Ces exercices corrigés de calcul littéral en 5ème apprennent à passer d’une phrase à une expression, à remplacer une lettre par une valeur et à regrouper des termes réellement semblables. Le cours de calcul littéral en 5ème explique le rôle des lettres et les conventions d’écriture.
Les treize exercices sont centrés sur cette intention précise. Ils n’utilisent ni le développement par distributivité ni la résolution d’équations, qui demandent leurs propres méthodes. La progression complète le parcours de mathématiques en 5ème et réemploie la notation des carrés et cubes lorsqu’une formule contient une puissance.
Traduire le langage courant en expression
Une expression littérale décrit un calcul sans affirmer qu’il existe une valeur inconnue à trouver. Les mots somme, produit, double ou carré indiquent sa structure.
Exercice 1 : Associer mots et symboles
Facile
Écrire une expression correspondant à chaque phrase. On note \(x\) le nombre choisi.
- Le triple de \(x\).
- La somme de \(x\) et de \(8\).
- Le carré de \(x\), diminué de \(5\).
- Le périmètre d’un rectangle de longueur \(x\) et de largeur \(4\).
Indication
« Triple » signifie multiplier par \(3\). Pour un rectangle, additionnez deux longueurs et deux largeurs.
Voir le corrigé
- Le triple de \(x\) s’écrit \(3x\).
- La somme demandée est \(x+8\).
- Le carré diminué de \(5\) est \(x^2-5\).
- Le périmètre vaut \(x+4+x+4=2x+8\).
Une expression ne contient pas nécessairement de signe égal : elle représente un calcul, pas encore une équation.
Exercice 2 : Distinguer une somme d’un produit
Moyen
Pour chaque écriture, décrire l’opération principale effectuée en dernier : \(5x+3\), \(5(x+3)\), \(x^2+3x\).
- Décrire \(5x+3\) par une phrase.
- Décrire \(5(x+3)\) sans développer.
- Identifier les deux termes de \(x^2+3x\).
Indication
Regardez l’opération située au niveau le plus extérieur. Les parenthèses font de \(x+3\) un bloc.
Voir le corrigé
\(5x+3\) est la somme du quintuple de \(x\) et de \(3\).
\(5(x+3)\) est le produit de \(5\) par la somme de \(x\) et de \(3\).
Enfin, \(x^2+3x\) est une somme dont les termes sont \(x^2\) et \(3x\).
Ces descriptions révèlent des structures différentes, même lorsque les mêmes nombres apparaissent.
Exercice 3 : Le programme décrit dans le désordre
Moyen
Un programme demande de choisir \(n\), de calculer son carré, puis d’ajouter le double du nombre de départ.
- Écrire l’expression finale.
- Expliquer pourquoi \(3n^2\) ne traduit pas ce programme.
Indication
Le carré et le double sont deux résultats séparés que l’on additionne.
Voir le corrigé
Le carré vaut \(n^2\) et le double du nombre de départ vaut \(2n\).
L’expression est donc \(n^2+2n\). L’écriture \(3n^2\) signifierait trois fois le
carré de \(n\) ; elle confond une addition de termes différents avec une multiplication.
Un test avec \(n=2\) confirme l’écart : \(n^2+2n=8\), tandis que \(3n^2=12\).
Substituer une valeur dans une formule
Substituer consiste à remplacer chaque occurrence d’une lettre par la valeur donnée. Les parenthèses sont indispensables lorsque cette valeur est négative.
Exercice 4 : Évaluer quatre expressions
Facile
On donne \(x=4\). Calculer les expressions en écrivant la substitution.
- \(A=3x+7\)
- \(B=x^2-5\)
- \(C=2x^2+x\)
- \(D=20-4x\)
- Classer les quatre valeurs dans l’ordre croissant.
Indication
Remplacez chaque \(x\) par \(4\), calculez les carrés avant les multiplications, puis les sommes ou différences.
Voir le corrigé
- \(A=3\times4+7=19\).
- \(B=4^2-5=16-5=11\).
- \(C=2\times4^2+4=32+4=36\).
- \(D=20-4\times4=4\).
- L’ordre croissant est \(D=4<B=11<A=19<C=36\).
La substitution complète rend l’ordre des opérations visible et vérifiable.
Exercice 5 : Substituer un nombre négatif
Moyen
On donne \(t=-3\) et \(E=2t^2+5t-1\).
- Écrire la ligne de substitution avec des parenthèses.
- Calculer \(E\).
Indication
Écrivez \((-3)^2\), et non \(-3^2\). Le signe fait partie de la valeur remplacée.
Voir le corrigé
La substitution correcte est
\(E=2\times(-3)^2+5\times(-3)-1\).
Le carré vaut \(9\), donc \(E=18-15-1=2\).
Les parenthèses montrent que l’on élève \(-3\) au carré. Sans elles,
\(-3^2\) serait interprété comme l’opposé de \(3^2\).
Exercice 6 : Une formule de coût
Moyen
La location d’un vélo coûte \(C=6h+4\), où \(h\) est la durée entière en heures et \(C\) le prix en euros.
- Calculer le prix pour \(h=3\).
- Calculer le prix pour \(h=7\).
- Interpréter les nombres \(6\) et \(4\) dans le contexte.
- Comparer les deux prix sans refaire tous les calculs.
Indication
Le terme \(6h\) varie avec la durée ; le terme \(4\) reste fixe.
Voir le corrigé
Pour \(h=3\), \(C=6\times3+4=22\) €, et pour \(h=7\),
\(C=6\times7+4=46\) €. Le nombre \(6\) est le prix de chaque heure ; \(4\) est
un coût fixe. Entre \(3\) h et \(7\) h, quatre heures sont ajoutées, donc le prix
augmente directement de \(4\times6=24\) €, ce qui confirme \(46-22=24\).
Réduire seulement les termes semblables
Réduire une expression consiste à regrouper les termes portant exactement la même partie littérale. Un terme en \(x\), un terme en \(x^2\) et une constante ne sont pas semblables.
Exercice 7 : Regrouper des termes en x
Facile
Réduire chaque expression en expliquant le regroupement.
- \(4x+7x\)
- \(9x-3x+2\)
- \(5+2x+8+3x\)
Indication
Comptez les « paquets de \(x\) » entre eux et les nombres sans lettre entre eux.
Voir le corrigé
- \(4x+7x=(4+7)x=11x\).
- \(9x-3x+2=6x+2\) ; la constante \(2\) reste séparée.
- \(5+2x+8+3x=(2x+3x)+(5+8)=5x+13\).
Réduire ne change pas la valeur : cela donne une écriture plus courte du même calcul.
Exercice 8 : Termes en x et en x au carré
Moyen
Réduire sans confondre \(x\) et \(x^2\).
- \(3x^2+5x^2-2x\)
- \(7x+4x^2-3x+2x^2\)
- Vérifier la deuxième réduction pour \(x=2\).
- Expliquer pourquoi \(x^2+x\) ne se réduit pas en \(2x^2\).
Indication
Regroupez les coefficients des termes qui ont la même puissance de \(x\).
Voir le corrigé
La première expression devient \(8x^2-2x\).
La seconde devient \(6x^2+4x\), car \(4x^2+2x^2=6x^2\) et \(7x-3x=4x\).
Pour \(x=2\), l’expression initiale vaut \(14+16-6+8=32\), et la forme réduite
vaut \(6\times4+4\times2=32\). Enfin, \(x^2\) et \(x\) ne décrivent pas la même
partie littérale ; avec \(x=3\), \(x^2+x=12\), alors que \(2x^2=18\).
Exercice 9 : Diagnostiquer une réduction impossible
Moyen
Samira propose \(6a+4=10a\). Yanis propose \(3b^2+2b=5b^2\).
- Expliquer l’erreur de Samira.
- Expliquer l’erreur de Yanis.
- Donner une valeur-test qui réfute chaque égalité.
Indication
Une constante n’a pas de partie littérale ; \(b\) et \(b^2\) ne sont pas semblables.
Voir le corrigé
Samira additionne à tort un terme en \(a\) et une constante : \(6a+4\)
est déjà réduit. Avec \(a=1\), le membre gauche vaut \(10\), mais \(10a=10\) ;
ce test particulier ne réfute pas l’égalité. Il faut choisir \(a=2\) :
\(6a+4=16\), contre \(20\).
Yanis confond \(b\) et \(b^2\). Avec \(b=2\), \(3b^2+2b=16\), tandis que
\(5b^2=20\). Les deux contre-exemples suffisent à prouver que les égalités proposées
ne sont pas valables pour toutes les valeurs.
Exercice 10 : Réduction à reconstruire
Difficile
Une expression réduite vaut \(7x^2+3x+5\). Construire une expression non réduite comportant six termes et donnant cette forme.
- Proposer une expression convenable.
Indication
Décomposez les coefficients \(7\), \(3\) et \(5\) en plusieurs sommes ou différences.
Voir le corrigé
Une réponse possible est
\(4x^2+5x+2+3x^2-2x+3\).
En regroupant, on obtient
\((4+3)x^2+(5-2)x+(2+3)=7x^2+3x+5\).
D’autres réponses sont possibles : il suffit que les coefficients des termes
semblables aient respectivement pour sommes \(7\), \(3\) et \(5\).
Modéliser et contrôler une expression
Une formule utile doit être reliée aux grandeurs qu’elle représente. Le contrôle peut porter sur les unités, une valeur particulière ou une seconde manière de compter.
Exercice 11 : Compter des allumettes
Moyen
Une rangée de \(n\) carrés séparés utilise \(4n\) allumettes. On ajoute ensuite une allumette sous chaque jonction entre deux carrés.
- Combien y a-t-il de jonctions pour \(n\) carrés ?
- Écrire le nombre total d’allumettes.
- Réduire l’expression obtenue.
- Calculer le total pour \(n=6\).
- Contrôler directement le résultat pour six carrés.
Indication
Entre \(n\) objets alignés, il y a \(n-1\) intervalles.
Voir le corrigé
- Il existe \(n-1\) jonctions.
- Le total est \(4n+(n-1)\).
- Comme \(n-1=n+(-1)\), la forme réduite est \(5n-1\).
- Pour \(n=6\), \(5\times6-1=29\).
- On compte \(24\) allumettes pour les six carrés et \(5\) sous les jonctions, soit \(29\).
Le contrôle relie la formule à la construction réelle.
Exercice 12 : Comparer deux périmètres
Difficile
Un rectangle A a pour côtés \(x+2\) cm et \(3\) cm. Un rectangle B a pour côtés \(x\) cm et \(5\) cm.
- Écrire puis réduire le périmètre de A.
- Écrire puis réduire le périmètre de B.
Indication
Utilisez deux longueurs et deux largeurs. Il s’agit de comparer des expressions, pas de chercher une valeur de \(x\).
Voir le corrigé
Pour A,
\(P_A=(x+2)+(x+2)+3+3=2x+10\).
Pour B,
\(P_B=x+x+5+5=2x+10\).
Les expressions réduites sont identiques : les deux rectangles ont donc le même
périmètre pour toute longueur admissible \(x\). Aucune équation n’a été résolue ;
on a construit puis comparé deux formules.
Exercice 13 : Choisir une formule cohérente
Difficile
Un abonnement coûte \(12\) € de frais fixes puis \(3\) € par séance. Trois formules sont proposées pour \(s\) séances : \(12s+3\), \(3s+12\), \(15s\).
- Choisir la formule correcte.
- Expliquer l’erreur représentée par chacune des deux autres.
- Calculer le coût de \(8\) séances.
Indication
Un coût fixe apparaît une seule fois ; le coût par séance est multiplié par le nombre de séances.
Voir le corrigé
La formule correcte est \(3s+12\). Dans \(12s+3\), les rôles sont inversés :
les frais fixes seraient facturés à chaque séance. Dans \(15s\), on additionne les
deux tarifs puis on les répète, ce qui rend aussi les frais fixes variables.
Pour \(s=8\), le coût exact est \(3\times8+12=24+12=36\) €.
L’unité et le sens des coefficients valident la formule choisie.