Cette page propose 12 exercices corrigés sur les séries numériques, organisés de façon progressive du niveau facile au niveau difficile. Vous y trouverez les notions fondamentales : critère de convergence, séries géométriques, séries de Riemann, règle de d’Alembert, règle de Cauchy, séries alternées (critère de Leibniz), convergence absolue, et comparaison par équivalents. Chaque exercice est accompagné d’une indication et d’un corrigé détaillé pas à pas, pour permettre un apprentissage autonome efficace. La progression complète le cours sur les critères de convergence des séries numériques et prépare naturellement aux séries entières.
Séries géométriques et séries de Riemann : les fondamentaux
Avant d’aborder les critères plus avancés, il est essentiel de maîtriser les séries géométriques et les séries de Riemann, qui servent de références pour la plupart des comparaisons. Ces exercices permettent de consolider les réflexes de base.
Exercice 1 : Nature d’une série géométrique
Facile
Pour chacune des séries suivantes, déterminer si elle converge ou diverge, et calculer sa somme lorsqu’elle converge.
- La série de terme général \( u_n = \left(\dfrac{2}{3}\right)^n \).
- La série de terme général \( v_n = (-1)^n \cdot \left(\dfrac{1}{4}\right)^n \).
- La série de terme général \( w_n = \left(\dfrac{5}{4}\right)^n \).
Indication
Une série géométrique \(\sum_{n=0}^{+\infty} q^n\) converge si et seulement si \(|q| < 1\), et sa somme vaut alors \(\dfrac{1}{1-q}\). Identifier la raison \(q\) dans chaque cas.
Voir le corrigé
La raison est \(q = \dfrac{2}{3}\). Comme \(|q| = \dfrac{2}{3} < 1\), la série converge. Sa somme est :
\[ \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n = \frac{1}{1 – \frac{2}{3}} = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3. \]
Solution de la question 2 :
La raison est \(q = -\dfrac{1}{4}\). Comme \(|q| = \dfrac{1}{4} < 1\), la série converge. Sa somme est :
\[ \sum_{n=0}^{+\infty} \left(-\frac{1}{4}\right)^n = \frac{1}{1 – (-\frac{1}{4})} = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}. \]
Solution de la question 3 :
La raison est \(q = \dfrac{5}{4}\). Comme \(|q| = \dfrac{5}{4} > 1\), le terme général ne tend pas vers 0, donc la série diverge grossièrement.
Exercice 2 : Séries de Riemann et divergence de la série harmonique
Facile
On rappelle que la série de Riemann \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^\alpha}\) converge si et seulement si \(\alpha > 1\). Déterminer la nature de chacune des séries suivantes.
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^3}\)
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{\sqrt{n}}\)
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^{2/3}}\)
Indication
Écrire chaque terme général sous la forme \(\dfrac{1}{n^\alpha}\) et identifier \(\alpha\). Comparer \(\alpha\) à 1 pour conclure.
Voir le corrigé
On a \(u_n = \dfrac{1}{n^3}\) avec \(\alpha = 3 > 1\). La série de Riemann converge.
Solution de la question 2 :
On a \(v_n = \dfrac{1}{\sqrt{n}} = \dfrac{1}{n^{1/2}}\) avec \(\alpha = \dfrac{1}{2} < 1\). La série de Riemann diverge. Il s’agit d’un cas particulier de la série harmonique généralisée.
Solution de la question 3 :
On a \(w_n = \dfrac{1}{n^{2/3}}\) avec \(\alpha = \dfrac{2}{3} < 1\). La série diverge.
Exercice 3 : Convergence par comparaison directe
Moyen
Étudier la nature des séries de terme général suivants, en utilisant une comparaison avec une série de Riemann ou une série géométrique.
- \( u_n = \dfrac{1}{n^2 + 3n + 1} \)
- \( v_n = \dfrac{\ln n}{n^2} \)
- \( w_n = \dfrac{1}{2^n + n} \)
Indication
Pour 1, majorer \(u_n\) par \(\dfrac{1}{n^2}\). Pour 2, utiliser le fait que \(\ln n = o(n^{1/2})\) pour montrer que \(v_n \leq \dfrac{C}{n^{3/2}}\) à partir d’un certain rang. Pour 3, minorer \(2^n + n\) par \(2^n\).
Voir le corrigé
Pour \(n \geq 1\), on a \(n^2 + 3n + 1 \geq n^2\), donc :
\[ 0 \leq u_n = \frac{1}{n^2 + 3n + 1} \leq \frac{1}{n^2}. \]
La série \(\sum \dfrac{1}{n^2}\) est une série de Riemann convergente (\(\alpha = 2 > 1\)). Par comparaison, \(\sum u_n\) converge.
Solution de la question 2 :
On sait que \(\ln n \leq \sqrt{n}\) pour tout \(n \geq 1\). Donc :
\[ 0 \leq v_n = \frac{\ln n}{n^2} \leq \frac{\sqrt{n}}{n^2} = \frac{1}{n^{3/2}}. \]
La série \(\sum \dfrac{1}{n^{3/2}}\) converge (Riemann, \(\alpha = 3/2 > 1\)). Par comparaison, \(\sum v_n\) converge.
Solution de la question 3 :
Pour tout \(n \geq 1\), on a \(2^n + n \geq 2^n\), donc :
\[ 0 \leq w_n = \frac{1}{2^n + n} \leq \frac{1}{2^n} = \left(\frac{1}{2}\right)^n. \]
La série géométrique \(\sum \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\) converge. Par comparaison, \(\sum w_n\) converge.
Règle de d’Alembert et règle de Cauchy : critères de convergence avancés
La règle de d’Alembert et la règle de Cauchy sont deux critères fondamentaux pour étudier la convergence des séries à termes positifs, particulièrement efficaces lorsque le terme général fait intervenir des factorielles, des puissances ou des expressions exponentielles.
Exercice 4 : Application directe de la règle de d’Alembert
Facile
Étudier la convergence des séries suivantes par la règle de d’Alembert.
- \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n!}{3^n}\)
- \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2^n}{n!}\)
Indication
Calculer \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) et passer à la limite. Si la limite est strictement inférieure à 1, la série converge ; si elle est strictement supérieure à 1, elle diverge.
Voir le corrigé
Posons \(u_n = \dfrac{n!}{3^n}\). On calcule :
\[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{(n+1)!}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{n!} = \frac{n+1}{3} \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty. \]
La limite est \(+\infty > 1\), donc par la règle de d’Alembert, la série diverge. (Le terme général ne tend même pas vers 0.)
Solution de la question 2 :
Posons \(u_n = \dfrac{2^n}{n!}\). On calcule :
\[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{2^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{2^n} = \frac{2}{n+1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0. \]
La limite est \(0 < 1\), donc par la règle de d'Alembert, la série converge.
Exercice 5 : D’Alembert avec des expressions polynomiales et exponentielles
Moyen
Étudier la nature des séries de terme général suivants.
- \( u_n = \dfrac{n^5}{2^n} \)
- \( v_n = \dfrac{3^n}{n^2 \cdot 2^n} \)
- \( w_n = \dfrac{(2n)!}{4^n \cdot (n!)^2} \)
Indication
Pour 1 et 2, appliquer la règle de d’Alembert. Pour 3, calculer le rapport \(\dfrac{w_{n+1}}{w_n}\) en simplifiant soigneusement les factorielles ; la limite sera 1, ce qui impose de changer de méthode.
Voir le corrigé
\[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{(n+1)^5}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n^5} = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^5 \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{1}{2} < 1. \]
La série converge par la règle de d’Alembert.
Solution de la question 2 :
\[ \frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)^2 \cdot 2^{n+1}} \cdot \frac{n^2 \cdot 2^n}{3^n} = \frac{3}{2} \cdot \frac{n^2}{(n+1)^2} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{3}{2} > 1. \]
La série diverge par la règle de d’Alembert.
Solution de la question 3 :
\[ \frac{w_{n+1}}{w_n} = \frac{(2n+2)!}{4^{n+1}((n+1)!)^2} \cdot \frac{4^n (n!)^2}{(2n)!} = \frac{(2n+1)(2n+2)}{4(n+1)^2} = \frac{(2n+1)}{2(n+1)} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1. \]
La règle de d’Alembert est non concluante. On utilise la comparaison : par l’inégalité de Wallis ou un équivalent, on peut montrer que \(w_n \sim \dfrac{1}{\sqrt{\pi n}}\), qui est le terme général d’une série divergente (série de Riemann avec \(\alpha = 1/2 < 1\)). La série diverge.
Exercice 6 : Règle de Cauchy (critère de la racine)
Moyen
Étudier la convergence des séries suivantes par la règle de Cauchy (critère de la racine \(n\)-ième).
- \( u_n = \left(\dfrac{n}{2n+1}\right)^n \)
- \( v_n = \left(\dfrac{\ln n}{n}\right)^n \)
Indication
La règle de Cauchy consiste à calculer \(\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{u_n} = \lim_{n \to +\infty} u_n^{1/n}\). Si cette limite est \(\ell < 1\), la série converge ; si \(\ell > 1\), elle diverge.
Voir le corrigé
\[ u_n^{1/n} = \frac{n}{2n+1} = \frac{1}{2 + \frac{1}{n}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{1}{2} < 1. \]
Par la règle de Cauchy, la série converge.
Solution de la question 2 :
\[ v_n^{1/n} = \frac{\ln n}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 < 1. \]
Par la règle de Cauchy, la série converge.
Séries alternées et convergence absolue
Une série alternée est une série dont les termes changent de signe à chaque indice. Le critère de Leibniz fournit une condition suffisante de convergence. Il est également important de distinguer convergence absolue et convergence simple.
Exercice 7 : Critère de Leibniz pour les séries alternées
Facile
Montrer que les séries suivantes sont convergentes à l’aide du critère de Leibniz.
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}\) (série harmonique alternée)
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\)
Indication
Le critère de Leibniz s’applique à une série de la forme \(\sum (-1)^n a_n\) avec \(a_n > 0\). Il faut vérifier que la suite \((a_n)\) est décroissante et tend vers 0.
Voir le corrigé
On pose \(a_n = \dfrac{1}{n}\). La suite \((a_n)\) est strictement décroissante (car \(n \mapsto \dfrac{1}{n}\) est décroissante sur \(\mathbb{N}^*\)) et \(a_n \to 0\). Par le critère de Leibniz, la série converge. (On notera que la série n’est pas absolument convergente, car \(\sum \dfrac{1}{n}\) diverge.)
Solution de la question 2 :
On pose \(a_n = \dfrac{1}{\sqrt{n}}\). La suite est décroissante et tend vers 0. Par le critère de Leibniz, la série converge. (Elle ne converge pas absolument, car \(\sum \dfrac{1}{\sqrt{n}}\) diverge.)
Exercice 8 : Convergence absolue versus convergence simple
Moyen
Pour chacune des séries suivantes, déterminer si elle est absolument convergente, semi-convergente (convergente mais pas absolument convergente), ou divergente.
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}\)
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{\ln(n+1)}\)
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \cdot \frac{n}{n+1}\)
Indication
Étudier d’abord la série des valeurs absolues \(\sum |u_n|\). Si elle converge, la série est absolument convergente. Sinon, appliquer le critère de Leibniz pour tester la convergence simple. Attention : vérifier que le terme général tend bien vers 0.
Voir le corrigé
La série des valeurs absolues est \(\sum \dfrac{1}{n^2}\), qui est une série de Riemann convergente (\(\alpha = 2 > 1\)). Donc \(\sum \dfrac{(-1)^n}{n^2}\) est absolument convergente.
Solution de la question 2 :
La série des valeurs absolues est \(\sum \dfrac{1}{\ln(n+1)}\). Comme \(\ln(n+1) \leq n+1\), on a \(\dfrac{1}{\ln(n+1)} \geq \dfrac{1}{n+1}\), et la série \(\sum \dfrac{1}{n+1}\) diverge. Donc la série n’est pas absolument convergente. En revanche, la suite \(a_n = \dfrac{1}{\ln(n+1)}\) est décroissante et tend vers 0, donc par Leibniz, la série converge. Elle est donc semi-convergente.
Solution de la question 3 :
On a \(\dfrac{n}{n+1} \to 1 \neq 0\), donc le terme général \((-1)^n \cdot \dfrac{n}{n+1}\) ne tend pas vers 0. La série diverge grossièrement.
Comparaison par équivalents et développements limités
La comparaison par équivalents est l’outil le plus puissant pour déterminer la nature d’une série à termes positifs. Combinée aux développements limités, elle permet de traiter des séries dont le terme général est une expression complexe impliquant des logarithmes, des exponentielles ou des fonctions trigonométriques.
Exercice 9 : Équivalents simples et comparaison à une série de Riemann
Moyen
Étudier la nature des séries de terme général suivants en cherchant un équivalent simple de \(u_n\) lorsque \(n \to +\infty\).
- \( u_n = \dfrac{n^2 + 2n}{n^4 – 1} \)
- \( v_n = \sin\left(\dfrac{1}{n}\right) \)
- \( w_n = \ln\!\left(1 + \dfrac{1}{n^2}\right) \)
Indication
Pour 1, garder uniquement les termes dominants au numérateur et au dénominateur. Pour 2, utiliser l’équivalent \(\sin(x) \sim x\) lorsque \(x \to 0\). Pour 3, utiliser \(\ln(1+x) \sim x\) lorsque \(x \to 0\). Conclure par comparaison avec une série de Riemann.
Voir le corrigé
\[ u_n = \frac{n^2 + 2n}{n^4 – 1} \sim_{+\infty} \frac{n^2}{n^4} = \frac{1}{n^2}. \]
La série \(\sum \dfrac{1}{n^2}\) converge (Riemann, \(\alpha = 2\)). Donc \(\sum u_n\) converge.
Solution de la question 2 :
\[ v_n = \sin\!\left(\frac{1}{n}\right) \sim_{+\infty} \frac{1}{n}. \]
La série \(\sum \dfrac{1}{n}\) diverge (série harmonique). Donc \(\sum v_n\) diverge.
Solution de la question 3 :
\[ w_n = \ln\!\left(1 + \frac{1}{n^2}\right) \sim_{+\infty} \frac{1}{n^2}. \]
La série \(\sum \dfrac{1}{n^2}\) converge. Donc \(\sum w_n\) converge.
Exercice 10 : Développements limités pour lever une indétermination
Difficile
Les comparaisons directes et les équivalents immédiats ne suffisent pas toujours. Étudier la nature des séries suivantes en effectuant un développement limité du terme général à l’ordre nécessaire.
- \( u_n = n\left(\ln\!\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) – \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{2n^2}\right) \)
- \( v_n = 1 – \cos\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right) \)
Indication
Pour 1, utiliser le développement \(\ln(1+x) = x – \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} – \cdots\) à l’ordre 3 en \(x = \dfrac{1}{n}\). Pour 2, utiliser \(1 – \cos(x) \sim \dfrac{x^2}{2}\) lorsque \(x \to 0\).
Voir le corrigé
Posons \(x = \dfrac{1}{n}\). On développe :
\[ \ln(1+x) = x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3). \]
Donc :
\[ \ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right) – \frac{1}{n} + \frac{1}{2n^2} = -\frac{1}{2n^2} + \frac{1}{3n^3} + \frac{1}{2n^2} + o\!\left(\frac{1}{n^3}\right) = \frac{1}{3n^3} + o\!\left(\frac{1}{n^3}\right). \]
Ainsi :
\[ u_n = n \cdot \left(\frac{1}{3n^3} + o\!\left(\frac{1}{n^3}\right)\right) = \frac{1}{3n^2} + o\!\left(\frac{1}{n^2}\right) \sim_{+\infty} \frac{1}{3n^2}. \]
La série \(\sum \dfrac{1}{n^2}\) converge, donc \(\sum u_n\) converge.
Solution de la question 2 :
Posons \(x = \dfrac{1}{\sqrt{n}}\). Comme \(x \to 0\) :
\[ v_n = 1 – \cos\!\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \sim_{+\infty} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{2n}. \]
La série \(\sum \dfrac{1}{2n}\) diverge (série harmonique à une constante multiplicative près). Donc \(\sum v_n\) diverge.
Exercice 11 : Série dépendant d’un paramètre réel
Difficile
Soit \(\alpha \in \mathbb{R}\) un paramètre réel. Déterminer, en fonction de \(\alpha\), la nature de la série de terme général :
\[ u_n = \frac{1}{n^\alpha \ln n}, \quad n \geq 2. \]
- Traiter le cas \(\alpha > 1\).
- Traiter le cas \(\alpha < 1\).
- Traiter le cas \(\alpha = 1\) (série de Bertrand partielle).
Indication
Pour \(\alpha > 1\), choisir \(\beta\) tel que \(1 < \beta < \alpha\) et montrer que \(u_n = o\!\left(\dfrac{1}{n^\beta}\right)\). Pour \(\alpha < 1\), minorer. Pour \(\alpha = 1\), utiliser la comparaison à l'intégrale : \(\displaystyle\int_2^{+\infty} \dfrac{dt}{t \ln t}\) est divergente.
Voir le corrigé
Choisissons \(\beta\) tel que \(1 < \beta < \alpha\). Comme \(\ln n \to +\infty\), on a \(n^{\alpha - \beta} \ln n \to +\infty\), d'où :
\[ 0 < u_n = \frac{1}{n^\alpha \ln n} \leq \frac{1}{n^\alpha} \leq \frac{1}{n^\beta} \text{ à partir d'un certain rang.} \]
Plus précisément, \(u_n = o\!\left(\dfrac{1}{n^\beta}\right)\) et la série \(\sum \dfrac{1}{n^\beta}\) converge. Donc \(\sum u_n\) converge.
Solution de la question 2 — cas \(\alpha < 1\) :
Pour \(n \geq 3\), on a \(\ln n \leq n^{1-\alpha}\) (car \(n^{1-\alpha} \to +\infty\) plus vite que \(\ln n\)), donc :
\[ u_n = \frac{1}{n^\alpha \ln n} \geq \frac{1}{n^\alpha \cdot n^{1-\alpha}} = \frac{1}{n}. \]
La série harmonique \(\sum \dfrac{1}{n}\) diverge. Par comparaison, \(\sum u_n\) diverge.
Solution de la question 3 — cas \(\alpha = 1\) :
On a \(u_n = \dfrac{1}{n \ln n}\). La fonction \(f(t) = \dfrac{1}{t \ln t}\) est continue, positive et décroissante sur \([2, +\infty[\). Par comparaison à l’intégrale :
\[ \int_2^{N} \frac{dt}{t \ln t} = \left[\ln(\ln t)\right]_2^N = \ln(\ln N) – \ln(\ln 2) \xrightarrow[N \to +\infty]{} +\infty. \]
L’intégrale diverge, donc par le critère intégral, \(\sum u_n\) diverge.
Exercice 12 : Étude complète d’une série semi-convergente
Difficile
On considère la série de terme général :
\[ u_n = \frac{(-1)^n \ln n}{n}, \quad n \geq 2. \]
- Montrer que la série n’est pas absolument convergente.
- Montrer que la suite \(a_n = \dfrac{\ln n}{n}\) est décroissante à partir d’un certain rang et tend vers 0.
- Conclure sur la nature de la série \(\sum u_n\).
Indication
Pour l’absolue convergence, comparez \(\sum \dfrac{\ln n}{n}\) à une intégrale. Pour la décroissance, étudiez la fonction \(f(x)=\dfrac{\ln x}{x}\) sur \([2,+\infty[\).
Voir le corrigé
La série des valeurs absolues est :
\[ \sum_{n=2}^{+\infty} |u_n| = \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{\ln n}{n}. \]
La fonction \(x \mapsto \dfrac{\ln x}{x}\) est positive sur \([2,+\infty[\). Par comparaison à l’intégrale :
\[ \int_2^N \frac{\ln x}{x}\,dx = \frac{1}{2}\bigl((\ln N)^2 – (\ln 2)^2\bigr) \xrightarrow[N \to +\infty]{} +\infty. \]
Donc \(\sum \dfrac{\ln n}{n}\) diverge : la série \(\sum u_n\) n’est pas absolument convergente.
Solution de la question 2 :
Posons \(f(x)=\dfrac{\ln x}{x}\). On a :
\[ f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}. \]
Pour \(x>e\), \(1-\ln x<0\), donc \(f\) est décroissante sur \([3,+\infty[\). Ainsi la suite \(a_n=\dfrac{\ln n}{n}\) est décroissante à partir de \(n=3\). De plus :
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\ln n}{n}=0. \]
Solution de la question 3 :
La suite \(a_n\) est positive, décroissante à partir d’un certain rang, et tend vers 0. Par le critère de Leibniz, la série alternée \(\sum (-1)^n a_n\) converge. Comme elle ne converge pas absolument, elle est semi-convergente.