Cosinus d’un angle dans un triangle rectangle 4ème

Identifier l’hypoténuse sans regarder l’orientation

Tourner la feuille ne change rien : on repère d'abord le petit carré de l'angle droit, puis le côté qui lui fait face. Cette identification rejoint le vocabulaire du triangle rectangle et de Pythagore.

Trouver le côté adjacent à l’angle choisi

Dans un même triangle, le côté adjacent à l'angle $\widehat B$ peut être le côté opposé à l'angle $\widehat C$. Il faut donc nommer l'angle avant de nommer les côtés.

Erreur fréquente : « côté adjacent » ne signifie pas simplement « côté à côté ». Deux côtés touchent le sommet de l'angle, mais l'hypoténuse est exclue.

Écrire la définition du cosinus

Comme l'hypoténuse est la plus longue, ce quotient est compris entre 0 et 1 pour un angle aigu. Un résultat supérieur à 1 signale une inversion des longueurs ou une donnée mal recopiée.

Calculer une longueur avec un angle

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, supposons $BC=12\ \mathrm{cm}$ et $\widehat B=35^\circ$. Le côté $AB$ est adjacent à l'angle $B$ et $BC$ est l'hypoténuse :

La calculatrice donne $AB\approx9,83\ \mathrm{cm}$. Si l'inconnue était l'hypoténuse, on obtiendrait une division par le cosinus : la mise en équation doit donc précéder la manipulation.

Astuce : garder le calcul non arrondi dans la calculatrice et n'arrondir que la réponse finale. Les arrondis intermédiaires peuvent déplacer le dernier chiffre.

Calculer un angle avec deux longueurs

Si le côté adjacent mesure $7\ \mathrm{cm}$ et l'hypoténuse $11\ \mathrm{cm}$, alors :

Pour retrouver l'angle, on utilise la fonction réciproque du cosinus :

Selon la calculatrice, la touche peut être notée $\cos^{-1}$, « acos » ou « arccos ». Ici, l'exposant $-1$ désigne une fonction réciproque, pas l'inverse du nombre $\cos B$.

Régler la calculatrice et gérer l’arrondi

Un angle aigu doit rester entre $0^\circ$ et $90^\circ$. Une longueur d'hypoténuse doit être supérieure aux deux autres côtés. Ces deux contrôles détectent rapidement un mauvais réglage ou un quotient inversé.

Choisir entre cosinus, Pythagore et cercle

La propriété du triangle rectangle et du cercle circonscrit peut d'abord établir l'angle droit. Le cosinus devient alors utilisable pour calculer une autre mesure.

Erreur fréquente : la formule du cosinus présentée ici exige un triangle rectangle. La présence d'un angle dans une figure quelconque ne suffit pas.

Résoudre une situation de pente

Une rampe de 5 m forme un angle de $12^\circ$ avec le sol. La longueur horizontale est le côté adjacent à l'angle et la rampe est l'hypoténuse. Elle vaut $5\cos(12^\circ)\approx4,89$ m.

La hauteur n'est pas directement donnée par le cosinus de cet angle, car elle est le côté opposé. En 4ème, on peut la retrouver ensuite avec Pythagore si les données le permettent. Le choix du rapport dépend toujours des côtés connus et recherchés.

Contrôler la variation du cosinus

Entre $0^\circ$ et $90^\circ$, le cosinus diminue : un angle très petit a un cosinus proche de 1, tandis qu'un angle proche de $90^\circ$ a un cosinus proche de 0. Géométriquement, le côté adjacent représente presque toute l'hypoténuse dans le premier cas et devient très court dans le second.

Ce comportement fournit un contrôle qualitatif. Une calculatrice qui affiche $\cos(60)=0,95$ n'est probablement pas réglée en degrés.

Déterminer l’inclinaison d’une route

Une route rectiligne de 320 m permet de gagner 48 m horizontalement sur une carte simplifiée où la route est l'hypoténuse et la projection horizontale le côté adjacent à l'angle d'inclinaison $\alpha$. On a $\cos\alpha=48/320=0,15$, donc $\alpha\approx81,4^\circ$.

Ce résultat très grand indique que les données décrivent une route presque verticale ; dans une situation réelle, elles seraient probablement inversées ou mal interprétées. Si la projection horizontale était 316 m, l'angle serait proche de $9,1^\circ$, valeur plus plausible. Le contrôle du contexte complète le calcul trigonométrique.

Erreur fréquente : un résultat de calcul peut être numériquement correct mais incompatible avec la situation. Toujours relire le rôle des deux longueurs.

Le cosinus étant un rapport, il ne possède pas d'unité. Les deux longueurs doivent néanmoins être exprimées dans la même unité avant la division. Utiliser 48 m et 0,320 km sans conversion donnerait un quotient supérieur à 1, signal immédiat d'une incohérence d'unités.

Cosinus d’un angle dans un triangle rectangle 4ème : l’essentiel à retenir

Pour utiliser le cosinus en 4ème, on repère l'angle droit, l'hypoténuse, puis le côté adjacent à l'angle étudié. Le quotient adjacent sur hypoténuse calcule une longueur ou, avec arccos, un angle.

Le programme officiel de mathématiques du cycle 4 associe cette relation à la modélisation de triangles rectangles : un résultat doit être accompagné de son unité, de son arrondi et d'un contrôle géométrique.