La symétrie centrale en 5ème transforme une figure par un demi-tour autour d’un point fixe. L’image d’un point \(A\) n’est pas obtenue en le rabattant sur une droite : elle se trouve de l’autre côté du centre \(O\), à la même distance.
Ce cours construit d’abord l’image d’un point avec la règle et le compas, puis montre ce que la transformation conserve. Les propriétés serviront autant à dessiner qu’à démontrer un parallélisme ou une égalité de longueurs.
Le centre est le milieu du point et de son image
Symétrique d’un point
Le point \(A’\) est l’image de \(A\) par la symétrie de centre \(O\) lorsque \(O\) est le milieu du segment \([AA’]\). Les points \(A,O,A’\) sont donc alignés et \(OA=OA’\).
Le point \(O\) est sa propre image. Pour tout autre point, l’image est unique. Voir la transformation comme une rotation d’un demi-tour explique que le haut devient le bas et la droite devient la gauche autour de \(O\).
Construire l’image d’un point avec précision
- Tracer la droite \((AO)\).
- Ouvrir le compas à la longueur \(OA\).
- Reporter cette longueur de l’autre côté de \(O\) sur la droite.
- Nommer le point obtenu \(A’\) et coder \(OA=OA’\).
Avec une règle graduée, on peut aussi mesurer \(OA\), mais le compas reporte une longueur sans erreur de lecture. Le codage du milieu constitue une partie de la justification, pas seulement une décoration.
Erreur fréquente : placer \(A’\) à la bonne distance mais du même côté de \(O\) ne convient pas. Le centre doit être entre \(A\) et \(A’\).
Construire l’image d’un segment, d’une droite ou d’un cercle
Pour construire l’image du segment \([AB]\), on construit séparément \(A’\) et \(B’\), puis on trace \([A’B’]\). Une droite qui ne passe pas par \(O\) a pour image une droite parallèle. Si elle passe par \(O\), elle reste elle-même.
L’image d’un cercle de centre \(C\) et de rayon \(r\) est le cercle de centre \(C’\) et de même rayon \(r\). Il suffit donc de construire l’image du centre ; le rayon est conservé.
Cette logique « points remarquables puis liaison » est plus fiable que tenter de tourner toute la figure à l’œil.
Les grandeurs et les relations conservées
Invariants de la symétrie centrale
La symétrie centrale conserve les longueurs, les mesures d’angles, l’alignement, le parallélisme, les aires et la forme des figures. L’image d’une droite est une droite parallèle, ou la même droite si elle passe par le centre.
| Objet initial | Image | Ce qui est conservé |
|---|---|---|
| Segment \([AB]\) | Segment \([A’B’]\) | \(AB=A’B’\) |
| Angle \(\widehat{ABC}\) | Angle \(\widehat{A’B’C’}\) | Même mesure |
| Triangle \(ABC\) | Triangle \(A’B’C’\) | Longueurs, angles, aire |
| Deux droites parallèles | Deux droites parallèles | Parallélisme |
Ces propriétés permettent de déduire des informations sans mesurer. Une égalité obtenue par symétrie est exacte, contrairement à une mesure faite sur un dessin.
Rédiger une justification à partir du milieu
Si \(O\) est le milieu de \([AA’]\) et de \([BB’]\), alors \(A’\) et \(B’\) sont les images respectives de \(A\) et \(B\) par la même symétrie centrale. Le segment \([A’B’]\) est donc l’image de \([AB]\).
On peut aussi conclure que les droites \((AB)\) et \((A’B’)\) sont parallèles. La rédaction doit citer d’abord les images, puis la propriété de conservation utilisée.
Reconnaître un centre de symétrie
Une figure possède un centre de symétrie si le demi-tour autour de ce point la superpose à elle-même. Le centre d’un cercle en est un ; le point d’intersection des diagonales d’un parallélogramme aussi.
Un triangle non aplati n’a pas de centre de symétrie : un demi-tour échangerait ses sommets par paires, ce qui est impossible avec trois sommets. Un rectangle possède un centre de symétrie et aussi des axes de symétrie ; les deux notions peuvent coexister.
Astuce : chercher des paires de points opposés et vérifier que leur milieu est toujours le même point.
Ne pas confondre symétrie centrale et axiale
| Transformation | Élément fixe | Mouvement mental |
|---|---|---|
| Symétrie centrale | Un point \(O\) | Demi-tour |
| Symétrie axiale | Une droite | Pliage ou miroir |
En symétrie axiale, le segment joignant un point à son image est perpendiculaire à l’axe. En symétrie centrale, le segment passe par le centre et celui-ci en est le milieu.
Le cours de symétrie axiale en 6ème permet de comparer précisément les deux constructions.
Coordonnées d’un symétrique dans un repère
Dans un repère, le symétrique de \(A(x;y)\) par rapport à l’origine \(O\) a pour coordonnées \(A'(-x;-y)\). Les deux coordonnées changent de signe parce que le déplacement horizontal et le déplacement vertical sont inversés.
Pour un centre quelconque, la méthode du milieu reste la référence. Les conventions d’abscisse et d’ordonnée sont rappelées dans Repérage dans le plan 5ème.
Construction d’un motif complet autour d’un centre
Pour construire l’image d’un quadrilatère \(ABCD\), on trace successivement les droites \((AO)\), \((BO)\), \((CO)\) et \((DO)\), puis on reporte chaque distance de l’autre côté de \(O\). On obtient \(A’,B’,C’,D’\).
Relier les images dans le même ordre est indispensable. Le segment \([A’B’]\) est l’image de \([AB]\), \([B’C’]\) celle de \([BC]\), etc. Changer l’ordre pourrait créer une figure croisée.
Une vérification efficace consiste à tracer les segments \([AA’]\), \([BB’]\), \([CC’]\) et \([DD’]\). Ils doivent tous passer par \(O\), et \(O\) doit être leur milieu. Une seule condition manquante suffit à invalider un point.
Démonstration dans un parallélogramme
Dans un parallélogramme \(ABCD\), les diagonales se coupent en \(O\). Elles se coupent en leur milieu, donc \(O\) est le milieu de \([AC]\) et de \([BD]\).
Par définition de la symétrie centrale, \(A\) et \(C\) sont symétriques par rapport à \(O\), de même que \(B\) et \(D\). Le demi-tour de centre \(O\) superpose donc le parallélogramme à lui-même.
Cette preuve explique pourquoi l’intersection des diagonales est le centre de symétrie, au lieu de se contenter de l’observer sur le dessin.
Symétrie centrale 5ème : l’essentiel à retenir
La symétrie centrale en 5ème se reconnaît par une condition simple : le centre est le milieu de chaque segment joignant un point à son image. Cette condition guide la construction et justifie la conservation des longueurs, angles et parallélismes.
Le programme officiel de mathématiques du cycle 4 demande d’articuler instruments, propriétés et raisonnement plutôt que de se limiter à une figure approximative.