Le cours sur les solides et volumes en 6ème apprend à décrire le cube et le pavé droit, à lire une représentation en perspective, à reconnaître un patron et à mesurer l’espace occupé avec des cubes unités. Le centimètre cube, noté \(\text{cm}^3\), représente le volume d’un cube de \(1\ \text{cm}\) d’arête.
On construira les formules du volume à partir du comptage des cubes, puis on convertira les unités sans les confondre avec les longueurs ou les aires.
Qu’est-ce qu’un solide ?
Définition
Un solide est un objet géométrique en trois dimensions. Il possède une longueur, une largeur et une hauteur, et il occupe une partie de l’espace.
Un dessin sur une feuille reste en deux dimensions : il représente le solide sans être le solide lui-même. La perspective cavalière et le patron sont deux moyens différents de représenter un objet en volume.
Un polyèdre est un solide dont toutes les faces sont des polygones. Le cube et le pavé droit sont des polyèdres particulièrement importants en 6ème.
Faces, arêtes et sommets
Une face est une surface plane qui limite le solide. Une arête est un segment commun à deux faces. Un sommet est un point où se rencontrent plusieurs arêtes.
| Solide | Faces | Arêtes | Sommets |
|---|---|---|---|
| Cube | 6 faces carrées | 12 | 8 |
| Pavé droit | 6 faces rectangulaires | 12 | 8 |
Chaque arête appartient à deux faces. Lorsqu’on compte les arêtes face par face, on les compte donc deux fois. Il est préférable de suivre une méthode : quatre arêtes sur la face avant, quatre sur la face arrière et quatre qui relient ces deux faces.
Cube et pavé droit
Pavé droit
Un pavé droit, aussi appelé parallélépipède rectangle, possède six faces rectangulaires. Les faces opposées sont parallèles et superposables.
Cube
Un cube est un pavé droit particulier dont les six faces sont des carrés. Toutes ses arêtes ont la même longueur.
Les arêtes cachées sont représentées en pointillés. Des arêtes parallèles dans la réalité restent dessinées parallèlement. Une perspective n’est pas un patron et ne permet pas toujours de mesurer directement les longueurs sur le dessin.
Lire une perspective cavalière
En perspective cavalière, la face avant est souvent dessinée en vraie grandeur, tandis que les arêtes qui partent vers l’arrière sont obliques et raccourcies. Cette convention donne une impression de profondeur.
Pour compléter un pavé, on repère trois familles d’arêtes parallèles. Les arêtes d’une même famille ont la même direction sur le dessin. Les arêtes cachées sont tracées en pointillés pour ne pas être confondues avec les arêtes visibles.
Attention : une longueur mesurée à la règle sur une arête oblique du dessin ne correspond généralement pas à la longueur réelle. On utilise les valeurs inscrites et les propriétés du solide.
Patron d’un cube ou d’un pavé droit
Le patron d’un solide est une figure plane qui permet de reconstituer le solide par pliage, sans découper ni superposer les faces.
Un patron de cube contient six carrés de même taille reliés par certains côtés. Tous les assemblages de six carrés ne forment pas un cube : après pliage, aucune face ne doit manquer et deux faces ne doivent pas se superposer.
Le patron d’un pavé droit contient trois paires de rectangles superposables. Si les dimensions du pavé sont \(L\), \(\ell\) et \(h\), les faces ont pour dimensions \(L\times\ell\), \(L\times h\) et \(\ell\times h\), chacune présente deux fois.
Reconnaître les faces opposées
Dans un patron, les faces opposées ne partagent aucune arête une fois le solide reconstitué. On peut imaginer une face comme base, relever progressivement les faces voisines et repérer celle qui vient fermer le dessus.
Construire un patron de pavé droit
Pour un pavé de dimensions \(6\ \text{cm}\), \(4\ \text{cm}\) et \(3\ \text{cm}\), on prépare deux rectangles \(6\times4\), deux rectangles \(6\times3\) et deux rectangles \(4\times3\). On choisit une face centrale, puis on place autour d’elle les faces qui partagent réellement une arête de même longueur.
Les dimensions communes doivent coïncider lors du pliage. Un côté de \(6\ \text{cm}\) ne peut pas être collé directement à un côté de \(4\ \text{cm}\). Avant de découper, on code les longueurs égales et on imagine le sens dans lequel chaque face se relève.
Des languettes peuvent être ajoutées pour coller une maquette, mais elles ne font pas partie des six faces du patron géométrique. Elles ne doivent donc pas être comptées lorsqu’on détermine l’aire totale des faces.
Comparer des volumes sans utiliser de formule
On peut comparer deux solides en utilisant le même cube unité. Si le solide \(A\) contient \(24\) cubes et le solide \(B\) en contient \(30\), alors \(B\) possède le plus grand volume, même si sa forme semble moins haute ou moins large.
Le découpage et le réassemblage conservent le volume, à condition de ne perdre aucun morceau et de ne créer aucun chevauchement. Deux empilements différents formés avec les mêmes \(36\) cubes ont donc le même volume de \(36\) unités cubes.
Cette observation aide à comprendre la formule du pavé : changer l’ordre des dimensions ne change pas le nombre total de cubes. Un pavé \(2\times3\times6\) et un pavé \(3\times4\times3\) contiennent tous les deux \(36\) cubes unités, malgré des proportions différentes.
Comprendre le volume avec des cubes unités
Le volume d’un solide mesure l’espace qu’il occupe. Pour le mesurer, on compte combien de cubes unités peuvent remplir le solide sans vide ni chevauchement.
Un cube de \(1\ \text{cm}\) d’arête possède un volume de \(1\ \text{cm}^3\). Le symbole \(3\) rappelle que l’unité intervient dans trois directions.
Si une couche d’un pavé contient \(5\) rangées de \(4\) cubes, elle contient \(5\times4=20\) cubes. Si le pavé possède \(3\) couches identiques, il contient \(20\times3=60\) cubes unités. Son volume est donc \(60\ \text{cm}^3\) si chaque petit cube mesure \(1\ \text{cm}^3\).
Volume d’un pavé droit
Formule
Le volume d’un pavé droit est le produit de sa longueur, de sa largeur et de sa hauteur, exprimées dans la même unité.
Un pavé mesure \(8\ \text{cm}\) de long, \(3,5\ \text{cm}\) de large et \(4\ \text{cm}\) de haut. Son volume vaut :
Les trois dimensions sont en centimètres, donc le résultat est en centimètres cubes. Les méthodes de multiplication sont rappelées dans le cours sur les opérations avec les nombres décimaux en 6ème.
Volume d’un cube
Dans un cube, les trois dimensions sont égales à la longueur \(c\) de l’arête. La formule du pavé devient :
Un cube d’arête \(5\ \text{cm}\) a pour volume :
L’expression \(5^3\) se lit « cinq au cube ». Elle ne signifie ni \(5\times3\), ni \(5+5+5\), mais le produit de trois facteurs égaux à \(5\).
Différence entre longueur, aire et volume
| Grandeur | Ce qu’elle mesure | Exemple d’unité | Nombre de dimensions |
|---|---|---|---|
| Longueur | Une distance | \(\text{cm}\) | 1 |
| Aire | Une surface | \(\text{cm}^2\) | 2 |
| Volume | Un espace occupé | \(\text{cm}^3\) | 3 |
Une boîte possède des arêtes que l’on mesure en centimètres, des faces dont l’aire s’exprime en centimètres carrés, et un volume intérieur qui s’exprime en centimètres cubes. Les formules de surface sont présentées dans le cours sur les périmètres et aires en 6ème.
Convertir les unités de volume
Entre deux unités de longueur consécutives, le facteur est \(10\). Pour les volumes, ce facteur intervient dans trois directions. Deux unités de volume consécutives diffèrent donc d’un facteur \(10\times10\times10=1\,000\).
| \(\text{m}^3\) | \(\text{dm}^3\) | \(\text{cm}^3\) | \(\text{mm}^3\) |
|---|---|---|---|
| \(1\) | \(1\,000\) | \(1\,000\,000\) | \(1\,000\,000\,000\) |
| À chaque unité : \(\times1\,000\) vers la droite ou \(\div1\,000\) vers la gauche. | |||
Ainsi, \(2,4\ \text{dm}^3=2\,400\ \text{cm}^3\). Inversement, \(75\,000\ \text{cm}^3=75\ \text{dm}^3\).
Conversion : ne multipliez pas par \(10\) ou par \(100\) entre deux unités de volume consécutives. Le facteur correct est \(1\,000\).
Relier volume et contenance
Le volume mesure l’espace occupé ; la contenance indique ce qu’un récipient peut contenir. Les unités sont liées par des égalités utiles :
Un aquarium dont le volume intérieur est \(48\ \text{dm}^3\) peut contenir \(48\ \text{L}\) lorsqu’il est rempli jusqu’au bord. Dans une situation réelle, l’épaisseur des parois et le niveau de remplissage peuvent réduire la quantité effectivement contenue.
Résoudre un problème de volume
Méthode
- Identifier le solide et les trois dimensions utiles.
- Convertir toutes les dimensions dans la même unité.
- Choisir la formule du pavé ou du cube.
- Effectuer le produit et écrire l’unité cube.
- Comparer le résultat à la situation et, si nécessaire, convertir en litres.
Exemple avec des unités différentes
Une boîte mesure \(40\ \text{cm}\) de long, \(2,5\ \text{dm}\) de large et \(15\ \text{cm}\) de haut. On convertit d’abord \(2,5\ \text{dm}=25\ \text{cm}\).
Comme \(1\,000\ \text{cm}^3=1\ \text{L}\), la boîte possède une contenance géométrique de \(15\ \text{L}\).
Retrouver une dimension manquante
Si le volume et deux dimensions d’un pavé sont connus, on peut retrouver la troisième par une division. Un pavé de volume \(180\ \text{cm}^3\), de longueur \(9\ \text{cm}\) et de largeur \(4\ \text{cm}\) a une hauteur :
On vérifie en recalculant \(9\times4\times5=180\). La dimension retrouvée s’exprime en centimètres, pas en centimètres cubes.
Volumes de solides composés
Un solide formé de plusieurs pavés droits peut être découpé en blocs simples. On calcule le volume de chaque bloc puis on additionne. Si le solide est obtenu en retirant un pavé d’un autre, on soustrait le volume de la partie enlevée.
Le découpage ne doit produire ni chevauchement ni espace oublié. Faire un croquis et inscrire les dimensions permet de repérer les longueurs communes et les dimensions manquantes.
Lire les dimensions dans un problème
Les mots « longueur », « largeur » et « hauteur » peuvent changer selon l’orientation de l’objet, mais le produit des trois dimensions reste identique. On choisit donc les trois mesures perpendiculaires qui décrivent le pavé.
Une information concernant l’aire d’une face peut remplacer deux dimensions déjà multipliées. Si l’aire de la base est \(24\ \text{cm}^2\) et la hauteur \(7\ \text{cm}\), alors le volume vaut \(24\times7=168\ \text{cm}^3\).
Les notations des faces, arêtes et sommets s’appuient sur le vocabulaire présenté dans le cours de géométrie 6ème.
À retenir sur les solides et volumes en 6ème
- Le cube et le pavé droit ont 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets.
- Un patron permet de fabriquer le solide par pliage.
- \(1\ \text{cm}^3\) est le volume d’un cube de \(1\ \text{cm}\) d’arête.
- Le volume du pavé est \(L\times\ell\times h\).
- Le volume du cube est \(c^3\).
- Entre deux unités de volume consécutives, le facteur est \(1\,000\).
- \(1\ \text{dm}^3=1\ \text{L}\) et \(1\ \text{cm}^3=1\ \text{mL}\).
Ces notions répondent aux objectifs du programme officiel de mathématiques du cycle 3 sur la représentation des solides, le volume, les unités cubes et les situations de mesure.