Les prix, les longueurs, les masses et les durées utilisent tous des nombres. Ce cours sur les nombres entiers et décimaux en 6ème apprend à lire leur écriture, à reconnaître la valeur de chaque chiffre, à les placer sur une demi-droite graduée, puis à les comparer, les encadrer et les arrondir. L’objectif n’est pas seulement de savoir déplacer une virgule : il faut comprendre ce que chaque position représente.
Une bonne maîtrise de la numération décimale rend ensuite les calculs et les problèmes beaucoup plus simples. On commencera donc par le sens des écritures avant de passer aux méthodes.
Nombres entiers et décimaux en 6ème : les définitions
Avant de comparer ou d’arrondir des nombres, il faut distinguer trois mots proches : chiffre, nombre entier et nombre décimal.
Chiffre et nombre
Les dix chiffres sont \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\) et \(9\). Ils servent à écrire tous les nombres, comme les lettres servent à écrire les mots.
Un nombre entier s’écrit sans partie inférieure à l’unité : \(0\), \(27\), \(4\,306\) et \(12\,000\,001\) sont des nombres entiers.
Dans \(5\,742\), le chiffre \(7\) est à la position des centaines : il représente donc \(700\). Le même chiffre \(7\), placé dans \(5\,472\), représente seulement \(70\). La valeur d’un chiffre dépend de sa position.
Définition d’un nombre décimal
Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction dont le dénominateur est \(10\), \(100\), \(1\,000\), ou plus généralement une puissance de \(10\).
Autrement dit, son écriture décimale comporte un nombre fini de chiffres après la virgule. La partie située à gauche de la virgule est la partie entière. La partie décimale est un nombre compris entre \(0\) inclus et \(1\) exclu : dans \(15,073\), elle vaut \(0,073\).
Tout nombre entier est aussi un nombre décimal, car on peut ajouter une virgule et des zéros sans changer sa valeur : \(8=8,0=8,00\).
Erreur fréquente : un nombre décimal n’est pas simplement « un nombre avec une virgule ». Par exemple, \(\frac{1}{3}=0,333\ldots\) possède une écriture décimale infinie : ce n’est pas un nombre décimal au sens mathématique étudié au collège.
Lire la valeur de chaque chiffre dans un nombre décimal
Une fois les définitions posées, le tableau de numération permet de donner un sens précis à chaque position. À gauche de la virgule, chaque rang vaut dix fois le rang placé immédiatement à sa droite. La même règle continue à droite de la virgule.
| Milliers | Centaines | Dizaines | Unités | Dixièmes | Centièmes | Millièmes |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(4\) | \(0\) | \(7\) | \(2\) | \(5\) | \(0\) | \(8\) |
Le tableau représente le nombre \(4\,072,508\). On le lit « quatre-mille-soixante-douze virgule cinq-cent-huit », ou plus précisément « quatre-mille-soixante-douze unités et cinq-cent-huit millièmes ».
- Le chiffre des dizaines est \(7\), donc il représente \(70\).
- Le chiffre des dixièmes est \(5\), donc il représente \(\frac{5}{10}=0,5\).
- Le chiffre des centièmes est \(0\).
- Le chiffre des millièmes est \(8\), donc il représente \(\frac{8}{1\,000}=0,008\).
Chiffre des dixièmes ou nombre de dixièmes ?
Ces deux questions ne demandent pas la même réponse. Dans \(23,47\), le chiffre des dixièmes est \(4\). En revanche, ce nombre contient \(234\) dixièmes entiers, car \(23,47=234\) dixièmes et \(7\) centièmes.
Erreur fréquente : dans \(23,47\), répondre \(4\) à la question « quel est le nombre de dixièmes ? » confond le chiffre placé au rang des dixièmes avec tous les dixièmes contenus dans le nombre.
Lire les grands nombres entiers
Pour lire un grand entier, on groupe les chiffres par paquets de trois en partant de la droite : unités, milliers, millions, milliards. On écrit \(5\,208\,041\), avec des espaces, et on lit « cinq-millions-deux-cent-huit-mille-quarante-et-un ». Le zéro conserve la position d’un rang même lorsqu’aucune unité de ce rang n’est présente.
Pour des nombres beaucoup plus grands ou beaucoup plus petits, l’écriture scientifique d’un nombre fournit plus tard une notation compacte fondée sur les puissances de \(10\).
Écrire et décomposer un nombre décimal
Le tableau indique la place des chiffres ; la décomposition montre maintenant la valeur apportée par chacun d’eux. Un même nombre peut avoir plusieurs écritures exactement égales.
Décomposition additive
Pour décomposer \(308,406\), on additionne les valeurs des chiffres non nuls :
Le zéro des dizaines, comme celui des centièmes, ne contribue pas à la somme, mais il est indispensable dans l’écriture en chiffres pour conserver les bonnes positions.
Fraction décimale et écriture à virgule
Une fraction décimale a pour dénominateur \(10\), \(100\), \(1\,000\), etc. Pour passer à l’écriture à virgule, on place le chiffre des unités juste avant la virgule.
| Fraction décimale | Décomposition | Écriture décimale |
|---|---|---|
| \(\frac{37}{10}\) | \(3+\frac{7}{10}\) | \(3,7\) |
| \(\frac{405}{100}\) | \(4+\frac{5}{100}\) | \(4,05\) |
| \(\frac{9}{1\,000}\) | \(\frac{9}{1\,000}\) | \(0,009\) |
La calculatrice de fractions peut servir à vérifier l’égalité entre une fraction décimale et son écriture à virgule, mais il reste important de savoir reconstruire le tableau de numération à la main.
Zéros utiles et zéros inutiles
Ajouter ou supprimer des zéros à la fin de la partie décimale ne change pas la valeur : \(6,4=6,40=6,400\). De même, \(07=7\). En revanche, on ne peut pas supprimer un zéro placé entre deux chiffres ou juste après la virgule : \(4,05\ne4,5\).
Placer un nombre décimal sur une demi-droite graduée
Après l’écriture vient le repérage. Une demi-droite graduée part d’une origine, généralement \(0\), puis utilise une unité de longueur régulière. Chaque point est identifié par son abscisse, c’est-à-dire le nombre qui indique sa position.
Choisir la bonne précision
- Repérer les deux entiers consécutifs qui encadrent le nombre.
- Observer en combien de parts égales l’unité est découpée.
- Déterminer la valeur d’une petite graduation.
- Compter les graduations à partir de l’entier de gauche.
Pour placer \(2,7\), on cherche d’abord l’intervalle entre \(2\) et \(3\), puis on partage cette unité en dix parts égales. Chaque petite graduation vaut alors un dixième.
Si l’unité est partagée en cent parts, une petite graduation vaut un centième. Il faut donc lire l’échelle avant de compter : la longueur visuelle d’un intervalle ne donne pas, à elle seule, sa valeur.
Comparer et ranger des nombres décimaux
Le repérage fournit une première intuition : sur une demi-droite graduée, le plus grand nombre se trouve le plus à droite. Pour comparer sans dessin, on applique la même logique rang par rang.
Méthode de comparaison
- Comparer les parties entières. La plus grande donne immédiatement le plus grand nombre.
- Si elles sont égales, comparer les chiffres des dixièmes.
- En cas de nouvelle égalité, comparer les centièmes, puis les millièmes, jusqu’à trouver une différence.
On peut ajouter des zéros à droite pour aligner les rangs. Ainsi, pour comparer \(3,7\) et \(3,65\), on écrit \(3,70\) et \(3,65\). Les parties entières et les dixièmes sont comparables directement : \(7\) dixièmes sont plus grands que \(6\) dixièmes, donc \(3,7>3,65\).
Pour \(9,05\) et \(9,5\), on écrit \(9,05\) et \(9,50\). Le chiffre des dixièmes vaut \(0\) dans le premier nombre et \(5\) dans le second, donc \(9,05<9,5\).
Erreur fréquente : comparer \(3,7\) et \(3,65\) comme les entiers \(7\) et \(65\) conduit à une réponse fausse. On compare des valeurs de position, pas le nombre de chiffres après la virgule.
Ranger dans l’ordre croissant ou décroissant
L’ordre croissant va du plus petit au plus grand ; l’ordre décroissant va du plus grand au plus petit. Pour ranger \(4,08\), \(4,8\), \(3,99\) et \(4,18\), on compare d’abord les parties entières, puis les dixièmes et les centièmes :
Encadrer, intercaler et arrondir un nombre décimal
Comparer deux nombres permet maintenant de situer une valeur avec la précision demandée. Les verbes encadrer, intercaler et arrondir décrivent trois opérations différentes.
Encadrer un nombre
Encadrer consiste à placer un nombre entre une valeur plus petite et une valeur plus grande. Un encadrement de \(7,326\) à l’unité est :
Au dixième, les deux dixièmes consécutifs sont \(7,3\) et \(7,4\), donc \(7,3<7,326<7,4\). Au centième, on obtient \(7,32<7,326<7,33\).
Intercaler un nombre
Intercaler signifie trouver un nombre situé entre deux autres. Entre \(2,4\) et \(2,5\), on peut choisir \(2,41\), \(2,45\) ou \(2,499\). Il existe même une infinité de nombres décimaux possibles entre deux nombres décimaux distincts.
Arrondir à la précision demandée
Pour arrondir, on conserve les chiffres jusqu’au rang demandé, puis on observe le chiffre placé immédiatement à droite :
- s’il vaut \(0\), \(1\), \(2\), \(3\) ou \(4\), le dernier chiffre conservé ne change pas ;
- s’il vaut \(5\), \(6\), \(7\), \(8\) ou \(9\), on augmente le dernier chiffre conservé d’une unité.
| Précision demandée | Chiffre observé | Arrondi |
|---|---|---|
| À l’unité | \(4\), chiffre des dixièmes | \(18\) |
| Au dixième | \(7\), chiffre des centièmes | \(18,5\) |
| Au centième | \(6\), chiffre des millièmes | \(18,48\) |
Un arrondi est une valeur proche, pas nécessairement égale au nombre de départ. On utilise donc le symbole \(\approx\) : \(18,476\approx18,48\) au centième.
Méthodes résumées pour réussir les exercices
Les techniques précédentes répondent chacune à une consigne précise. Ce tableau aide à choisir rapidement la bonne démarche sans les confondre.
| Consigne | Question à se poser | Réflexe utile |
|---|---|---|
| Lire ou écrire | Quelle est la valeur de chaque position ? | Construire le tableau de numération. |
| Décomposer | Quelle valeur apporte chaque chiffre ? | Écrire une somme d’unités, de dixièmes, de centièmes, etc. |
| Placer | Que vaut une petite graduation ? | Identifier l’unité, puis compter les intervalles. |
| Comparer | Quel est le premier rang différent ? | Comparer de gauche à droite. |
| Encadrer | Entre quelles valeurs consécutives se trouve le nombre ? | Respecter la précision demandée. |
| Arrondir | Quel chiffre se trouve juste après le rang conservé ? | Utiliser la règle de \(0\) à \(4\), puis de \(5\) à \(9\). |
Exemples guidés pour vérifier sa compréhension
Un cours devient vraiment utile lorsqu’on sait mobiliser plusieurs idées dans une même situation. Voici cinq vérifications courtes, avec leur raisonnement.
1. Identifier un chiffre
Dans \(12\,605,083\), le chiffre des centaines est \(6\), le chiffre des dixièmes est \(0\) et le chiffre des millièmes est \(3\).
2. Décomposer un nombre
Le nombre \(50,204\) contient \(5\) dizaines, \(2\) dixièmes et \(4\) millièmes :
3. Retrouver un nombre
Le nombre formé de \(8\) unités, \(3\) dixièmes et \(5\) centièmes est \(8,35\). Le rang des centièmes doit être occupé par \(5\), et non ajouté comme un entier.
4. Comparer
Entre \(6,099\) et \(6,1\), on écrit \(6,099\) et \(6,100\). Les millièmes donnent finalement \(99<100\), donc \(6,099<6,1\).
5. Encadrer puis arrondir
Le nombre \(24,958\) vérifie \(24,95<24,958<24,96\). Son arrondi au centième est \(24,96\), car le chiffre des millièmes est \(8\).
Ce qu’il faut retenir
Pour maîtriser les nombres entiers et décimaux en 6ème, il faut toujours revenir à la valeur de position. Un chiffre n’a pas la même valeur selon son rang ; un nombre décimal possède une écriture décimale finie ; et les comparaisons se font de gauche à droite, rang après rang.
- La virgule sépare la partie entière de la partie décimale.
- Les dixièmes, centièmes et millièmes prolongent le tableau de numération à droite.
- Ajouter des zéros à droite de la partie décimale ne change pas le nombre.
- Une demi-droite graduée traduit visuellement l’ordre des nombres.
- Encadrer situe une valeur ; arrondir en donne une valeur approchée.
Ces compétences correspondent aux attendus de numération du programme de mathématiques de 6ème. La formulation officielle et les objectifs associés peuvent être consultés dans le programme publié par le ministère de l’Éducation nationale.
Questions rapides sur les nombres décimaux
Comment savoir si un nombre est décimal ?
Il doit pouvoir s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule, ou comme une fraction dont le dénominateur est une puissance de \(10\). Par exemple, \(0,125=\frac{125}{1\,000}\) est décimal.
Pourquoi \(4,5\) et \(4,50\) sont-ils égaux ?
Le zéro ajouté représente zéro centième. Les deux écritures désignent donc le même point sur la demi-droite graduée et la même quantité.
Quel est le plus grand nombre entre \(7,8\) et \(7,75\) ?
On écrit \(7,8=7,80\). Les parties entières sont égales, mais \(8\) dixièmes sont plus grands que \(7\) dixièmes : \(7,8>7,75\).
Quelle différence entre encadrement et arrondi ?
Un encadrement donne deux bornes, une plus petite et une plus grande. Un arrondi donne une seule valeur proche à la précision demandée.