Volumes 5ème : cube, pavé, prisme et cylindre

Les volumes en 5ème mesurent l'espace occupé par un solide. Cube, pavé droit, prisme et cylindre semblent demander des formules différentes, mais une même idée les relie : empiler des couches identiques dont l'aire est celle de la base.

Le cours part de cette idée unificatrice, puis traite les unités cubiques, le lien avec les litres et les problèmes inverses où une hauteur ou un rayon doit être retrouvé.

Table des Matières

Le volume compte des unités cubiques

Unité de volume

Un centimètre cube, noté $\text{cm}^3$ , est le volume d'un cube de $1$ cm de côté. Mesurer un volume revient à déterminer combien d'unités cubiques remplissent le solide sans trou ni chevauchement.

Une aire décrit une surface en deux dimensions ; un volume décrit un espace en trois dimensions. L'exposant $3$ dans l'unité rappelle les trois directions de mesure.

Une formule commune : aire de base fois hauteur

Volume obtenu par empilement de bases — Des couches de même aire $B$ sont empilées sur une hauteur $h$ .

Volume d’un prisme droit ou d’un cylindre

V=B\times h, \quad\text{où }B\text{ est l'aire d'une base.}

La hauteur $h$ est la distance perpendiculaire entre les deux bases. La formule exige donc d'identifier correctement la base et de calculer son aire avant de multiplier.

Cube et pavé droit

Solide	Aire de base	Hauteur	Volume
Cube de côté $c$	$c^2$	$c$	$c^3$
Pavé $L\times\ell\times h$	$L\times\ell$	$h$	$L\ell h$

V=8\times3{,}5\times2 =56\ \text{cm}^3.

Les trois dimensions doivent être exprimées dans la même unité. L'ordre longueur-largeur-hauteur ne change pas le produit, mais écrire les unités à chaque donnée évite de multiplier des mètres par des centimètres.

Prisme à base triangulaire

Un prisme a une base triangulaire de base $6$ cm et de hauteur $4$ cm. La hauteur du prisme est $10$ cm. On calcule d'abord l'aire du triangle, puis le volume.

\begin{aligned} B&=\frac{6\times4}{2}=12\ \text{cm}^2,\\ V&=12\times10=120\ \text{cm}^3. \end{aligned}

Deux hauteurs différentes interviennent : la hauteur du triangle pour calculer $B$ , puis la hauteur du prisme pour calculer $V$ . Les nommer empêche de les confondre.

Cylindre de révolution

La base du cylindre est un disque de rayon $r$ , donc $B=\pi r^2$ . Le volume est :

V=\pi r^2h.

Pour $r=3$ cm et $h=8$ cm, le volume exact vaut $72\pi\,\text{cm}^3$ , soit environ $226,2\,\text{cm}^3$ avec $\pi\approx3,14$ .

Erreur fréquente : si le diamètre est donné, il faut le diviser par $2$ avant de calculer $r^2$ . Utiliser le diamètre à la place du rayon multiplie l'aire de base par $4$ .

Convertir des unités cubiques

Égalité	Explication
$1\,\text{m}^3=1\,000\,\text{dm}^3$	$10^3$ petits cubes
$1\,\text{dm}^3=1\,000\,\text{cm}^3$	$10^3$ petits cubes
$1\,\text{cm}^3=1\,000\,\text{mm}^3$	$10^3$ petits cubes

Deux unités cubiques consécutives diffèrent d'un facteur $1\,000$ , car chaque longueur est multipliée par $10$ dans trois directions : $10\times10\times10=1\,000$ .

Ainsi $2,4\,\text{dm}^3=2\,400\,\text{cm}^3$ , et $750\,000\,\text{cm}^3=0,75\,\text{m}^3$ .

Erreur fréquente : une conversion de volume ne suit ni le facteur $10$ des longueurs ni le facteur $100$ des aires, mais le facteur $1\,000$ .

Relier volume et capacité

Correspondances avec les litres

1\ \text{L}=1\ \text{dm}^3, \qquad 1\ \text{mL}=1\ \text{cm}^3.

Un récipient de $2\,500\,\text{cm}^3$ a donc une capacité de $2\,500$ mL, soit $2,5$ L. Cette correspondance suppose que les dimensions intérieures du récipient ont été utilisées.

Retrouver une hauteur à partir du volume

Un prisme a un volume de $180\,\text{cm}^3$ et une base d'aire $24\,\text{cm}^2$ . Comme $V=Bh$ , sa hauteur vaut :

h=\frac{V}{B} =\frac{180}{24} =7{,}5\ \text{cm}.

L'unité confirme le raisonnement : diviser des centimètres cubes par des centimètres carrés donne des centimètres. Les équations simples apportent une autre façon de justifier cette opération inverse.

Organiser un problème de volume

Identifier le solide et choisir une base.
Convertir toutes les longueurs dans la même unité.
Calculer l'aire $B$ de la base avec l'unité carrée.
Multiplier par la hauteur du solide.
Exprimer le résultat en unité cubique et convertir si nécessaire.

La représentation et le vocabulaire des bases sont développés dans Prismes droits et cylindres 5ème. Les formules d'aires utilisées pour $B$ se trouvent dans Aires et conversions 5ème.

Astuce : écrire une ligne séparée pour l'aire de base. Elle empêche de mélanger la hauteur d'une base triangulaire avec la hauteur du solide.

Aquarium : du volume intérieur aux litres

Un aquarium intérieur mesure $60$ cm de longueur, $30$ cm de largeur et $40$ cm de hauteur. Son volume maximal est $60\times30\times40=72\,000\,\text{cm}^3$ , soit $72$ L.

S'il n'est rempli qu'à $35$ cm de hauteur, le volume d'eau devient $60\times30\times35=63\,000\,\text{cm}^3=63$ L. La hauteur utile est celle de l'eau, pas celle de la cuve.

Dans une situation réelle, le décor et l'épaisseur des parois réduisent encore la capacité disponible. Le calcul mathématique précise les dimensions supposées.

Comparer un prisme et un cylindre de même hauteur

Un prisme a une base d'aire $50\,\text{cm}^2$ et un cylindre un rayon de $4$ cm. Les deux solides ont une hauteur de $10$ cm.

V_{\text{prisme}}=50\times10=500\ \text{cm}^3, \qquad V_{\text{cylindre}}=160\pi\approx502{,}7\ \text{cm}^3.

Les volumes sont proches parce que l'aire du disque, $16\pi\approx50,27\,\text{cm}^2$ , est proche de $50\,\text{cm}^2$ . À hauteur égale, comparer les volumes revient à comparer les aires de base.

Volumes 5ème : l’essentiel à retenir

Les volumes en 5ème se ramènent à $V=B\times h$ . Cube et pavé utilisent une base carrée ou rectangulaire, le prisme une base polygonale et le cylindre un disque. Les conversions suivent un facteur $1\,000$ entre unités cubiques successives.

Le programme officiel de mathématiques du cycle 4 relie ces calculs à la représentation des solides, aux aires et aux capacités usuelles.