Ces exercices corrigés sur les équations simples en 5ème portent exclusivement sur les formes \(ax=c\) et \(x+b=c\). On apprend à reconnaître l’opération appliquée à l’inconnue, à utiliser son opération inverse et à vérifier la valeur trouvée. Le cours sur les équations simples explique le modèle de la balance et le vocabulaire précis.
Les huit exercices évitent volontairement les inconnues présentes dans les deux membres et les enchaînements d’opérations réservés aux niveaux suivants. Ils complètent le parcours de mathématiques en 5ème et réemploient la traduction étudiée dans le cours de calcul littéral. Chaque correction se termine par une substitution dans l’égalité initiale.
Reconnaître une solution et choisir l’opération inverse
Avant de résoudre, on distingue l’expression de gauche, la valeur de droite et l’opération qui agit directement sur \(x\). Tester une valeur signifie la remplacer partout.
Exercice 1 : Tester sans deviner
Facile
Pour chaque proposition, remplacer \(x\) par la valeur annoncée et décider si elle est solution.
- \(x+7=19\) avec \(x=12\).
- \(4x=28\) avec \(x=6\).
- \(x+(-5)=9\) avec \(x=14\).
- \(3x=-18\) avec \(x=-6\).
Indication
Une valeur est solution seulement si le membre de gauche devient exactement égal au membre de droite.
Voir le corrigé
- Avec \(x=12\), \(12+7=19\) : la valeur est solution.
- Avec \(x=6\), \(4\times6=24\neq28\) : elle ne l’est pas.
- Avec \(x=14\), \(14+(-5)=9\) : elle est solution.
- Avec \(x=-6\), \(3\times(-6)=-18\) : elle est solution.
Le test ne consiste pas à regarder si la valeur « semble proche ». Il produit deux nombres précis et vérifie leur égalité.
Exercice 2 : Identifier la bonne action
Moyen
Sans résoudre complètement, indiquer l’opération inverse qui isolera \(x\).
- \(x+13=21\)
- \(x+(-8)=5\)
- \(7x=42\)
- \(-4x=20\)
- Expliquer pourquoi une même règle verbale ne convient pas aux quatre équations.
Indication
Repérez si le nombre est ajouté à \(x\) ou s’il multiplie \(x\).
Voir le corrigé
Pour \(x+13=21\), on soustrait \(13\) aux deux membres. Pour
\(x+(-8)=5\), on soustrait \(-8\), ce qui revient à ajouter \(8\).
Pour \(7x=42\), on divise les deux membres par \(7\). Pour \(-4x=20\),
on divise par \(-4\).
La phrase imprécise « le nombre passe de l’autre côté » masque deux opérations
différentes. Le choix fiable vient de la structure : addition dans \(x+b=c\),
multiplication dans \(ax=c\).
Résoudre les formes x+b=c et ax=c
On applique la même opération aux deux membres afin de conserver l’égalité. La ligne de vérification revient ensuite à l’équation de départ, indépendamment de la résolution.
Exercice 3 : Équations additives
Facile
Résoudre chaque équation de la forme \(x+b=c\), puis vérifier.
- \(x+9=25\)
- \(x+(-6)=11\)
- \(x+2,5=8\)
Indication
Calculez \(x=c-b\). Gardez le signe de \(b\) lorsqu’il est négatif.
Voir le corrigé
- \(x=25-9=16\). Vérification : \(16+9=25\).
- \(x=11-(-6)=17\). Vérification : \(17+(-6)=11\).
- \(x=8-2,5=5,5\). Vérification : \(5,5+2,5=8\).
La seconde équation montre qu’annuler l’addition d’un nombre négatif revient à ajouter son opposé. Le raisonnement reste celui de \(x+b=c\).
Exercice 4 : Équations multiplicatives
Moyen
Résoudre chaque équation de la forme \(ax=c\), puis écrire un contrôle exact.
- \(6x=54\)
- \(-5x=35\)
- \(8x=14\)
- \(0,4x=3,2\)
Indication
Lorsque \(a\neq0\), la solution est \(x=\frac ca\). Une fraction peut ensuite être simplifiée.
Voir le corrigé
- \(x=54\div6=9\), et \(6\times9=54\).
- \(x=35\div(-5)=-7\), et \((-5)\times(-7)=35\).
- \(x=\frac{14}{8}=\frac74=1,75\), et \(8\times\frac74=14\).
- \(x=3,2\div0,4=8\), et \(0,4\times8=3,2\).
Une solution non entière est parfaitement valide. C’est l’égalité vérifiée, et non la nature entière du résultat, qui décide.
Exercice 5 : Corriger deux raisonnements
Moyen
Éva écrit : « \(x+8=31\), donc \(x=39\) ». Tom écrit : « \(6x=42\), donc \(x=36\) ».
- Expliquer l’erreur d’Éva et donner la solution.
- Expliquer l’erreur de Tom et donner la solution.
- Vérifier les deux valeurs corrigées.
Indication
Demandez quelle opération annule celle qui est réellement appliquée à \(x\).
Voir le corrigé
Éva a ajouté \(8\) au lieu d’annuler l’addition de \(8\). Il faut soustraire :
\(x=31-8=23\), et \(23+8=31\).
Tom a soustrait \(6\), alors que \(6\) multiplie \(x\). Il faut diviser :
\(x=42\div6=7\), et \(6\times7=42\).
Les deux erreurs viennent d’une règle automatique appliquée sans lire la structure. Nommer l’opération sur \(x\) permet de choisir son inverse.
Traduire et résoudre des problèmes simples
Une mise en équation commence par la définition de l’inconnue. Le contexte doit conduire exactement à \(x+b=c\) ou \(ax=c\), puis la phrase finale redonne l’unité.
Exercice 6 : Billets de cinéma
Moyen
Chaque billet coûte \(7,50\) €. Un groupe paie exactement \(60\) €. On note \(x\) le nombre de billets.
- Écrire l’équation correspondant au prix total.
- Résoudre l’équation.
- Vérifier dans le contexte.
- Rédiger une phrase de réponse.
Indication
Le même prix est répété \(x\) fois : la relation est multiplicative.
Voir le corrigé
- L’équation est \(7,5x=60\).
- On divise par \(7,5\) : \(x=60\div7,5=8\).
- Huit billets coûtent \(7,5\times8=60\) € ; le montant annoncé est retrouvé.
- Le groupe a acheté 8 billets.
La solution est un nombre entier cohérent avec une quantité de billets. L’unité n’apparaît pas dans l’équation, mais elle doit revenir dans la réponse.
Exercice 7 : Température après une hausse
Moyen
Une température inconnue augmente de \(6,5\ ^\circ\text{C}\) et atteint \(18\ ^\circ\text{C}\). On note \(x\) la température initiale.
- Traduire la situation par une équation autorisée.
- Calculer la température initiale.
Indication
La valeur finale est la valeur initiale à laquelle on ajoute \(6,5\).
Voir le corrigé
L’équation est \(x+6,5=18\), qui est bien de la forme \(x+b=c\).
On soustrait \(6,5\) aux deux membres :
\(x=18-6,5=11,5\).
Vérification : \(11,5+6,5=18\). La température initiale était donc
\(11,5\ ^\circ\text{C}\). Le calcul ne demande pas de « déplacer » \(6,5\) :
il annule son addition par l’opération inverse.
Exercice 8 : Créer puis contrôler deux énoncés
Difficile
On veut produire deux problèmes dont les équations sont \(4x=52\) et \(x+15=47\).
- Inventer un énoncé réaliste correspondant à \(4x=52\).
- Résoudre l’équation et interpréter la solution.
- Inventer un autre énoncé correspondant à \(x+15=47\).
- Résoudre puis interpréter cette seconde équation.
- Expliquer quel détail de chaque énoncé impose la forme choisie.
Indication
Pour \(4x=52\), imaginez quatre lots identiques. Pour \(x+15=47\), imaginez une quantité initiale augmentée d’une quantité fixe.
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Exemple 1 : « Quatre cahiers au même prix coûtent \(52\) €. Quel est le prix
d’un cahier ? » L’équation \(4x=52\) donne \(x=13\). Un cahier coûte \(13\) €,
et \(4\times13=52\).
Exemple 2 : « Après avoir ajouté \(15\) L dans une cuve, elle contient \(47\) L.
Quel était son volume initial ? » L’équation \(x+15=47\) donne \(x=32\).
La cuve contenait \(32\) L, et \(32+15=47\).
Dans le premier contexte, quatre quantités identiques imposent une multiplication.
Dans le second, une hausse fixe impose une addition. Les unités et les vérifications
rendent les modèles cohérents.