Hauteurs, médianes et aire du triangle : 11 exercices 5ème

Ces exercices corrigés sur les hauteurs, les médianes et l’aire du triangle en 5ème apprennent à choisir la bonne droite avant de calculer. Le cours sur les hauteurs, médianes et aires rassemble les définitions et formules.

Les constructions prolongent le travail sur les triangles en 5ème et appartiennent au parcours de mathématiques de 5ème.

Distinguer hauteur, médiane et médiatrice

Une hauteur part d’un sommet et est perpendiculaire au côté opposé ; une médiane relie un sommet au milieu opposé.

Exercice 1 : Associer une description à une droite

Facile

Trois droites sont décrites : l’une passe par \(A\) et est perpendiculaire à \((BC)\) ; l’autre relie \(A\) au milieu de \([BC]\) ; la troisième est perpendiculaire à \([BC]\) en son milieu.

  1. Nommer les trois droites.
  2. Laquelle doit obligatoirement passer par un sommet ?
  3. Dans quel cas deux descriptions peuvent-elles désigner la même droite ?
Indication

Repérez les mots « sommet », « milieu » et « perpendiculaire ».

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La première est la hauteur issue de \(A\), la deuxième la médiane issue de \(A\), la troisième la médiatrice de \([BC]\). Hauteur et médiane partent d’un sommet. Dans un triangle isocèle en \(A\), la hauteur et la médiane issues de \(A\), ainsi que la médiatrice de la base, sont confondues.

Exercice 2 : Construire une hauteur extérieure

Moyen

Le triangle \(ABC\) est obtus en \(B\). On veut construire la hauteur issue de \(A\).

  1. Faut-il prolonger un côté ?
  2. Décrire la construction.
  3. Où se situe le pied de la hauteur ?
  4. Pourquoi la hauteur reste-t-elle valide hors du triangle ?
Indication

La hauteur est perpendiculaire à la droite support du côté opposé, pas nécessairement au segment.

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On prolonge la droite \((BC)\) si nécessaire. Par \(A\), on trace la perpendiculaire à \((BC)\) ; son intersection \(H\) avec cette droite est le pied. Dans un triangle obtus, \(H\) peut être extérieur au segment \([BC]\). La définition vise la droite \((BC)\), donc la construction reste correcte.

Exercice 3 : Corriger une confusion

Facile

Tom trace le segment joignant \(C\) au milieu de \([AB]\) et l’appelle « hauteur issue de \(C\) ».

  1. Quel est le vrai nom du segment ?
  2. Quelle vérification manque pour parler de hauteur ?
Indication

Le milieu suffit pour une médiane ; une hauteur exige un angle droit.

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Le segment est la médiane issue de \(C\). Pour être aussi une hauteur, il faudrait vérifier qu’il est perpendiculaire à \((AB)\). Cette coïncidence existe dans certains triangles particuliers, mais pas dans un triangle quelconque.

Calculer une aire avec une base et sa hauteur

La formule \(\mathcal A=\frac{\text{base}\times\text{hauteur}}{2}\) utilise des longueurs perpendiculaires exprimées dans la même unité.

Exercice 4 : Aire directe

Facile

Un triangle a une base de \(9\) cm et la hauteur associée mesure \(6\) cm.

  1. Calculer son aire.
Indication

Multipliez base et hauteur, puis divisez par \(2\).

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\(\mathcal A=\frac{9\times6}{2}=27\ \text{cm}^2\). L’unité est carrée, car on calcule une surface.

Exercice 5 : Choisir parmi plusieurs longueurs

Moyen

Dans \(ABC\), \(BC=12\) cm, \(AB=9\) cm, \(AC=8\) cm et la distance de \(A\) à la droite \((BC)\) vaut \(5\) cm.

  1. Identifier la base et la hauteur associée les plus commodes.
  2. Calculer l’aire.
  3. Expliquer pourquoi \(AB\) et \(AC\) ne forment pas automatiquement une paire base-hauteur.
Indication

La distance de \(A\) à \((BC)\) est mesurée perpendiculairement.

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On choisit \(BC=12\) cm comme base et \(5\) cm comme hauteur associée. L’aire vaut \(\frac{12\times5}{2}=30\ \text{cm}^2\). Les longueurs \(AB\) et \(AC\) ne sont pas annoncées perpendiculaires ; leur produit ne peut donc pas être utilisé directement.

Exercice 6 : Convertir avant de calculer

Moyen

Une base mesure \(1{,}4\) dm et sa hauteur \(8\) cm.

  1. Convertir la base en centimètres.
  2. Calculer l’aire en \(\text{cm}^2\).
  3. Exprimer le résultat en \(\text{dm}^2\).
  4. Contrôler la conversion finale.
  5. Expliquer l’erreur consistant à utiliser directement \(1{,}4\times8\).
Indication

Les deux longueurs doivent d’abord être dans la même unité ; \(1\ \text{dm}^2=100\ \text{cm}^2\).

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  1. \(1{,}4\ \text{dm}=14\ \text{cm}\).
  2. \(\mathcal A=\frac{14\times8}{2}=56\ \text{cm}^2\).
  3. \(56\ \text{cm}^2=0{,}56\ \text{dm}^2\).
  4. \(0{,}56\times100=56\) confirme la conversion.
  5. Multiplier des nombres exprimés dans des unités différentes ne produit pas une aire interprétable.

Retrouver une base ou une hauteur

Dans un problème inverse, on part de \(2\mathcal A=\text{base}\times\text{hauteur}\), puis on divise par la longueur connue.

Exercice 7 : Hauteur inconnue

Moyen

Un triangle d’aire \(42\ \text{cm}^2\) possède une base de \(12\) cm.

  1. Écrire l’égalité adaptée.
  2. Calculer la hauteur.
Indication

Doublez l’aire avant de diviser par la base.

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\(42=\frac{12\times h}{2}\), donc \(84=12h\) et \(h=84\div12=7\) cm. Vérification : \(\frac{12\times7}{2}=42\).

Exercice 8 : Base inconnue avec décimaux

Difficile

L’aire vaut \(18{,}75\ \text{m}^2\) et la hauteur associée \(2{,}5\) m.

  1. Calculer la base.
  2. Vérifier par substitution.
  3. Donner un ordre de grandeur.
Indication

Utilisez \(b=\frac{2\mathcal A}{h}\).

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\(b=\frac{2\times18{,}75}{2{,}5}=\frac{37{,}5}{2{,}5}=15\) m. En effet, \(\frac{15\times2{,}5}{2}=18{,}75\). Comme \(2{,}5\) est proche de \(2\), une base de quelques dizaines de mètres est cohérente.

Exercice 9 : Détecter une formule mal inversée

Difficile

Pour une aire de \(36\ \text{cm}^2\) et une base de \(9\) cm, une élève calcule \(h=36\div9=4\) cm.

  1. Expliquer le facteur oublié.
  2. Donner la bonne hauteur.
  3. Montrer que \(4\) cm ne convient pas.
  4. Proposer une phrase-mémoire.
Indication

L’aire du triangle est la moitié du produit, donc l’inversion commence par doubler l’aire.

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Elle a oublié le facteur \(2\). La hauteur correcte est \(h=2\times36\div9=8\) cm. Avec \(4\) cm, l’aire serait \(\frac{9\times4}{2}=18\ \text{cm}^2\), moitié de la valeur demandée. Phrase-mémoire : « pour retrouver une hauteur, je double l’aire puis je divise par la base ».

Raisonner avec une médiane et des aires

Une médiane partage le côté opposé en deux segments égaux ; les deux triangles obtenus ont la même hauteur.

Exercice 10 : Deux aires égales

Moyen

Dans \(ABC\), \(M\) est le milieu de \([BC]\). L’aire de \(ABC\) vaut \(54\ \text{cm}^2\).

  1. Calculer les aires de \(ABM\) et \(ACM\).
  2. Justifier sans mesurer une nouvelle hauteur.
Indication

Les bases \(BM\) et \(MC\) sont égales et les deux petits triangles ont la même hauteur issue de \(A\).

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La médiane \([AM]\) partage le triangle en deux triangles de même aire. Chacun vaut \(54\div2=27\ \text{cm}^2\). Les bases sont égales et la hauteur relative à la droite \((BC)\) est commune.

Exercice 11 : Synthèse : médiane, hauteur et aire

Difficile

Un triangle \(ABC\) a \(BC=14\) cm et une aire de \(49\ \text{cm}^2\). \(M\) est le milieu de \([BC]\) et \(H\) le pied de la hauteur issue de \(A\).

  1. Calculer \(BM\) et \(MC\).
  2. Calculer \(AH\).
  3. Calculer les aires de \(ABM\) et \(ACM\).
  4. La médiane \([AM]\) est-elle nécessairement perpendiculaire à \((BC)\) ?
  5. Donner la condition particulière qui ferait coïncider \(M\) et \(H\).
Indication

Utilisez d’abord le milieu, puis la formule inverse de l’aire. Ne confondez pas les définitions.

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  1. \(BM=MC=14\div2=7\) cm.
  2. \(AH=2\times49\div14=7\) cm.
  3. Chaque petit triangle a une aire de \(49\div2=24{,}5\ \text{cm}^2\).
  4. Une médiane n’est pas nécessairement perpendiculaire.
  5. Si le triangle est isocèle en \(A\), la médiane et la hauteur issues de \(A\) coïncident, donc \(M=H\).
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