Les médiatrices et le cercle circonscrit en 5ème répondent à un problème de localisation : où placer un point à égale distance des trois sommets d’un triangle ? La médiatrice d’un côté donne tous les points équidistants de ses deux extrémités.
En croisant deux médiatrices, on obtient donc un point équidistant des trois sommets. Ce point devient le centre du cercle circonscrit. La construction et la preuve reposent sur la même propriété.
La médiatrice comme lieu de points
Médiatrice d’un segment
La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe par son milieu.
Propriété d’équidistance et réciproque
Si un point appartient à la médiatrice de \([AB]\), alors il est à égale distance de \(A\) et \(B\). Réciproquement, si \(MA=MB\), alors \(M\) appartient à la médiatrice de \([AB]\).
La propriété directe permet d’obtenir une égalité de distances à partir d’une appartenance. La réciproque permet de prouver qu’un point se trouve sur la médiatrice à partir d’une égalité.
Construire une médiatrice sans mesurer le milieu
- Ouvrir le compas à une longueur supérieure à la moitié de \(AB\).
- Tracer deux arcs de centre \(A\), de part et d’autre du segment.
- Sans changer l’ouverture, tracer deux arcs de centre \(B\).
- Relier les deux points d’intersection des arcs.
Chaque point d’intersection est à la même distance de \(A\) et de \(B\), car les arcs ont le même rayon. Il appartient donc à la médiatrice. La droite passant par deux de ces points est exactement la médiatrice.
Cette construction reprend et approfondit la médiatrice d’un segment étudiée en 6ème.
Trois médiatrices qui se rencontrent en un point
Concours des médiatrices
Les trois médiatrices des côtés d’un triangle sont concourantes : elles se coupent en un même point \(O\).
Si \(O\) appartient à la médiatrice de \([AB]\), alors \(OA=OB\). S’il appartient aussi à celle de \([BC]\), alors \(OB=OC\). Par enchaînement, \(OA=OB=OC\), donc \(O\) appartient également à la médiatrice de \([AC]\).
Définir le cercle circonscrit
Cercle circonscrit à un triangle
Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle qui passe par ses trois sommets. Son centre est le point de concours des médiatrices des côtés.
Les trois distances égales sont des rayons du même cercle. Tracer le cercle de centre \(O\) et de rayon \(OA\) suffit donc pour passer aussi par \(B\) et \(C\).
Pourquoi deux médiatrices suffisent à la construction
Deux droites non parallèles déterminent un unique point d’intersection. En traçant deux médiatrices, on obtient le seul point équidistant des trois sommets. La troisième médiatrice doit passer par ce point d’après la propriété de concours.
Tracer la troisième reste utile comme contrôle : si elle ne passe pas par l’intersection, l’une des constructions au compas ou à l’équerre est imprécise.
Erreur fréquente : le centre du cercle circonscrit n’est pas nécessairement à l’intérieur du triangle. Il est sur un côté pour un triangle rectangle et à l’extérieur pour un triangle obtusangle.
Programme de construction complet
- Tracer le triangle \(ABC\) selon les données.
- Construire la médiatrice de \([AB]\).
- Construire la médiatrice de \([BC]\).
- Nommer \(O\) leur point d’intersection.
- Tracer le cercle de centre \(O\) et de rayon \(OA\).
- Vérifier qu’il passe par \(B\) et \(C\).
Le choix des côtés est libre : n’importe quelles deux médiatrices conviennent. Des côtés longs et bien espacés peuvent toutefois améliorer la précision du dessin.
Rédiger la preuve que le cercle passe par les trois sommets
Une rédaction rigoureuse suit les implications :
- \(O\) appartient à la médiatrice de \([AB]\), donc \(OA=OB\).
- \(O\) appartient à la médiatrice de \([BC]\), donc \(OB=OC\).
- Ainsi \(OA=OB=OC\).
- Le cercle de centre \(O\) et de rayon \(OA\) passe donc par \(A\), \(B\) et \(C\).
Le mot « donc » relie une hypothèse à une propriété. Écrire seulement « on voit que les distances sont égales » ne constitue pas une justification.
Applications de l’équidistance
Placer un équipement à égale distance de trois villages modélisés par les sommets d’un triangle conduit au centre du cercle circonscrit. Dans une construction, un point connu à égale distance de \(A\) et \(B\) peut être placé sur la médiatrice de \([AB]\) avant toute mesure.
Ces raisonnements utilisent les constructions et conditions des triangles en 5ème.
Astuce : identifier le mot « équidistant » dans l’énoncé : il signale souvent une médiatrice ou un cercle.
Position du centre selon la forme du triangle
Dans un triangle aigu, le centre du cercle circonscrit est à l’intérieur. Dans un triangle rectangle, il se trouve au milieu de l’hypoténuse. Dans un triangle obtusangle, il est à l’extérieur.
Ces positions n’altèrent pas la construction : deux médiatrices se coupent toujours au point équidistant des sommets. Elles expliquent seulement pourquoi il faut parfois prolonger les médiatrices au-delà du triangle.
Pour un triangle rectangle, le cercle de diamètre l’hypoténuse passe par le troisième sommet. Son centre, milieu de l’hypoténuse, est donc à égale distance des trois sommets.
Localiser un point équidistant de trois lieux
Trois stations \(A,B,C\) doivent partager une antenne située à égale distance. La condition \(MA=MB\) place l’antenne sur la médiatrice de \([AB]\). La condition \(MB=MC\) la place sur la médiatrice de \([BC]\).
Leur intersection \(M\) vérifie alors \(MA=MB=MC\). Le cercle de centre \(M\) passant par une station passe par les deux autres.
Ce modèle suppose que la distance est mesurée en ligne droite et que le terrain n’impose aucun obstacle. Les mathématiques résolvent le modèle géométrique ; le contexte réel peut ajouter des contraintes.
Médiatrices et cercle circonscrit 5ème : l’essentiel à retenir
Les médiatrices et le cercle circonscrit en 5ème sont un même raisonnement d’équidistance. Deux médiatrices localisent le centre ; l’égalité des trois rayons prouve que le cercle passe par les sommets.
Le programme officiel de mathématiques du cycle 4 attend que cette construction soit reliée à la propriété directe et à sa réciproque.