Les fonctions en 5ème servent à décrire comment une grandeur dépend d’une autre. Le prix payé dépend du nombre d’articles, l’aire d’un carré dépend de son côté, et la distance parcourue dépend du temps. Une fonction associe une seule valeur de sortie à chaque valeur d’entrée autorisée.
Le cœur de cette introduction est le passage entre trois représentations : une formule, un tableau de valeurs et un graphique. Chacune montre une information différente, et aucune ne doit être confondue avec la situation elle-même.
« En fonction de » : identifier entrée et sortie
Dépendance fonctionnelle
Une grandeur \(y\) est fonction d’une grandeur \(x\) lorsqu’à chaque valeur autorisée de \(x\) correspond une unique valeur de \(y\). On appelle \(x\) la variable d’entrée et \(y\) la valeur de sortie.
Pour un carré de côté \(c\), le périmètre est \(P=4c\) et l’aire \(\mathcal A=c^2\). Une même entrée \(c\) produit deux sorties selon la règle choisie. Il faut donc toujours nommer la grandeur étudiée.
Une fonction n’exige pas que deux grandeurs soient proportionnelles. \(P=4c\) est proportionnelle ; \(\mathcal A=c^2\) ne l’est pas, mais l’aire reste bien fonction du côté.
La machine : une règle, une sortie
Considérons la règle « multiplier par \(2\), puis ajouter \(1\) ». Si l’entrée est \(x\), la sortie s’écrit \(2x+1\). On peut nommer la fonction \(f\) et écrire \(f(x)=2x+1\).
Le nombre \(f(2)\) se lit « image de \(2\) par \(f\) ». Il ne signifie pas \(f\times2\). Le signe \(f\) nomme la règle, et les parenthèses contiennent l’entrée.
Erreur fréquente : dans \(f(3)\), on remplace chaque \(x\) de la formule par \(3\). On ne remplace pas seulement la première occurrence.
Construire un tableau de valeurs à partir d’une formule
Pour \(f(x)=2x+1\), on choisit des entrées, on effectue séparément le calcul de chaque image et on inscrit les couples correspondants.
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)=2x+1\) | \(-3\) | \(-1\) | \(1\) | \(3\) | \(7\) |
Une colonne du tableau représente un couple : \((-2;-3)\), puis \((-1;-1)\), etc. Elle ne décrit pas une opération entre les deux lignes. La première ligne contient les entrées et la seconde les sorties.
La substitution et le respect des priorités utilisent les techniques de calcul littéral en 5ème.
Placer les couples dans un repère
Pour représenter le tableau, on place le point d’abscisse \(x\) et d’ordonnée \(f(x)\). Le couple \((3;7)\) donne donc un point situé à l’intersection de la verticale \(x=3\) et de l’horizontale \(y=7\).
Un graphique construit à partir de quelques valeurs ne donne pas automatiquement toute la courbe. On relie les points seulement si la situation autorise des valeurs intermédiaires, par exemple une distance en fonction du temps. Pour un nombre d’objets, seules les abscisses entières peuvent avoir un sens.
Lire une valeur sur un graphique
Pour lire l’image d’une entrée \(x\), on part de cette valeur sur l’axe horizontal, on rejoint le graphique verticalement puis on lit l’ordonnée correspondante. Pour chercher une entrée associée à une sortie, on effectue le trajet inverse à partir de l’axe vertical.
| Question | Trajet de lecture |
|---|---|
| Quelle est la sortie pour \(x=4\) ? | Verticale depuis \(4\), puis horizontale vers l’axe \(y\) |
| Quand la sortie vaut \(6\) ? | Horizontale depuis \(6\), puis verticale vers l’axe \(x\) |
La précision dépend du pas des axes et de l’épaisseur du tracé. Une lecture graphique peut être approchée, tandis qu’une formule fournit souvent une valeur exacte.
Les conventions d’abscisse et d’ordonnée sont détaillées dans Repérage dans le plan 5ème.
Reconnaître une fonction de proportionnalité
Si la formule est \(y=kx\), la situation est proportionnelle. Son tableau possède un coefficient constant et son graphique est une droite passant par l’origine.
La formule précédente peut représenter un prix \(P\) en euros pour une masse \(m\) en kilogrammes à \(2,40\,€\) le kilogramme. La droite passe par l’origine parce qu’une masse nulle coûte \(0\,€\).
Une formule \(y=kx+b\) avec \(b\neq0\) définit toujours une fonction simple, mais pas une proportionnalité. Cette distinction reprend les tests du cours de proportionnalité en 5ème.
Choisir la représentation la plus informative
| Représentation | Atout principal | Limite |
|---|---|---|
| Formule | Calcul exact pour de nombreuses entrées | Demande de savoir calculer |
| Tableau | Valeurs précises et organisées | Ne montre que les entrées choisies |
| Graphique | Vue globale, variations et comparaisons | Lecture parfois approchée |
| Phrase | Sens concret des grandeurs | Peut manquer de précision |
Résoudre un problème peut demander plusieurs changements de registre. On extrait une formule de l’énoncé, on construit un tableau pour calculer quelques valeurs, puis on trace un graphique pour comparer deux situations.
Un exemple complet : tarif de location
Un vélo coûte \(4\,€\) de prise en charge puis \(3\,€\) par heure. Pour \(h\) heures, le prix est \(C(h)=3h+4\). On calcule \(C(0)=4\), \(C(2)=10\) et \(C(5)=19\).
Le graphique ne passe pas par l’origine : même pour \(0\) heure, la prise en charge vaut \(4\,€\). La situation n’est donc pas proportionnelle. La formule explique l’écart vertical et le tableau donne les points à placer.
Astuce : dans chaque problème, écrire une phrase du type « la sortie dépend de l’entrée » et préciser les unités avant de choisir la représentation.
Comparer deux tarifs par un tableau
Un club A demande \(5\) € d’inscription puis \(2\) € par séance : \(A(n)=2n+5\). Le club B demande \(3\) € par séance sans inscription : \(B(n)=3n\).
| Nombre de séances \(n\) | \(0\) | \(2\) | \(5\) | \(8\) |
|---|---|---|---|---|
| Tarif A | \(5\) | \(9\) | \(15\) | \(21\) |
| Tarif B | \(0\) | \(6\) | \(15\) | \(24\) |
Les tarifs sont égaux pour \(5\) séances. Avant \(5\), B est moins cher ; après \(5\), A devient moins cher. Sur un graphique, cette égalité apparaît au point d’intersection \((5;15)\).
La formule explique la structure, le tableau compare quelques valeurs et le graphique montre le changement d’avantage. Utiliser les trois représentations répond à des questions différentes sur la même situation.
Valeurs autorisées : le contexte limite parfois l’entrée
La formule \(C(n)=2n+5\) peut être calculée pour \(n=2,5\), mais un nombre de séances est généralement entier. Le contexte restreint donc les valeurs utiles à \(n=0,1,2,\ldots\).
Pour une durée, une masse ou une longueur, les valeurs intermédiaires peuvent au contraire avoir un sens. Une fonction ne se résume pas à sa formule : il faut aussi connaître ce que représente l’entrée et quelles valeurs sont autorisées.
Sur le graphique d’un nombre d’objets, des points séparés sont parfois plus fidèles qu’une ligne continue. Relier les points pourrait suggérer des demi-objets inexistants.
Fonctions 5ème : l’essentiel à retenir
Les fonctions en 5ème organisent une dépendance entre une entrée et une sortie. La formule calcule, le tableau rassemble des couples et le graphique montre leur organisation. Passer correctement entre ces trois formes est plus important que mémoriser un vocabulaire avancé.
Cette introduction constitue l’un des apports marquants du programme officiel de mathématiques du cycle 4 applicable en cinquième à partir de la rentrée 2026.