne peut pas utiliser le théorème direct pour le prouver.

Voir le corrigé
  1. 81+144=225=15281+144=225=15^2, le calcul est exact.
  2. Il faut invoquer la réciproque du théorème de Pythagore.
  3. Le côté de 1515 est le plus grand et son carré égale la somme des carrés des deux autres ; d'après la réciproque, le triangle est rectangle, avec ce côté pour hypoténuse.

Résoudre des problèmes à plusieurs étapes

La figure doit être décomposée en triangles rectangles pertinents et le résultat final interprété avec son unité.

Exercice 11 : Échelle contre un mur

Moyen

Une échelle de 6,56{,}5 m est posée contre un mur vertical. Son pied est à 2,52{,}5 m du mur.

  1. Identifier le triangle rectangle.
  2. Calculer la hauteur atteinte.
  3. Donner la valeur exacte puis décimale.
  4. Vérifier que la hauteur est inférieure à l'échelle.
Indication

L'échelle est l'hypoténuse.

Voir le corrigé
  1. Le mur et le sol forment l'angle droit.
  2. h2=6,52−2,52=42,25−6,25=36h^2=6{,}5^2-2{,}5^2=42{,}25-6{,}25=36.
  3. h=36=6h=\sqrt{36}=6 m.
  4. 6<6,56\lt 6{,}5, ce qui est cohérent.

Exercice 12 : Raccourci dans un parc

Difficile

Deux allées perpendiculaires mesurent 180180 m et 240240 m. Un chemin direct relie leurs extrémités.

  1. Calculer la longueur du chemin direct.
  2. Calculer la distance économisée par rapport aux deux allées.
  3. Calculer le pourcentage d'économie par rapport au trajet initial.
  4. Donner un contrôle par un triplet proportionnel.
  5. Interpréter le résultat.
Indication

Les longueurs sont 6060 fois le triplet 3,4,53,4,5.

Voir le corrigé
  1. Le chemin vaut 1802+2402=90 000=300\sqrt{180^2+240^2}=\sqrt{90\,000}=300 m.
  2. Le trajet initial vaut 420420 m, donc l'économie est 120120 m.
  3. 120/420×100≈28,6%120/420\times100\approx28{,}6\%.
  4. 180:240:300=3:4:5180:240:300=3:4:5 multiplié par 6060.
  5. Le chemin direct réduit le trajet d'un peu moins de 30%30\%.

Exercice 13 : Distance entre deux points

Difficile

Dans un repère orthonormé, A(−2;3)A(-2;3) et B(5;−1)B(5;-1).

  1. Calculer la variation horizontale.
  2. Calculer la variation verticale.
  3. Construire le triangle rectangle associé.
  4. Calculer AB exactement.
  5. Donner un arrondi au centième.
Indication

Les deux variations perpendiculaires sont les côtés de l'angle droit.

Voir le corrigé
  1. La variation horizontale vaut 5−(−2)=75-(-2)=7.
  2. La variation verticale vaut −1−3=−4-1-3=-4, de longueur 44.
  3. Le déplacement forme un triangle rectangle de côtés 77 et 44.
  4. AB=72+42=65AB=\sqrt{7^2+4^2}=\sqrt{65}.
  5. AB≈8,06AB\approx8{,}06 unités.
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