Fractions 6ème : comprendre, comparer et calculer

Une fraction sert à partager une quantité, mais elle représente surtout un nombre exact. Dans ce cours sur les fractions en 6ème, on apprend à lire et représenter une fraction, à la placer sur une demi-droite graduée, à comparer des fractions et à effectuer les calculs attendus en classe de sixième. L’objectif n’est pas de retenir une collection de recettes : chaque méthode sera reliée au sens du numérateur, du dénominateur et de la division.

Le changement d’idée essentiel consiste à ne plus voir seulement $\frac{3}{4}$ comme « trois parts d’un gâteau ». Cette écriture désigne un nombre précis, égal au quotient $3\div4$ . De même, $\frac{7}{4}$ est un nombre supérieur à $1$ , que l’on peut repérer, comparer et utiliser dans un calcul.

Table des Matières

Fractions 6ème : définition, vocabulaire et lecture

Avant de calculer, il faut comprendre ce que la barre de fraction relie et pourquoi le nombre placé en dessous ne peut pas être choisi librement.

Définition d’une fraction comme quotient exact

Soient $a$ un nombre entier et $b$ un nombre entier non nul. La fraction $\frac{a}{b}$ est le quotient exact de $a$ par $b$ , c’est-à-dire le nombre qui, multiplié par $b$ , donne $a$ .

\frac{a}{b}=a\div b \qquad\text{et}\qquad b\times\frac{a}{b}=a.

Le nombre $a$ , au-dessus de la barre, est le numérateur : il compte le nombre de parts prises. Le nombre $b$ , au-dessous, est le dénominateur : il indique en combien de parts égales l’unité est partagée.

Par exemple, $\frac{3}{4}$ est le nombre qui, multiplié par $4$ , donne $3$ . On le lit « trois quarts ». La fraction $\frac{7}{3}$ se lit « sept tiers » et vérifie $3\times\frac{7}{3}=7$ .

Écriture	Lecture	Sens
$\frac{1}{2}$	un demi	une unité partagée en $2$ , une part prise
$\frac{3}{4}$	trois quarts	une unité partagée en $4$ , trois parts prises
$\frac{5}{8}$	cinq huitièmes	une unité partagée en $8$ , cinq parts prises
$\frac{11}{3}$	onze tiers	onze parts de taille $\frac{1}{3}$

Le dénominateur ne peut jamais être nul. L’écriture $\frac{5}{0}$ n’a pas de sens, car aucun nombre multiplié par $0$ ne peut donner $5$ .

Fraction ou simple écriture fractionnaire ?

Au sens strict du programme, une fraction possède un numérateur et un dénominateur entiers. Ainsi, $\frac{7}{5}$ est une fraction. L’écriture $\frac{2,1}{3}$ représente bien un quotient, mais elle n’est pas une fraction au sens de cette définition puisque $2,1$ n’est pas entier.

Comprendre une fraction comme partage, quotient et nombre

Le vocabulaire étant posé, trois représentations complémentaires permettent de donner du sens à la même écriture.

Une partie d’une unité partagée équitablement

Si une bande est partagée en quatre parties de même longueur, chaque partie représente $\frac{1}{4}$ de la bande. Trois de ces parties représentent $\frac{3}{4}$ . Le mot égales est indispensable : quatre morceaux de tailles différentes ne forment pas des quarts.

Le résultat exact d’une division

Partager $7$ litres de jus entre $4$ personnes revient à calculer $7\div4$ . Chaque personne reçoit exactement $\frac{7}{4}$ litre, soit $1+\frac{3}{4}$ litre. La fraction conserve la valeur exacte, même si l’écriture décimale n’est pas immédiatement connue.

Un point sur la droite des nombres

Comme tout nombre, une fraction possède une position unique. La fraction $\frac{3}{4}$ se situe entre $0$ et $1$ , tandis que $\frac{7}{4}$ se situe entre $1$ et $2$ .

Trois quarts d’une bande et sept quarts sur une demi-droite graduée — Le dénominateur $4$ fixe la taille des quarts ; le numérateur indique combien de quarts sont comptés.

Ces trois lectures ne se contredisent pas. Elles décrivent le même nombre sous des angles différents : une part d’une grandeur, un quotient exact et une position sur une demi-droite.

Reconnaître la valeur d’une fraction

Une fois la fraction considérée comme un nombre, sa position par rapport à $0$ et à $1$ devient lisible directement dans son écriture.

Comparer une fraction positive à $1$

Si le numérateur est inférieur au dénominateur, la fraction est inférieure à $1$ : $\frac{3}{5}<1$ .
S’ils sont égaux, la fraction vaut $1$ : $\frac{8}{8}=1$ .
Si le numérateur est supérieur au dénominateur, la fraction est supérieure à $1$ : $\frac{11}{4}>1$ .

Une fraction de numérateur nul vaut $0$ , à condition que son dénominateur soit non nul : $\frac{0}{7}=0$ . Si le numérateur est un multiple du dénominateur, la fraction est un entier ; par exemple $\frac{18}{6}=3$ .

Fraction, nombre décimal et valeur approchée

Certaines fractions ont une écriture décimale finie et d’autres non. L’égalité $\frac{3}{4}=0,75$ est exacte. En revanche, la division $2\div3$ ne s’arrête pas : $\frac{2}{3}=0,666\ldots$ . Dans ce cas, $0,67$ est seulement une valeur approchée au centième.

Fraction	Écriture	Nature du nombre obtenu
$\frac{12}{4}$	$3$	entier
$\frac{7}{10}$	$0,7$	décimal non entier
$\frac{3}{4}$	$0,75$	décimal non entier
$\frac{2}{3}$	$0,666\ldots$	écriture décimale infinie

Le travail sur les rangs et les fractions décimales prolonge directement le cours sur les nombres entiers et décimaux en 6ème.

Fractions égales et simplification

Changer le nombre de parts ne change pas toujours la quantité représentée : la moitié d’une bande reste la même longueur qu’on la découpe en deux, quatre ou huit parts égales.

Propriété fondamentale des fractions égales

Multiplier le numérateur et le dénominateur par un même entier non nul ne change pas la valeur de la fraction. On peut aussi les diviser par un même diviseur commun non nul.

\frac{a}{b} =\frac{a\times k}{b\times k} \quad\text{pour }k\ne0.

Par exemple :

\frac{3}{4} =\frac{3\times2}{4\times2} =\frac{6}{8} =\frac{75}{100}.

Compléter une égalité de fractions

Pour compléter $\frac{5}{7}=\frac{\square}{42}$ , on cherche le facteur qui transforme $7$ en $42$ . Comme $7\times6=42$ , il faut aussi multiplier $5$ par $6$ . Le nombre manquant est donc $30$ .

Simplifier une fraction

Simplifier consiste à diviser les deux termes par un même diviseur commun. Comme $18$ et $24$ sont divisibles par $6$ , on obtient :

\frac{18}{24} =\frac{18\div6}{24\div6} =\frac{3}{4}.

La fraction $\frac{3}{4}$ est irréductible : son numérateur et son dénominateur n’ont plus de diviseur commun supérieur à $1$ . La calculatrice de fractions permet de contrôler un résultat, mais la justification doit toujours faire apparaître le même facteur en haut et en bas.

Erreur fréquente : ajouter ou retirer le même nombre aux deux termes ne conserve pas la fraction. Par exemple, $\frac{2}{3}\ne\frac{3}{4}$ , même si $1$ a été ajouté au numérateur et au dénominateur.

Placer, décomposer et encadrer une fraction

Les fractions égales permettent de changer d’écriture ; la demi-droite graduée permet maintenant de voir où se trouve réellement le nombre.

Placer une fraction sur une demi-droite graduée

Repérer le segment unité, c’est-à-dire la distance entre $0$ et $1$ .
Partager chaque unité en autant d’intervalles égaux que l’indique le dénominateur.
Compter, depuis $0$ , le nombre d’intervalles indiqué par le numérateur.

Pour placer $\frac{7}{4}$ , chaque unité est divisée en quatre intervalles égaux. On avance de sept intervalles : quatre conduisent à $1$ , puis trois autres conduisent à $1+\frac{3}{4}$ .

Décomposer une fraction supérieure à $1$

On effectue la division euclidienne du numérateur par le dénominateur. Si $a=bq+r$ , avec $0\le r<b$ , alors :

\frac{a}{b}=q+\frac{r}{b}.

Pour $\frac{17}{5}$ , la division donne $17=5\times3+2$ . Ainsi :

\frac{17}{5}=3+\frac{2}{5}.

Cette écriture montre immédiatement que $\frac{17}{5}$ est compris entre $3$ et $4$ .

Lire l’abscisse d’un point

Dans l’autre sens, on compte d’abord le nombre de parts égales entre deux entiers consécutifs : ce nombre fournit le dénominateur. On compte ensuite les intervalles depuis $0$ jusqu’au point : ce total fournit le numérateur.

Erreur fréquente : pour placer $\frac{3}{5}$ , on compte trois intervalles parmi cinq dans l’unité. On ne cherche pas la graduation $3$ sur une droite graduée en unités.

Comparer et ranger des fractions en 6ème

La position sur la droite donne une réponse visuelle ; selon l’écriture des fractions, une méthode plus rapide peut cependant suffire.

Situation	Méthode	Exemple
Même dénominateur	Comparer les numérateurs	$\frac{3}{8}<\frac{5}{8}$
Même numérateur	Le plus grand dénominateur donne les plus petites parts	$\frac{3}{7}<\frac{3}{5}$
Un nombre de chaque côté de $1$	Comparer chaque numérateur à son dénominateur	$\frac{7}{9}<1<\frac{6}{5}$
Dénominateurs liés par un multiple simple	Écrire des fractions égales avec le même dénominateur	$\frac{3}{4}=\frac{6}{8}>\frac{5}{8}$

Comparer en choisissant la méthode la plus courte

Pour comparer $\frac{11}{12}$ et $\frac{7}{6}$ , il est inutile de tout transformer : $\frac{11}{12}<1$ tandis que $\frac{7}{6}>1$ . Donc $\frac{11}{12}<\frac{7}{6}$ .

Pour comparer $\frac{7}{10}$ et $\frac{3}{5}$ , on écrit $\frac{3}{5}=\frac{6}{10}$ . Il reste à comparer $7$ et $6$ , d’où $\frac{7}{10}>\frac{3}{5}$ .

Ranger plusieurs fractions

Pour ranger $\frac{3}{4}$ , $\frac{5}{8}$ et $\frac{9}{8}$ , on choisit le dénominateur commun $8$ :

\frac{5}{8} <\frac{6}{8}=\frac{3}{4} <\frac{9}{8}.

Les fractions sont donc rangées dans l’ordre croissant : $\frac{5}{8}$ , $\frac{3}{4}$ , puis $\frac{9}{8}$ .

Calculer une fraction d’un nombre

Après avoir comparé des fractions comme des nombres, on peut les utiliser comme des opérateurs qui prennent une partie d’une quantité.

Prendre une fraction d’une quantité

Calculer $\frac{a}{b}$ d’un nombre revient à diviser ce nombre par $b$ , puis à multiplier le résultat par $a$ . Lorsque le calcul tombe juste, on choisit l’ordre qui garde des nombres simples.

Pour calculer les $\frac{3}{5}$ de $40$ , on partage d’abord $40$ en $5$ parts égales, puis on en prend $3$ :

\frac{3}{5}\text{ de }40 =(40\div5)\times3 =8\times3 =24.

On peut vérifier le sens du résultat : prendre trois parts sur cinq doit donner une quantité inférieure à $40$ , et $24<40$ .

Additionner, soustraire et multiplier des fractions en 6ème

Le mot « calculer » recouvre plusieurs opérations, mais elles ne suivent pas toutes la même logique. La taille des parts doit rester visible à chaque étape.

Additionner ou soustraire des fractions de même dénominateur

Des fractions de même dénominateur décrivent des parts de même taille. On additionne ou on soustrait les numérateurs et on conserve le dénominateur.

\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b} \qquad\text{et}\qquad \frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b}.

Par exemple :

\frac{3}{7}+\frac{2}{7} =\frac{3+2}{7} =\frac{5}{7}.

Calculer avec des dénominateurs différents

Avant d’additionner ou de soustraire, il faut fabriquer des parts de même taille. Pour $\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$ , on transforme les tiers en sixièmes :

\frac{1}{3}+\frac{1}{6} =\frac{2}{6}+\frac{1}{6} =\frac{3}{6} =\frac{1}{2}.

En 6ème, les dénominateurs proposés sont généralement liés par un multiple facile à reconnaître, par exemple $4$ et $8$ , ou $3$ et $6$ .

Multiplier une fraction par un entier

Multiplier $\frac{3}{7}$ par $4$ revient à additionner quatre fois $\frac{3}{7}$ :

4\times\frac{3}{7} =\frac{3}{7}+\frac{3}{7}+\frac{3}{7}+\frac{3}{7} =\frac{12}{7}.

On multiplie donc le numérateur par l’entier et on conserve le dénominateur. Le produit de deux fractions, comme $\frac{2}{3}\times\frac{5}{7}$ , n’est pas une technique à automatiser dans ce cours de 6ème.

Erreur fréquente : on n’additionne pas les dénominateurs. L’égalité $\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{14}$ est fausse : les parts restent des septièmes, donc le résultat est $\frac{5}{7}$ .

Résoudre un problème avec des fractions

Les techniques précédentes prennent tout leur sens lorsqu’elles servent à traduire une situation et à contrôler la vraisemblance du résultat.

Exemple 1 : une fraction d’une collection

Dans une classe de $30$ élèves, les $\frac{2}{5}$ viennent à vélo. Le dénominateur $5$ demande de partager $30$ en cinq groupes égaux : chaque groupe contient $6$ élèves. Le numérateur $2$ demande d’en prendre deux, soit $12$ élèves.

Exemple 2 : addition de deux parts

Lina lit $\frac{3}{8}$ d’un livre lundi et $\frac{1}{4}$ mardi. Comme $\frac{1}{4}=\frac{2}{8}$ , la part totale lue est :

\frac{3}{8}+\frac{1}{4} =\frac{3}{8}+\frac{2}{8} =\frac{5}{8}.

Exemple 3 : choisir entre valeur exacte et valeur approchée

Trois mètres de ruban sont partagés également entre sept élèves. Chacun reçoit exactement $\frac{3}{7}$ m. Une calculatrice affiche environ $0,428571$ m, mais la fraction $\frac{3}{7}$ reste la réponse exacte. Une longueur arrondie au centimètre serait $43$ cm.

Les quatre contrôles à effectuer

Identifier l’unité : élèves, litres, mètres ou part d’un tout.
Dire ce que représente le dénominateur.
Dire ce que représente le numérateur.
Comparer le résultat à la quantité de départ pour vérifier qu’il est cohérent.

Ce qu’il faut retenir sur les fractions en 6ème

Les fractions en 6ème relient le partage, la division et le repérage des nombres. La fraction $\frac{a}{b}$ est le quotient exact de $a$ par $b$ , avec $b\ne0$ . Elle peut être inférieure, égale ou supérieure à $1$ , et plusieurs écritures fractionnaires peuvent représenter le même nombre.

Le dénominateur fixe la taille des parts ; le numérateur indique combien de parts sont prises.
Multiplier ou diviser les deux termes par un même nombre non nul conserve la valeur.
Pour placer une fraction, on partage l’unité selon le dénominateur puis on compte selon le numérateur.
Pour comparer ou calculer, on cherche d’abord des parts de même taille.
En 6ème, on sait calculer une fraction d’un entier, additionner ou soustraire des fractions et multiplier une fraction par un entier.

Ces apprentissages correspondent aux attendus du programme officiel de mathématiques du cycle 3, qui insiste sur le sens du quotient, les représentations et la résolution de problèmes.