Dans un triangle rectangle, le cercle circonscrit en 4ème possède une position remarquable : son centre est le milieu de l'hypoténuse. Autrement dit, l'hypoténuse est un diamètre du cercle passant par les trois sommets.
Cette relation fonctionne aussi dans l'autre sens. Un point placé sur un cercle forme un angle droit avec les extrémités d'un diamètre. Elle permet donc de construire un angle droit sans équerre, de reconnaître un triangle rectangle et de calculer une médiane.
Rappeler le cercle circonscrit d’un triangle
Cercle circonscrit
Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle qui passe par ses trois sommets. Son centre est le point d'intersection des médiatrices des côtés.
Tout triangle non aplati possède un cercle circonscrit. Le cas rectangle se distingue parce que le centre se trouve directement sur un côté : l'hypoténuse.
Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est un diamètre
Cercle circonscrit au triangle rectangle
Si un triangle est rectangle, alors le milieu de son hypoténuse est le centre de son cercle circonscrit. L'hypoténuse est donc un diamètre de ce cercle.
Dans rectangle en , si est le milieu de ([BC]), alors . Les trois sommets sont à la même distance de .
Médiane issue de l’angle droit
Longueur de la médiane
Dans un triangle rectangle, la médiane issue de l'angle droit mesure la moitié de l'hypoténuse.
Cette égalité ne vient pas de Pythagore : elle vient du fait que est le centre du cercle et que , , sont des rayons.
Réciproque : reconnaître un triangle rectangle par son cercle
Triangle inscrit dans un demi-cercle
Si un triangle est inscrit dans un cercle et qu'un de ses côtés est un diamètre, alors le triangle est rectangle au sommet opposé à ce diamètre.
Si appartient au cercle de diamètre ([BC]), alors l'angle (widehat{BAC}) est droit. Cette propriété sert de programme de construction d'un angle droit.
Erreur fréquente : il faut savoir que le côté est un diamètre, pas seulement une corde du cercle. Une corde quelconque ne donne pas un angle droit.
Réciproque avec la médiane
Médiane égale à la moitié du côté
Si, dans un triangle, la médiane relative à un côté mesure la moitié de ce côté, alors le triangle est rectangle et ce côté est son hypoténuse.
Si est le milieu de ([BC]) et , alors , , appartiennent au cercle de centre , dont ([BC]) est un diamètre. Le triangle est rectangle en .
Choisir entre cercle et Pythagore
| Données | Outil naturel |
|---|---|
| trois longueurs | réciproque de Pythagore |
| appartenance à un cercle + diamètre | cercle circonscrit |
| milieu d'un côté + égalités de distances | médiane et cercle |
| triangle rectangle + longueur d'hypoténuse | médiane |
Le théorème de Pythagore compare des carrés de longueurs ; la propriété du cercle exploite diamètre, milieu et égalité de rayons. Les deux peuvent parfois résoudre le même problème, mais avec des données différentes.
Construire un triangle rectangle d’hypoténuse donnée
- Tracer le segment ([BC]), future hypoténuse.
- Construire son milieu .
- Tracer le cercle de centre et de rayon .
- Choisir un point sur le cercle, distinct de et .
- Relier à et à .
Le triangle obtenu est rectangle en . La construction du milieu et des médiatrices prolonge le cours sur les médiatrices et le cercle circonscrit.
Astuce : sur une figure, entourer d'abord le diamètre potentiel. Le sommet opposé indique immédiatement l'emplacement possible de l'angle droit.
Passer du triangle rectangle au cercle
Si ABC est rectangle en A, le milieu O de l'hypoténuse [BC] est à égale distance de A, B et C. Il est donc le centre du cercle circonscrit au triangle. Le rayon vaut la moitié de l'hypoténuse.
Cette propriété permet de calculer le rayon sans construire les médiatrices. Si cm, le rayon vaut 7 cm et le diamètre est précisément l'hypoténuse.
Utiliser la réciproque avec un diamètre
Si A appartient au cercle de diamètre [BC], alors l'angle est droit. Les extrémités du diamètre et le point du cercle forment donc un triangle rectangle en A. La donnée « diamètre » est indispensable : une corde quelconque ne suffit pas.
Cette réciproque sert à construire un angle droit sans équerre : on trace un cercle de diamètre donné, puis on choisit n'importe quel troisième point sur le cercle.
Erreur fréquente : un point situé à l'intérieur ou à l'extérieur du cercle ne donne pas la conclusion. Il doit appartenir exactement au cercle.
Construire le lieu des sommets d’un angle droit
On fixe deux points B et C. Tous les points A tels que le triangle ABC soit rectangle en A appartiennent au cercle de diamètre [BC], à l'exception de B et C eux-mêmes. Ce cercle constitue le lieu géométrique des sommets possibles de l'angle droit.
Si cm, le centre est le milieu O de [BC] et le rayon vaut 5 cm. Choisir A sur un demi-cercle donne une famille entière de triangles rectangles aux formes différentes, mais tous partagent la même hypoténuse. Plus A se rapproche de B ou de C, plus le triangle devient aplati ; l'angle en A reste néanmoins droit tant que A demeure sur le cercle.
Astuce : pour une construction précise, commencer par le milieu du diamètre, puis tracer le cercle avant de choisir le troisième sommet.
Le centre O ne dépend pas du choix de A : il reste le milieu du diamètre [BC]. Ainsi, plusieurs triangles rectangles construits sur le même diamètre possèdent le même cercle circonscrit. Cette invariance explique pourquoi la propriété permet de créer autant d'angles droits que souhaité à partir d'un seul segment fixé.
Triangle rectangle et cercle circonscrit 4ème : l’essentiel à retenir
Pour un triangle rectangle et son cercle circonscrit en 4ème, le milieu de l'hypoténuse est le centre du cercle et la médiane correspondante vaut la moitié de l'hypoténuse. Réciproquement, un triangle inscrit dans un cercle sur un diamètre est rectangle.
Le programme officiel de mathématiques du cycle 4 utilise ces équivalences pour construire, calculer et démontrer avec des données géométriques variées.